本次要总结和分享的是ICLR2017的关于GCN方面的代表作之一论文：SEMI-SUPERVISED CLASSIFICATION WITH GRAPH CONVOLUTIONAL NETWORKS，论文链接为 paper[1]，参考的实现代码为pygcn[2]
文章目录
先导知识
论文动机
模型
切比雪夫逼近卷积核函数
图上的快速近似卷积
半监督节点分类
实验
核心代码分析
个人总结
先导知识
在读这篇论文之前，需要对先导论文 Convolutional Neural Networks on Graphs with Fast Localized Spectral Filtering 有着深入的理解，否则里面数学推导会让人感到迷茫。关于该先导论文，之前的博文已经对其推导过程进行了详细分析，Convolutional Neural Networks on Graphs with Fast Localized Spectral Filtering[3]，
GCN论文阅读总结
感兴趣可以一看，因为其数学推导过程比较复杂，下面进行下简单梳理：
回顾卷积定义
在维基百科里，可以得到卷积操作的定义： 为 的卷积
离散形式
连续形式
用傅里叶变换来表示卷积
表示傅里叶变换， 傅里叶逆变换
也即是：即对于函数 与 两者的卷积是其函数傅立叶变换乘积的逆变换
在graph上的卷积形式推导过程
上式中的 表示卷积核函数（带参数）， 表示是graph的邻接矩阵 的拉普拉斯矩阵 的特征向量
由此得到图上的卷积形式：
其中 为激活函数， 就是卷积核，注意 为拉普拉斯矩阵 特征值组成的对角矩阵，所以 也是对角的
推导可得卷积核函数 如下：
继续推导可得：
上式中 为graph的邻接矩阵A的拉普拉斯矩阵， 为卷积核参数。
切比雪夫逼近卷积核
其中 表示切比雪夫多项式， 表示模型需要学习的参数， 表示re-scaled的 特征值对角矩阵，进行这个shift变换的原因是Chebyshev多项式的输入要在 之间，因此 ( 为 的最大特征值）
由此可以进行递推逼近：
熟悉了上述推导过程，那么对于本文要总结的论文理解起来就简单多了。
论文动机
考虑对图（如论文引用网络）中的节点（如文档）进行分类的问题，其中仅有一小部分节点带有label信息。这个问题可以被定义为基于图的半监督学习，其中标签信息通过某种形式的基于图的显式正则化在图上进行平滑，比如在损失函数上加上拉普拉斯正则项，但是这种做法的前提假设是：在图中相邻连接的节点可能拥有相似的标签信息，这种假设可能会限制建模能力，因为图中的边不一定连接拥有相似的节点，但可能包含额外的信息。
本论文所提方法，能直接对graph进行编码，避免了正则平滑， 作用在图的邻接矩阵上进行有监督学习，并且能学习到每个节点的embedding向量。
本论文受上面所提到的先导论文启发，限制切比雪夫多项式 ，提出了一种可在图上进行快速卷积的模型，并且提出了 ，在数学上进行了推导，证明了该模型的合理性；同时展示了这种基于图的神经网络模型如何进行半监督的分类。
模型
该部分直接在先导知识基础上进行数学公式的推导，最终得到本论文所提的模型。
切比雪夫逼近卷积核函数
在先导知识中，卷积核可等于
则有：
图上的快速近似卷积
在切比雪夫逼近卷积核函数时，本论文中限制其切比雪夫项数 ，同时进一步近似 ，则可得：
可以看出上述公式是一种线性的变换。
在 Convolutional Neural Networks on Graphs with Fast Localized Spectral Filtering[4] 中，分析过，切比雪夫的项数就是就是图卷积的感受野，而这里限制了项数 K= 1，相当于只做了所谓的 first-order approximation，每个节点考虑其一阶邻居对他的影响。
这样做有一些好处的，比如能够缓解局部邻域结构的过度拟合问题，同时这种分层线性的计算方式，允许我们构建更深层次的模型，可以提高建模能力，比如当叠加两层的卷积时，相当于每个节点可以把 2-hops 邻居的特征加以聚合。这样就避免了k=1时只能考虑一阶邻居的影响了。
进一步的，为了限制模型参数，降低每层的计算等，令 ，则有：
的特征值在 范围来，当网络叠加更多层时，容易出现梯度消散/爆炸的问题。论文中提出了 ，即：
注意：从数学公式的推导上看在 的基础上处理是合理的，同时从分析上看也是合理的，因为邻接矩阵 对角线为0，在卷积时，每个节点只能聚合其相邻节点特征，却忽略了自身特征，因此加上 本身也是有必要的。这种 的操作可理解为 ，也即增加自循环。
这种 操作，保证了结果的对称性，同时做到了近似归一化。 ，针对不同的数据集， 取值不一样，
因此卷积过程可表达为如下：
上式中 ， 为样本数量， 为输入通道数（也就是每个节点的特征向量维度）， 为卷积核参数矩阵， 为卷积后的矩阵。
上式可以形象的以下图表示：
半监督节点分类
上图中 表示每个输入节点的特征向量维度， 表示卷积后的feature_maps个数，多层叠加时，最后一层F为类别个数。上面我们得到：
这里记： ，这一步可以在预处理阶段计算好，叠加两层卷积，则可以得：
上式中， ， 为样本数量， 为输入通道数（也就是每个节点的特征向量维度）， ， 为 输入层到隐藏层的参数矩阵，是模型需要学习的，有 个 ， 为隐藏层到输出层的参数矩阵，是模型需要进行学习的。卷积结果为 ，F可理解为类别个数。
上述公式中是以row-wise进行softmax， 可理解为属于某个类别的logits， 可理解为属于所有类别的logits。则模型的损失函数可表示为如下：
上式其实就是多分类上的cross entropy loss，中 为带标签的节点数量。注意第二项是在 上计算。
通过上面的推导分析，我们可以得到本论文图卷积的数学公式如下： 上式中 表示卷积的隐藏层个数（叠加层数，可聚合节点本身与其 的节点特征，可理解卷积感受野）， 表示第 层的隐藏层输出，刚开始 ， 表示模型需要学习的参数矩阵。注意在叠加多层时， 是不变的。单从这个公式来看，本论文所提的图上的卷积方式其实很简单的。
实验
数据集：
论文中用到了上述四个数据集，上表中展示了每个数据集的节点数量、边的数量、类别数、特征维度、带标签节点占比。以Citation network（Citeseer,Cora,Pubmed）举例，该网络是大量文档组成，以文档为节点，以是否有"引用“来连边。其中每个节点的原始输入特征有词袋特征来定义获得，每个节点都有唯一所属的类别（class label)。由此构成了一张图。
实验的一些参数等设置，这里就不详叙述了。
实验结果：
上图的实验中，评价指标为节点分类的ACC，加粗的GCN(this paper) 为论文中的所提的有两层叠加的图卷积网络，GCN(rand，splits) 与GCN(this paper) 网络结构一样，只不过数据集划分上不一样而已。由上图可以看出，本论文提出的GCN网络分类效果最好。除此之外，论文中还和以往的一些GCN网络进行了对比实验：
在这里插入图片描述 显然也是本论文中所提的带有Renormalization trick的GCN效果最好。
核心代码分析
抛开一系列的数学推导不管，其实本论文所提的图卷积方法可用数学公式表示如下：
初始时： ，而 始终是不变的，可以提前计算好。因此代码实现起来其实非常简单了。
代码参考的是pygcn[5]
开源代码中使用的数据集是Cora dataset，关于文档引用的数据集，文档定义为图中的节点，文档间是否有引用关系定义为边。由词袋特征作为节点初始特征，任务是对节点进行分类。
pygcn/data/cora/ 下有两个文本文件
cora.cites 每行格式如：ID of cited paper \t ID of citing paper
cora.content 每行格式如：paper_id word_attributes class_label
加载上述两个文件，进行构图，得到归一化后的邻接矩阵、提取节点特征、label等
def load_data(path="../data/cora/", dataset="cora"):"""Load citation network dataset (cora only for now)"""print('Loading {} dataset...'.format(dataset))idx_features_labels = np.genfromtxt("{}{}.content".format(path, dataset),dtype=np.dtype(str))features = sp.csr_matrix(idx_features_labels[:, 1:-1], dtype=np.float32)labels = encode_onehot(idx_features_labels[:, -1])# build graphidx = np.array(idx_features_labels[:, 0], dtype=np.int32)## 获得每个paper_id在cora.content中所在的行数idx_map = {j: i for i, j in enumerate(idx)} edges_unordered = np.genfromtxt("{}{}.cites".format(path, dataset),dtype=np.int32)## 将有连接的一对节点(paper_id在cora.content的行数）作为一行，生成一个np.arrayedges = np.array(list(map(idx_map.get, edges_unordered.flatten())),dtype=np.int32).reshape(edges_unordered.shape)## 邻接矩阵A，有边为1，反之为0adj = sp.coo_matrix((np.ones(edges.shape[0]), (edges[:, 0], edges[:, 1])),shape=(labels.shape[0], labels.shape[0]),dtype=np.float32)# 将有向边变成对称的无向边adj = adj + adj.T.multiply(adj.T > adj) - adj.multiply(adj.T > adj)## 归一化features = normalize(features)adj = normalize(adj + sp.eye(adj.shape[0]))idx_train = range(140)idx_val = range(200, 500)idx_test = range(500, 1500)features = torch.FloatTensor(np.array(features.todense()))labels = torch.LongTensor(np.where(labels)[1])adj = sparse_mx_to_torch_sparse_tensor(adj)idx_train = torch.LongTensor(idx_train)idx_val = torch.LongTensor(idx_val)idx_test = torch.LongTensor(idx_test)return adj, features, labels, idx_train, idx_val, idx_testdef normalize(mx):"""Row-normalize sparse matrix"""rowsum = np.array(mx.sum(1))r_inv = np.power(rowsum, -1).flatten()r_inv[np.isinf(r_inv)] = 0.r_mat_inv = sp.diags(r_inv)mx = r_mat_inv.dot(mx)return mx显然上述的邻居矩阵的归一化为这种形式： ，而非 。矩阵的归一化有多种，在上面的实验分析部分也做了不同归一化的对比。因此在实际实验中，可进行尝试，选择效果较好的一种。
class GCN(nn.Module):def __init__(self, nfeat, nhid, nclass, dropout):super(GCN, self).__init__()self.gc1 = GraphConvolution(nfeat, nhid)self.gc2 = GraphConvolution(nhid, nclass)self.dropout = dropoutdef forward(self, x, adj):x = F.relu(self.gc1(x, adj))x = F.dropout(x, self.dropout, training=self.training)x = self.gc2(x, adj)return F.log_softmax(x, dim=1)上述的GCN代码就很简单的，就是叠加了两层卷积的网络，在实际训练时，网络的输入是 和归一化后的邻接矩阵 ，具体可再看这个卷积是怎么做的，代码如下：
class GraphConvolution(Module):"""Simple GCN layer, similar to https://arxiv.org/abs/1609.02907"""def __init__(self, in_features, out_features, bias=True):super(GraphConvolution, self).__init__()self.in_features = in_featuresself.out_features = out_featuresself.weight = Parameter(torch.FloatTensor(in_features, out_features))if bias:self.bias = Parameter(torch.FloatTensor(out_features))else:self.register_parameter('bias', None)self.reset_parameters()def reset_parameters(self):stdv = 1. / math.sqrt(self.weight.size(1))self.weight.data.uniform_(-stdv, stdv)if self.bias is not None:self.bias.data.uniform_(-stdv, stdv)def forward(self, input, adj):support = torch.mm(input, self.weight)output = torch.spmm(adj, support)if self.bias is not None:return output + self.biaselse:return outputdef __repr__(self):return self.__class__.__name__ + ' (' \+ str(self.in_features) + ' -> ' \+ str(self.out_features) + ')'上面代码主要看forward部分即可，显然实现的就是 操作而已。
个人总结
本论文模型上的创新点主要有： 提出了在图上的快速卷积的模型（K=1)，第二是提出了renormalization_trick
在限制K=1时，大大限制了模型参数数量，同时可实现多层的叠加，当叠加l层时，可聚合节点自身及其l-hops的节点特征。叠加层数越大，卷积感受野越大。
抛去繁杂的数学公式推导，感性理解本论文所提出的快速卷积，其实非常简单：
参考资料
[1]
paper: https://arxiv.org/pdf/1609.02907.pdf
[2]pygcn: https://github.com/tkipf/pygcn
[3]Convolutional Neural Networks on Graphs with Fast Localized Spectral Filtering: https://blog.csdn.net/Mr_tyting/article/details/108916787
[4]Convolutional Neural Networks on Graphs with Fast Localized Spectral Filtering: https://blog.csdn.net/Mr_tyting/article/details/108916787
[5]pygcn: https://github.com/tkipf/pygcn
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