1.思想

在时间序列分析领域，有一种常见的分析方法叫做时间序列的分解（Decomposition of Time Series），它把时间序列 分成几个部分，分别是季节项 ，趋势项 ，剩余项 。也就是说对所有的 ，都有

$$y_t=S_t+T_t+R_t$$

除了加法的形式，还有乘法的形式，也就是：

$$y_t=S_t\times T_t\times R_t$$

一般来说，在实际生活和生产环节中，除了季节项，趋势项，剩余项之外，通常还有节假日的效应。所以，在 prophet 算法里面，作者同时考虑了以上四项，也就是：

$$y(t)=g(t)+s(t)+h(t)+{ϵ}_t$$

其中 $g(t)$表示趋势项，它表示时间序列在非周期上面的变化趋势；
$s(t)$表示周期项，或者称为季节项，一般来说是以周或者年为单位；
$h(t)$表示节假日项，表示在当天是否存在节假日；
$ϵ(t)$表示误差项或者称为剩余项。
Prophet 算法就是通过拟合这几项，然后最后把它们累加起来就得到了时间序列的预测值。

趋势项模型 $g(t)$
在 Prophet 算法里面，趋势项有两个重要的函数，一个是基于逻辑回归函数（logistic function）的，另一个是基于分段线性函数（piecewise linear function）的。

$$f(x)=C/\left(1+e^{-k(x-m)}\right)$$

所以，分段的逻辑回归增长模型就是：

$$g(t)=\frac{C(t)}{1+\exp (-\left(k+\mathbf{a}(t{)}^t\mathbf{\delta }\right)\cdot (t-\left(m+\mathbf{a}(t{)}^T\mathbf{\gamma }\right)}$$

基于分段线性函数的趋势项是怎么做的。众所周知，线性函数指的是$y=kx+b$, 而分段线性函数指的是在每一个子区间上，函数都是线性函数，但是在整段区间上，函数并不完全是线性的。正如下图所示，分段线性函数就是一个折线的形状。

因此，基于分段线性函数的模型形如：

$$g(t)=(k+\mathbf{a}(t)\mathbf{\delta })\cdot t+\left(m+\mathbf{a}(t{)}^T\mathbf{\gamma }\right)$$

季节性趋势
时间序列通常会随着天，周，月，年等季节性的变化而呈现季节性的变化，也称为周期性的变化。对于周期函数而言，大家能够马上联想到的就是正弦余弦函数。而在数学分析中，区间内的周期性函数是可以通过正弦和余弦的函数来表示的：

在论文中，作者使用傅立叶级数来模拟时间序列的周期性。



时间序列的季节项就是：

节假日效应（holidays and events）
同时需要一个参数来表示节假日的影响范围。假设我们有L 个节假日，那么

Prophet 中可以设置的参数
在 Prophet 中，用户一般可以设置以下四种参数：

Capacity：在增量函数是逻辑回归函数的时候，需要设置的容量值。
Change Points：可以通过 n_changepoints 和 changepoint_range 来进行等距的变点设置，也可以通过人工设置的方式来指定时间序列的变点。
季节性和节假日：可以根据实际的业务需求来指定相应的节假日。
光滑参数：$\tau =$ changepoint prior scale可以用来控制趋势的灵活度，$\sigma =$seasonality_prior_scale 用来控制季节项的灵活度， $v=$ holidays prior scale 用来控制节假日的灵活度。

2、实践

初始化模型：m = Prophet()
拟合模型：m.fit(df)
计算预测值：periods 表示需要预测的点数，freq 表示时间序列的频率。
future = m.make_future_dataframe(periods=30, freq='min')
future.tail()
forecast = m.predict(future)画出预测图：
m.plot(forecast)
画出时间序列的分量：
m.plot_components(forecast)

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参考：

1. Forecasting at Scale;
2. github prophet;
3. FACEBOOK 时间序列预测算法 PROPHET 的研究;
4. zhihu Prophet;