底层逻辑之：欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange equations）变分法（Calculus of Variations）的核心思想

0前言：

0.1 17世纪的泛函（Functional）分析与变分法（Calculus of Variations）

在17世纪，数学家们开始遇到一些需要处理函数集合的问题，这些问题涉及到函数的极值、曲线的长度、曲面的面积等。这些问题无法用传统的微积分方法来解决，因为微积分主要研究的是单个函数的性质和行为。因此，数学家们开始探索一种新的数学工具来处理这类问题，这就是泛函的雏形。

泛函是一种特殊的映射，它的特点在于其输入不是单个或多个数值变量，而是一个函数（或称为函数曲线、函数图像等）。这个函数可以看作是一个无穷维的“向量”，因为它包含了在定义域内所有点上的取值信息。泛函则是对这个“向量”进行某种运算或评估，得出一个实数（或复数）作为结果。

在许多实际问题中，我们需要对函数进行整体性的评估或优化，而不是仅仅关注函数在某一点的取值。例如，在物理学中，我们可能需要计算一个物理系统在不同状态下的总能量或总动量，这些量都是函数（如状态函数）的泛函。

0.2 最速降线问题与变分法的萌芽

1696年，约翰·伯努利提出了著名的最速降线问题，即一个质点在重力作用下从一个给定点滑到另一个给定点，沿着什么曲线滑下所需时间最短。这个问题引发了数学家们的兴趣和研究。虽然当时并未明确提出泛函的概念，但最速降线问题可以看作是泛函分析的一个早期应用实例。

欧拉在1733年通过变分原理解决了最速降线问题，这标志着变分法的正式诞生。变分法是一种求解泛函极值的方法，它可以说是最初的泛函分析。在18世纪，拉格朗日进一步发展了变分法，系统性地提出了拉格朗日乘数法和欧拉-拉格朗日方程，也就是目前变分法的核心：欧拉-拉格朗日方程。

1.欧拉-拉格朗日方程的提出- 最速降线问题的解决

1.1 问题描述

假设物体从原点O点开始出发，沿任意曲线运动到A点（O点坐标为(x1，y1)，A点坐标为(x2，y2)，A点低于O点），物体运动过程中只有重力做功，无摩擦力。何种曲线才能让物体从A滑到b的时间最短？

1.2 构建-泛函-数学模型

物体沿曲线下滑的速度由重力势能转化为动能决定。设物体在曲线上的任意一点 $(x_t,y_t)$ 处的速度为 v，设此时物体距离出发点的距离纵向距离为 $y$ ,横向距离为 $x$ ，则根据能量守恒定律 $E=1/2\cdot m\cdot v^2=g\cdot m\cdot y$ ，有：

$v = \sqrt{2gy}$

物体沿曲线从 A到 B 所需的时间 T可以表示为：

$T = \int_{x_1}^{x_2} \frac{ds}{v}$

其中 ds 是曲线上的微小弧长，可以表示为：

$ds = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx$

这里的微小弧长就是勾股定理，x的长度参考长度为1，通过斜率（dy/dx）计算斜面的参考长度。

将 v和 ds 代入 T 的表达式，得到：

$T = \int_{x_1}^{x_2} \frac{\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}}{ \sqrt{2gy}} dx$

在这里，由于不知道y与x之间的映射关系，仅利用经典的微积分理论体系，T的数值不可能被计算出来，也无法解决T的极值问题。

但是还有一种思路：将x和y的映射关系（函数）同样作为未知函数输入，将 $\frac{dy}{dx}$ 作为未知变量。于是，令：

$F(y,x,y') = \frac{\sqrt{1 + (y')^2}}{\sqrt{2gy}}, \quad y' = \frac{dy}{dx}$

原式简写为：

$T[y]= \int_{x_1}^{x_2} F\left( y, x,y'\right) dx$

在这里，自变量变为数集y和映射集 $\frac{dy}{dx}$ ，已经不是简单的多个数值自变量的函数方程了，其同时将数值元素的映射关系作为自变量。为了进行区分，这种特别的函数称为泛函（Functional），即更加广义的函数（Function）。

在泛函T[y]中，y代表的一系列的数值集合，在定义 $\quad y' = \frac{dy}{dx}$ 中，x和y之间存在某一种映射关系，这些数值与映射关系的集合构成了泛函系统，而输出T[y]则是一个实数值。在这一问题中，我们求解的不是T[y]这一实数值，而是T[y]取极值时，泛函系统中x与y的映射关系（表达式）。

1.3 变分法与欧拉拉格朗日方程

已知:

$T[y] = \int_{x_1}^{x_2} F\left(y,x,y'\right) dx, \quad y' = \frac{dy}{dx}$ (1)

假设泛函 $T[y]$ 在某函数 $y_0(x)$ 处取得极值，那么对于 $y_0(x)$ 的任何微小变化 $\delta y(x)$ ，泛函的变化量 $\delta T$ 都应该为零（可以忽略不计）。这是因为，如果 $\delta T$ 不为零，那么我们就可以通过调整 $\delta y(x)$ 的大小和方向来使得 $T[y]$ 在 $y_0(x)$ 附近取得更大的值（对于极大值）或更小的值（对于极小值），这与 $T[y]$ 在 $y_0(x)$ 处取得极值的假设相矛盾。

这一原理与函数极点处导数为0有异曲同工之妙。对于普通函数而言，其极点前后点的导数也是趋近于0的（线性近似）。

为了更好表述这一问题，对于泛函中映射关系 $y(x)$ 的任何微小变化 $\delta y(x)$ ，学者们称之为“变分”，即 $\delta y(x)$ 是 $y(x)$ 的变分。而利用变分概念求解 $y(x)$ 的映射结构的数学方法被称为变分法。

也就是说：如果 $y(x)$ 是使 $T[y]$ 取得极值的函数，那么对于任何满足边界条件的变分 $\delta y(x)$ ，即将函数进行微小变化： $y(x)\rightarrow y(x) +\varepsilon \eta(x)$ （其中 $\varepsilon$ 是一个很小的参数，且 $\eta(x_1) = \eta(x_2) = 0$ ），对应泛函的变化 $\delta T$ 必须为 0：

$\eta(x)$ 是什么？：
$\eta(x)$ 是一个任意的函数，它表示函数 y(x) 的一个微小变化的方向和形状。当我们想要研究泛函 $T[y]$ 在某个函数 y(x) 附近的极值行为时，我们会考虑 y(x) 沿着不同方向上的微小变化。具体来说，η(x) 可以是任何满足一定条件（比如连续、可微等）的函数，它用于构造 y(x) 的微小变化 y(x)+εη(x)。

为什么 ε 是一个很小的参数？：
在变分法中，当我们想要研究一个泛函 $T[y]$ 的极值时，我们考虑函数 y(x) 的微小变化。这种微小变化可以通过引入一个小参数 ε 来表示，它乘以一个任意的函数 η(x)，即 $y(x)\rightarrow y(x) +\varepsilon \eta(x)$ 。这里，ε 很小是为了保证变化是微小的，从而可以在这一点上进行线性近似，这是变分法的基础。
为什么 $\eta(x_1) = \eta(x_2) = 0$ ？：
在变分问题中，函数 y(x) 通常在区间的端点 x1 和 x2 处满足一定的边界条件。当我们在研究 y(x) 的微小变化时，我们希望这些变化不会破坏原有的边界条件（该曲线必须经过最速降线问题中的起点和终点）。具体来说，假设 y(x) 在 $x_1$ 和 $x_2$ 处分别满足边界条件 $y(x_1)=y_1$ ， $y(x_2)=y_2$ ，仅 $\eta(x_1) = \eta(x_2) = 0$ 时， $y(x) +\varepsilon \eta(x)$ 在 $x_1$ 和 $x_2$ 依然等于 $y_1$ 和 $y_2$ 。

因此，该问题可以表述为：对y(x) 函数进行变化时，泛函的变化 $\delta T$ 为0.

$\delta T = \frac{d}{d\varepsilon} T[y + \varepsilon \eta] \Big|_{\varepsilon = 0} = 0$

将 $y(x) \rightarrow y(x) + \varepsilon \eta(x)$ 代入泛函式(1)有：

$T[y + \varepsilon \eta] = \int_{x_1}^{x_2} F\left(x, y + \varepsilon \eta, y' + \varepsilon \eta'\right) dx$

其中 $\eta' = \frac{d\eta}{dx}$ 。展开 $F(x, y + \varepsilon \eta, y' + \varepsilon \eta')$ 的泰勒级数（仅保留一阶项），得：

$F(x, y + \varepsilon \eta, y' + \varepsilon \eta') = F(x, y, y') + \varepsilon \frac{\partial F}{\partial y} \eta + \varepsilon \frac{\partial F}{\partial y'} \eta' + \mathcal{O}(\varepsilon^2).$

忽略高阶小量 $\mathcal{O}(\varepsilon^2)$ ，进行变化可得：

$\delta T =T[y + \varepsilon \eta] - T[y] = \varepsilon \int_{x_1}^{x_2} \left( \frac{\partial F}{\partial y} \eta + \frac{\partial F}{\partial y'} \eta' \right) dx$ （2）

可以注意到上式中有 $\eta'$ ，为了简化，使用分部积分将 $\eta'$ 转换为 $\eta$ 的形式。根据分部积分公式：

$\int_{x_1}^{x_2} \frac{\partial F}{\partial y'} \eta' dx = \left[\frac{\partial F}{\partial y'} \eta \right]_{x_1}^{x_2} - \int_{x_1}^{x_2} \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) \eta dx$

注： $[\cdot ]_{x_1}^{x_2}$ ：这表示对括号内的表达式在 x1 和 x2 两点进行求值，并计算它们的差。

由于 $\eta(x_1) = \eta(x_2) = 0$ （微小变化在边界处为零），第一项 $\left[\frac{\partial F}{\partial y'} \eta \right]_{x_1}^{x_2}$ 消失，因此：

$\int_{x_1}^{x_2} \frac{\partial F}{\partial y'} \eta' dx = - \int_{x_1}^{x_2} \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) \eta dx$

将这一结果代入式（2），令泛化变化等于0，变化得到：

$\delta T = \varepsilon \int_{x_1}^{x_2} \left( \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) \right) \eta dx=0$

由于 $\eta(x)$ 是任意函数，唯一可能的情况是积分中的括号为零，即：

$\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) = 0$ （3）

而推导出来的式3，就是大名鼎鼎的欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange equations）。

无论是在何种维度的映射中，泛函都满足边界效应，消去差值部分，如本例子中的 $\left[\frac{\partial F}{\partial y'} \eta \right]_{x_1}^{x_2}$ ，因此总能简化为欧拉-拉格朗日方程。

欧拉-拉格朗日方程的第二种表达式：

若函数 $F$ 是 $x,y,y'$ 的函数，即 $F = F(y, y', x)$ 。其全导数为：

$\frac{dF}{dx} = \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} + \frac{\partial F}{\partial y'} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{\partial F}{\partial x}$ (4)

- $\frac{\partial F}{\partial y}$ 是 F 对 y 的偏导数，乘以 $\frac{dy}{dx} = y'$ ；

- $\frac{\partial F}{\partial y'}$ 是 F 对 y'的偏导数，乘以 $\frac{d^2y}{dx^2} = y''$ ；

可得：

$\frac{\partial F}{\partial y'} \cdot y'' =\frac{dF}{dx}- \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} -\frac{\partial F}{\partial x}$ （5）

又因为：

$\frac{d}{dx}(y'\cdot \frac{\partial F}{\partial y'})=y'\cdot \frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y'})+y''\cdot \frac{\partial F}{\partial y'}$ （6）

将式5代入式6代入得

$\frac{d}{dx}(y'\cdot \frac{\partial F}{\partial y'})=y'\cdot \frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y'})+(\frac{dF}{dx}- \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} -\frac{\partial F}{\partial x})$

化简：

$\frac{d}{dx}(y'\cdot \frac{\partial F}{\partial y'})=y'\cdot (\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y'}-\frac{\partial F}{\partial y}))+(\frac{dF}{dx}-\frac{\partial F}{\partial x})$

根据欧拉-拉格朗日方程： $\frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial y'} = \frac{\partial F}{\partial y}$ ，代入上式

$\frac{d}{dx}(y'\cdot \frac{\partial F}{\partial y'})=\frac{dF}{dx}-\frac{\partial F}{\partial x}$

即： $\frac{d}{dx}(y'\cdot \frac{\partial F}{\partial y'}-F)+\frac{\partial F}{\partial x}=0$ （7）

式7就是欧拉-拉格朗日的第二种表达式，适用于二元素的映射泛函 ，即 $F = F(y, y', x)$

特别的，若F中不显含x，则F对x的全导数处处为0。

根据F的定义式 $F(y,x,y') = \frac{\sqrt{1 + (y')^2}}{\sqrt{2gy}}, \quad y' = \frac{dy}{dx}$ ，x在F和函数 $y' \frac{\partial F}{\partial y'}-F$ 中不显含。因此，函数 $y' \frac{\partial F}{\partial y'}-F$ 关于x的偏导数处处为0.

此时，欧拉-拉格朗日方程的第二种形式可进行化简：

因为： $\frac{\partial F}{\partial x}=0$

即 $\frac{d}{dx}(y'\cdot \frac{\partial F}{\partial y'}-F)=0$

两边对x积分有： $y'\cdot \frac{\partial F}{\partial y'}-F=C$

故对于变量x，函数 $y' \frac{\partial F}{\partial y'}-F$ 为一个恒定的值，我们设其为积分常数C。换句话来说， $y' \frac{\partial F}{\partial y'}-F$ 仅关于y和y'变化，不会根据x变化。

1.4 解决最速降线问题

直接将 $T = \int_{x_1}^{x_2} \frac{\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}}{ \sqrt{2gy}} dx$ 代入第一种欧拉-拉格朗日方程式： $\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) = 0$

$\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\sqrt{1 + (y')^2}}{\sqrt{2gy}} \right) = \frac{\sqrt{1 + (y')^2}}{2 \sqrt{2g} y^{3/2}}$

$\frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{y'}{\sqrt{2gy} \sqrt{1 + (y')^2}} \right)$

可得：

$\frac{\sqrt{1 + (y')^2}}{2 \sqrt{2g} y^{3/2}} - \frac{d}{dx} \left( \frac{y'}{\sqrt{2gy} \sqrt{1 + (y')^2}} \right) = 0$

但这并不好解

所以我们用x对F不显式的第二表达式进行求解：

即： $F - y' \frac{\partial F}{\partial y'} = \frac{\sqrt{1 + (y')^2}}{\sqrt{2g(y_1 - y)}} - \frac{y'^2}{\sqrt{2g(y_1 - y)} \sqrt{1 + (y')^2}}=C$

提取公因子 $\frac{1}{\sqrt{2g(y_1 - y)}}$ 后，其分子为：

$\sqrt{1 + (y')^2} - \frac{y'^2}{\sqrt{1 + (y')^2}} = \frac{1 + (y')^2 - y'^2}{\sqrt{1 + (y')^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (y')^2}}$

故：

$F - y' \frac{\partial F}{\partial y'} = \frac{1}{\sqrt{2gy} \sqrt{1 + (y')^2}}=C$

将上式进一步变化：

$y\cdot (1 + (y')^2) = \frac{1}{2gC^2}$

$1 + (y')^2 = \frac{1}{2g C^2}\cdot \frac{1}{y}$

可得：

$y'=\frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{ \frac{1-2gC^2\cdot y}{2gC^2\cdot y}}$

得： $dx=\pm \sqrt{ \frac{2gC^2\cdot y}{1-2gC^2\cdot y}}dy$ （8）

上式并不简洁，我们需要用换元法稍加处理：

对于式8中的 $\sqrt{ \frac{2gC^2\cdot y}{1-2gC^2\cdot y}}$ ，令 $2gC^2\cdot y=\frac{1}{2}(1-cos\theta )$

其中： $y = \frac{1}{4gC^2} (1-\cos\theta)$ ， $\frac{dy}{d\theta}= \frac{1}{4gC^2} sin\theta$

式8中的 $\sqrt{ \frac{2gC^2\cdot y}{1-2gC^2\cdot y}}$ 化为：

$\sqrt{ \frac{\frac{1}{2}(1-cos\theta)}{1-\frac{1}{2}(1-cos\theta)}}=\sqrt{ \frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos\theta}{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos\theta}}=\sqrt{ \frac{1-cos\theta}{1+cos\theta}}$

继续化简：

$\sqrt{ \frac{1-cos\theta}{1+cos\theta}}=\sqrt{ \frac{1-cos\theta}{1+cos\theta}}\cdot \sqrt{\frac{1-cos\theta}{1-cos\theta}}=\sqrt{\frac{(1-cos\theta)^2}{(1+cos\theta)(1-cos\theta)}}=\frac{1-cos\theta}{\sqrt{1-cos^2 \theta}}=\frac{1-cos\theta}{sin\theta}$

于是式8可写为

$dx/d\theta=\pm \frac{1-cos\theta}{sin\theta}dy/d\theta=\pm \frac{1-cos\theta}{sin\theta}\cdot \frac{1}{4gC^2} sin\theta= \frac{1-cos\theta}{4gC^2}$ (9)