关于被3个搞物理的“颠覆”了且数学天才陶哲轩“开始压根不相信”的数学常识的算法实现与理解

近日，网上公布了一篇关于根据子矩阵的特征值求得平方赋范特征向量的一篇文章“Eigenvectors from Eigenvalues”[1]。据网上推文描述，该文章是三位物理学家Peter Denton、Stephen Parke和张西宁在做中微子研究时意外发现的一项成果。该推文名为《3个搞物理的颠覆了数学常识，数学天才陶哲轩：我开始压根不相信》，并于2019.11.15被发布于微信公众号，澎湃新闻，百度贴吧等多个媒体平台。其中，澎湃新闻的发布网址为https://www.thepaper.cn/newsDetail_forward_4966910。从标题可以看出，该推文推荐的这篇文章还把数学常识给颠覆了，这对于人类而言可是了不得的大事呀。并且，值得注意的是，该研究成果还受到了数学天才、菲尔兹奖得主陶哲轩的青睐，不仅对该研究成果做出非凡评价：“新公式的非凡之处是，在任何情况下，你不需要知道矩阵中的任何元素，就可以计算出你想要的任何东西”[2]，而且还与这三位物理学家共同发表了该成果。看来该科研成果确实不同凡响。

目前，该文章已被被发表于arXiv上，有兴趣的读者可以点击网址https://arxiv.org/abs/1908.03795 阅读该文章。由于这篇文章是一篇纯数学理论的文章，涉及了许多矩阵论的知识，并不容易看懂。相信很多数读者看完文章一脸懵逼，读完后发现每个单词都能认识但连起来就不清楚在讲什么了。因此，为了帮助大家搞清楚这篇文章的内容，文本将在研读这篇文章的基础上，从算法分析角度实现文章所要表述的核心思想。由于论文已经对数学原理部分做了详细论文，因此本文在以下的论述过程中将不再讲述算法设计的原理，只描述算法设计的过程以及算法实验的结果。

本文涉及的源码上传与Github：https://github.com/imcjp/SquarNormEigVecFromEigVals。读者可自行下载。

更多信息，参见作者个人主页Jianping Cai's Research Page。

结论

在完成了上述算法实现后，本文对该研究做出了以下一些评价。首先，作为一个数学方面的理论成果，其在理论方面的存在价值是毋庸置疑的。该研究成果在一定程度上可能成为某个问题研究过程中的突破口，具有一定的创造性。然而，笔者认为，本篇文章远没有达到某些推文所说的那么牛的地步，甚至能够“颠覆”基础数学。原因有以下几点：

文章的理论深度并不会非常深，像笔者这样不知名的小人物从昨晚看到推文开始也仅用了一个晚上就基本搞懂它的内容和理论推导了，而且陶哲轩大神也仅在两个小时内就给出了三种理论证明的方法。如此快速完成的成果估计很难对数学有多少颠覆。
值得注意的是，该文章所求的并不是特征向量，而是平方赋范特征向量，这两者之间是有巨大的差距的，因为实际应用中求平方赋范特征向量的场景并不多，应用价值有限。更重要的是平方赋范特征向量丢失了特征向量中各个元素的方向（复平面中的方向），只能从特征向量求得平方赋范特征向量，而不能反过来求，因此难以像推文所述解决求特征向量的问题。
该文章所需要处理的矩阵具有局限性，要求为Hermitian矩阵。虽然Hermitian矩阵在实际应用中经常涉及，但总体上讲算法还是比较特殊，很多问题难以拿它来解决。

总之，我本来兴致勃勃地想着研读完这篇比较新的、具有“颠覆性”的数学成果后，想用它来做点什么东西。现在看来，有些失望，因为暂时想不到能够把它应用在什么问题上。不过，也并不能说该研究成果没有价值，可能某些问题中用它正好合适又恰巧解决什么理论问题那就是值得的。