图形几何之美系列：仿射变换矩阵之先转后偏

“在几何计算、图形渲染、动画、游戏开发等领域，常需要进行元素的平移、旋转、缩放等操作，一种广泛应用且简便的方法是使用仿射变换进行处理。相关的概念还有欧拉角、四元数等，四元数在图形学中主要用于解决旋转问题，特别是在三维空间中绕任意轴的旋转，且四元数与仿射变换可以相互转换。”

图形几何之美系列：三维实体结构表达
图形几何之美系列：仿射变换矩阵
图形几何之美系列：仿射变换矩阵（二）

上文我们讲述了仿射变换矩阵的原理、构成以及局部坐标系到世界坐标系的转换。

本文我们将继续聊聊矩阵的使用注意事项，比如先转后偏的用法，并从机制原理的角度探究其原因。

1.前言

如果一次仿射变换中存在多种类型的姿态变换，需要先进行矩阵左上角的3X3部分（缩放、旋转、镜像、非均匀变换）的构造处理，最后再叠加偏移。

这是我们从一些书籍或老司机口中得知的重要经验，大白话就是“先转后偏”，那么为什么要这样呢？先偏后转不行吗？还是先转后偏有其不可忽略的独门绝技？

如果先偏移，则需要基于偏移值的坐标点进行矩阵左上角3X3部分的构造，这将变得复杂的多，这对于大多数人来说不可接受，毕竟我们很多时候要做的是化繁为简，同时提高精度。

下面我们对比下先转后偏和先偏后转的特点和区别。

2.先转后偏

如上图所示，我们对点P进行仿射变换，同时包含旋转和平移，即绕点T旋转Θ，然后平移向量P'P''。

如果是先旋转后偏移：(1)P绕T旋转θ；(2)移动P'P''；即可得到最终姿态P''。

补充
构造P绕T旋转θ的仿射变换矩阵时：

可以先构造偏移TO的偏移矩阵（这样T偏移到了原点，而P可以绕原点旋转了）TrsT2O;

然后构造P绕原点旋转θ的3X3矩阵，再叠加OT偏移得到TrsRotate_and_O2T；嘿嘿，这又是一个先转后偏的实践。

左乘上述两个矩阵得到结果矩阵：TrsRotate_and_O2T x TrsT2O。

3.先转后偏

如果是先偏后转，问题将变得复杂，在偏移P的同时需要对T也作相同力度的偏移，没错，进行“先偏”操作时，你需要关心其他姿态变换元素，如“绕T旋转的元素T”；然后再绕T'点旋转θ。

记住，我们是要化繁为简，以清晰便捷的过程去处理问题，这会降低错误的发生，也降低了学习成本，提高学习工作体验。

谁不愿意开心的学习和工作呢？对，还有开心的生活~

补充
构造先偏后转的矩阵时：

先构造偏移**P'P''**的矩阵TrsP'2P''，同时作用于P和T，分别得到P'和T'；

构造绕T'旋转θ的矩阵，好吧，这和上述第1步+第2步类似，执行吧......我们得到了TrsT'2O和TrsRotate_and_O2T'；

左乘上述三个矩阵得到结果矩阵：TrsRotate_and_O2T' x TrsT'2O x TrsP'2P''。