在注解 LEAN 对 Church-Rosser 定理证明前，为了更好地理解其证明过程，需要梳理一下，在LEAN的类型系统中，定义的各种符号，及其含义。同时，在前面章节中的证明过程，也为了证明过程的便利，定义了额外的一些符号。此篇文章，主要就是梳理目前为止，围绕着LEAN类型系统所衍生的符号定义。

一、推演规则（Inference Rule）

        LEAN的类型理论，是通过自然推导（Natural Deduction）及其树形表示法（Tree-Notation），定义了一集（a collection of）推演规则（Inference Rules），用以，定义在该理论体系内，可使用的规则。即，前因后果，符合规则的前提（Premises），就有该规则的结果（Consequence）。由此，可以看作，整个LEAN类型系统，就是由这些最根本的因果关系组成的。

        同时，推演规则（Inference Rules），根据其作用，分为 赋型规则，定义上相等规则，算法式定义上相等规则，等等，以此，规范系统中的不同内容。

        其中，最主要的是定义了，依赖类型（Dependent Type）和 归纳类型（Inductive Type），包括其类型组成规则（Type Formation Rule），正规元素的构建规则（Introduction Rules），正规元素的使用规则（Elimination Rule），以及计算规则（Computation / Reduction / Equality Rules）。

        在推演规则中，常见的符号有

1. Gamma 符号，Γ，表示（Representing）的是局部上下文（Local Context），也称假设（Assumptions），包括了一连串的变量及其类型信息，可以为空，以符号， ·  ，表示，也会用Delta符号，Δ，表示额外的假设。

2. Turnstile 符号，⊢，表示“蕴涵”（entail）的意思，即 该符号的左边 为 一连串的假设(Assumptions)，其右边 为 基于左边的假设(Assumptions)下成立的表达式（Expression）。也就是，其 左边的假设 蕴涵了 右边的表达式（Expression）成立。即右表达式可以从左表达式推导出（The right one can be derivable from the left expressions）。

3. 冒号，：，是类型符号，表示，冒号右边表达式是左边表达式的类型，如 π1 的类型是 A ⊃ B。

4. 定义上相等（Definitional Equality）符号，≡，表示，符号两边的表达式，在定义上，是相等的。

5. 算法式定义上相等（Algorithm Defintional Equality）符号，⇔，表示，符号两边的表达式，可经过计算规则（Computation / Reduction / Equality Rules）相互转化，即计算后相等。

6. 等号，=，表示，符号两边的表达式相同。用 相等类型表达（Equality Type）。

7. 步进符号，⤳，如e ⤳ k，表示，表达式 e 使用了 一次（one step） LEAN定义了的一种（one of）转化规则，转化成表达式 k。此时，如果 k 与表达式 e' 是算法式定义上相等，那么 表达式e 和 表达式 e' 算法式定义上相等。

8. 多步进符号，⤳*，如 e ⤳* k，表示多次使用，即多步（multi-step），转换规则。

9. 小于等于符号，≤ ，出现于宇宙层次的定义上，表示，符号左边的层次低于或等于其右边。可以看作为定义在自然数上的小于等于操作符。

10. 类型等式符号，≃，用于表达符号两边的类型表达式，算法式定义上相等。

11. 定义符号，:=，用于表示，符号右边表达式是其左边名称的定义。

12. 函数符号，→，表示，符号左边为函数输入的类型，右边为函数输出的类型。

13. Lambda 符号，λ，表示，介绍新的变量（variable），即 变量binder，用于其后的表达式中。

14. Miu符号，μ，表示，介绍新的类型变量（Type variable），即 类型变量binder，用于其后的表达式中。

15. n-provability 符号，⊢ₙ ，即，表达式 e 在进行计算的过程中，赋型规则随着表达式 e 的形变，给每一步计算后的形变表达式 e‘ 进行赋型。此时，赋型规则的前提（Premises），利用归纳假设（Inductive Hypothese）提供的定义上相等关系，即 Γ ⊢ₙ α ≡ β，为其结果的赋型，即 Γ ⊢ₙ e:α，提供证明。那么就有， Γ ⊢ₙ α ≡ β   => Γ ⊢ₙ e:α => Γ ⊢ₙ₊₁ α ≡ β => ... ，归纳推演的过程（Induction Proof）。

16. 表达式常态（normal form）符号，表达式上划线，表示，表达式满足 rec 常态及 lift 常态的要求。

17. K简化步进符号，⤳ₖ，表示通过K简化规则进行简化。同样的还有，其它简化规则的步进符号，以下角标来表示。以及，K简化多步进符号，⤳*ₖ 。

18. 证据不区分（Proof Relevance）的情况下，定义上相等（Definitional Equal）符号，≡ₚ ，即 对于具备证据不区分（Proof Relevance）关系的两表达式的简化规则（Reduction Rule）。

        后面还有引入更多的符号，以便证明，如并行K简化符号，>>ₖ，等等。到时候介绍到对应的概念的再说。

        说白了，符号是为了把对应的具体含义浓缩到一个符号来表示，以方便系统地证明或说明清楚某一事实，即符号系统。也就是，形、意，的关系。