关于原神抽奖概率的简要分析

序言

最近迷上了原神这款游戏，趁着保研完，肝了两个星期，也氪了一些金。先不谈这款游戏可玩性有多高，但论氪金强度算是我从小到大玩的游戏中，能排得上第一的了。

对于这种寸卡寸金的游戏，如何在无穷无尽的抽卡活动中，做到理性抽卡，无疑需要严谨的数学分析，才能了解大概氪多少金才能满足自己的预期。本文将对此做出一定的解答。

同时，本文对于网上一直所传的氪不改命，玄不救非之说，也将进行一定的抨击。

假设陈述

原神抽奖卡池，在非保底的情况下，抽到五星的概率为基础概率，即0.6%

符号说明

符号	含义
$X$	表示在平均概率下进行独立重复试验中第一次抽到五星的次数的随机变量
$P (s u c c e s s)$	表示抽到五星的平均概率
$P (b o t t o m)$	表示保底情况出现的概率
$P (b a s e)$	表示抽到五星的基础概率已知:0.6%
$n$	表示保底在第几次未抽中时出现已知:90
$P(success\\|bottom)$	表示在保底情况下抽中五星的概率已知:1
$P(success\\|\overline{bottom})$	表示在非保底情况下抽中五星的概率已知: $P (b a s e)$

目标变量

$P (s u c c e s s)$

求解方法

法一：

运用全概率公式，写出方程组，直接进行求解。

$\left\{\begin{matrix} P(bottom)P(success\|bottom)+P(\overline{bottom})P(success\|\overline{bottom})=P(success) \\ P(success)(1-P(base))^{n-1}=P(bottom) \end{matrix}\right.$

代入，得：

$\left\{\begin{matrix} P(bottom)+0.006(1-P(bottom))=P(success) \\ P(success)(1-0.006)^{89}=P(bottom) \end{matrix}\right.$

求解，得：

$P(success)=0.01435\pm0.000005$
法二：

通过间接求解，在平均概率下进行独立重复试验中第一次抽到五星的次数的期望，进行求解。

$E[X]=\sum_{i=1}^{n-1}i*P(base)(1-P(base))^{i-1}+n*(1-\sum_{i=1}^{n-1}P(base)(1-P(base))^{i-1}) \\ \quad \\ =\sum_{i=1}^{89}i*0.006(1-0.006)^{89}+90*(1-\sum_{i=1}^{89}0.006(1-0.006)^{89}) \\ \quad \\ \approx69.6998$

$P(success)=\frac{1}{E[X]}$ (这个等式，概率论那本书上好像没有，不过我自己私下里证明过了，感兴趣的同学可以自行证明)

那么，可以得到与法一相同的结果，证明了结果的正确性。

结论

可以看到的是我们得出的平均概率1.435%是略小于官方给出的平均概率1.6%的。
很显然，这说明，即使在未保底的情况下，我们抽中五星的概率可能并非是基础概率0.6%。
结合这几天，我看的PDD抽奖的视频，我发现确实在一些之前很非的情况下，后面抽到五星的频率显著变高。
当然，我并不清楚原神抽奖内部究竟是怎样的机制，不过或许可以借助这一点，再结合一些大佬的分析，在五十抽向后的概率或许确实有一定的提升。所以大家注意好这点，抽双黄吧！

当然，这也仅仅是概率的提高，可能样本量少一点的话，在实际抽奖中，根本感觉不到那种概率的提升。所以，也仅供大家参考。同时，大家也要考虑一下自己的经济水平究竟如何，有多大经济水平，有多大期望。

这里我用python做了一个小实验，用直方图展示10000个玩家，在我上述假设的那种情况下抽奖2000次，抽到五星的次数，并与无保底的转换平均概率（0.01435）进行了比较。

# -*- coding: utf-8 -*-import matplotlib.pyplot as plt
import random
import numpy as np
from pylab import mpl
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']random.seed(0)
data1=[]
data2=[]
n=10000
epoches=2000
prob=0.006
prob_trans=0.01435for i in range(n):curcnt=0counter=0for epoch in range(epoches):rand=random.random()counter+=1if rand<prob:curcnt+=1counter=0if counter==90:curcnt+=1counter=0data1.append(curcnt)plt.subplot(121)
plt.hist(data1,bins=np.linspace(10,50,20),density=False)
plt.xlim(10,50)
plt.ylim(0,4000)
plt.title('90次保底情况')for i in range(n):curcnt=0for epoch in range(epoches):rand=random.random()if rand<prob_trans:curcnt+=1data2.append(curcnt)plt.subplot(122)
plt.hist(data2,bins=np.linspace(10,50,20),density=False)
plt.xlim(10,50)
plt.ylim(0,4000)
plt.title('无90次保底情况(基础概率已经过转换)')
plt.show()