复数


文章目录

  • 复数
    • 虚数 i i i
      • 几何解释
    • 复数
      • 复数的性质
      • 复数的加法
        • 1. 加实部
        • 2. 加虚部
        • 3. 组合实部和虚部
        • 复数加法的几何解释
        • 总结
      • 复数减法
        • 1. 减实部
        • 2. 减虚部
        • 3. 组合实部和虚部
        • 复数减法的几何解释
        • 总结
      • 复数乘法
      • 复数除法
        • 1. 求除数的共轭
        • 2. 两侧同乘共轭
        • 3. 展开乘法
        • 4. 计算分母
        • 5. 计算分子
        • 6. 合并实部和虚部
    • 模长和幅角表示 加减乘除
      • 反正切函数
        • 代码实现
      • 模长(Magnitude)
      • 幅角(Argument)
      • 极坐标形式
        • 实部
        • 虚部
        • 标准形式
        • 例子
      • Euler公式
      • 总结
      • 复数加法
        • 结果
      • 复数减法
        • 结果
      • 复数乘法
        • 模长
        • 幅角
        • 结果
        • 例子
      • 复数除法
        • 模长
        • 幅角
        • 结果
        • 例子


复数

视频地址:复数

虚数 i i i

虚数 i i i是一个数学符号,用于表示实数平方根的概念扩展。虚数 i i i定义为:

i = − 1 i = \sqrt{-1} i=1

在此定义下, i i i的平方是 -1:

i 2 = − 1 i^2 = -1 i2=1

虚数是复数理论的基础,复数是具有实部和虚部的数字。任何复数都可以写成 a + b i a + bi a+bi的形式,其中 a a a b b b是实数, i i i是虚数单位。

几何解释

在复平面上,虚数 i i i 可以表示为逆时针旋转 90 ° 90° 90°的操作。这一几何解释有助于直观地理解复数的运算,特别是乘法和除法。

复数

在这里插入图片描述

复数是一种数学表达形式,可以表示为实数和虚数的组合。每个复数 z z z都可以表示为

z = a + b i z = a + bi z=a+bi

其中 a a a b b b是实数, i i i是虚数单位,满足 i 2 = − 1 i^2 = -1 i2=1

复数的性质

  1. 加法和减法:复数的加法和减法与实数的运算类似,只需分别对实部和虚部进行运算。
    复数平面的特性:复数的加法和减法可以通过向量的几何加法和减法来可视化.
    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-3icHulxk-1692198211538)(vx_images/155805409243195.png =775x)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-DNt077XU-1692198211539)(vx_images/568751310249529.png =751x)]

  1. 乘法:复数的乘法可以通过分配律展开,然后使用 i 2 = − 1 i^2 = -1 i2=1来化简。
    复数平面的特性:复数的乘法和除法可以通过角度和模长的乘法和除法来解释。复数乘法相当于旋转和拉伸操作。
    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-298ykwWl-1692198211539)(vx_images/248535309230966.png =1063x)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-LMyz0prg-1692198211539)(vx_images/500445309231105.png =797x)]

  1. 共轭:复数的共轭是实部不变,虚部的符号改变的复数。对于复数 z = a + b i z = a + bi z=a+bi,其共轭为 z ˉ = a − b i \bar{z} = a - bi zˉ=abi复数平面的特性:复数的共轭是关于实轴的对称点。

  2. :复数的模是其到复平面原点的距离,用 ∣ z ∣ |z| z表示,计算公式为 ∣ z ∣ = a 2 + b 2 |z| = \sqrt{a^2 + b^2} z=a2+b2
    复数平面的特性:复数的模是原点到复数平面上的点的距离。
    在这里插入图片描述

  3. 幅角:复数的幅角是从正实轴逆时针旋转到该复数所需的角度。复数的幅角是从正实轴到复数所在的线段的角度。

  4. 除法:复数的除法可以通过乘以除数的共轭和调整模来实现。

  5. 指数和对数形式:复数可以使用欧拉公式以指数形式表示,例如 e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x e^{ix} = \cos x + i\sin x eix=cosx+isinx

复数平面是一种二维坐标系统,用于表示和可视化复数。在复数平面上,水平轴(通常称为x轴)代表复数的实部,而垂直轴(通常称为y轴)代表复数的虚部。

每个复数 z = a + b i z = a + bi z=a+bi都可以表示为复数平面上的一个点,其中实部 a a a为点的x坐标,虚部 b b b为点的y坐标。

复数的加法

复数加法是将两个复数相加的过程。对于两个复数 z = a + b i z = a + bi z=a+bi w = c + d i w = c + di w=c+di,它们的和可以通过以下简单步骤计算:

1. 加实部

将两个复数的实部相加:

实部之和 = a + c \text{实部之和} = a + c 实部之和=a+c

2. 加虚部

将两个复数的虚部相加:

虚部之和 = b + d \text{虚部之和} = b + d 虚部之和=b+d

3. 组合实部和虚部

将实部和虚部组合在一起,得到最终结果:

z + w = ( a + c ) + ( b + d ) i z + w = (a + c) + (b + d)i z+w=(a+c)+(b+d)i

复数加法的几何解释

在复数平面上,复数加法可以通过向量的几何加法来解释。你可以将复数 z z z w w w 分别看作复数平面上的两个点,或者原点到这两个点的两个向量。然后,将这两个向量头尾相连,并绘制从原点到最后一个向量的尾部的新向量。这个新向量就表示复数的和。

总结

复数加法是一种直观且容易计算的运算,它通过将实部和虚部分别相加来实现。在复数平面上,这个操作具有直观的几何解释,可以通过向量加法来可视化。

复数减法

复数减法是将两个复数相减的过程。如果有两个复数 z = a + b i z = a + bi z=a+bi w = c + d i w = c + di w=c+di,它们的差可以通过以下简单步骤计算:

1. 减实部

将两个复数的实部相减:

实部之差 = a − c \text{实部之差} = a - c 实部之差=ac

2. 减虚部

将两个复数的虚部相减:

虚部之差 = b − d \text{虚部之差} = b - d 虚部之差=bd

3. 组合实部和虚部

将实部和虚部组合在一起,得到最终结果:

z − w = ( a − c ) + ( b − d ) i z - w = (a - c) + (b - d)i zw=(ac)+(bd)i

复数减法的几何解释

在复数平面上,复数减法也可以通过向量的几何减法来解释。你可以将复数 z z z w w w 分别看作复数平面上的两个点,或者原点到这两个点的两个向量。然后,将 w w w 的向量反向,并与 z z z 的向量头尾相连。新形成的向量就表示复数的差。

总结

复数减法是一种直观且容易计算的运算,可以通过将实部和虚部分别相减来实现。在复数平面上,这个操作具有直观的几何解释,并可以通过向量减法来可视化。

复数乘法

复数乘法涉及将两个复数相乘以形成一个新的复数。设有两个复数 z = a + b i z = a + bi z=a+bi w = c + d i w = c + di w=c+di,它们的乘积可以通过以下步骤计算:

1. 展开乘法

将两个复数的乘法展开,就像对多项式进行乘法一样:

( a + b i ) ( c + d i ) = a c + a d i + b c i + b d i 2 (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2

2. 使用 i 2 = − 1 i^2 = -1 i2=1

我们知道虚数单位 i i i 的平方等于 -1,所以我们可以将 i 2 i^2 i2 替换为 -1:

b d i 2 = − b d bdi^2 = -bd bdi2=bd

3. 合并实部和虚部

将实部和虚部组合在一起:

( a + b i ) ( c + d i ) = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i (a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i

复数乘法的几何解释

在复数平面上,复数乘法具有有趣的几何解释。复数的模表示其与原点的距离,而幅角表示与正实轴的角度。复数乘法相当于将这两个复数的模相乘,并将它们的幅角相加。

总结

复数乘法可以通过简单的实数运算计算,并在许多数学和工程应用中都有用处。它在复数平面上的几何解释也为理解复数的性质和行为提供了直观的洞察。

复数除法

复数除法是将一个复数除以另一个复数的过程。设有两个复数 z = a + b i z = a + bi z=a+bi w = c + d i w = c + di w=c+di,我们想求解 z w \frac{z}{w} wz

这个过程可以通过以下步骤完成:

1. 求除数的共轭

找到 w w w 的共轭 w ˉ = c − d i \bar{w} = c - di wˉ=cdi

2. 两侧同乘共轭

将分子和分母都乘以共轭 w ˉ \bar{w} wˉ,得到:

z w × w ˉ w ˉ = z ⋅ w ˉ w ⋅ w ˉ \frac{z}{w} \times \frac{\bar{w}}{\bar{w}} = \frac{z \cdot \bar{w}}{w \cdot \bar{w}} wz×wˉwˉ=wwˉzwˉ

3. 展开乘法

展开乘法,得到:

( a + b i ) ( c − d i ) ( c + d i ) ( c − d i ) \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} (c+di)(cdi)(a+bi)(cdi)

4. 计算分母

分母 ( c + d i ) ( c − d i ) (c + di)(c - di) (c+di)(cdi) c 2 + d 2 c^2 + d^2 c2+d2,因为虚部中的 d i × ( − d i ) di \times (-di) di×(di) 将消掉。

5. 计算分子

分子部分可以通过乘法展开,得到:

( a + b i ) ( c − d i ) = a c − a d i + b c i + b d i 2 = a c − a d i + b c i − b d (a + bi)(c - di) = ac - adi + bci + bdi^2 = ac - adi + bci - bd (a+bi)(cdi)=acadi+bci+bdi2=acadi+bcibd

6. 合并实部和虚部

将实部和虚部组合在一起,得到最终结果:

z w = a c − b d c 2 + d 2 + b c − a d c 2 + d 2 i \frac{z}{w} = \frac{ac - bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i wz=c2+d2acbd+c2+d2bcadi

通过这个过程,我们可以将复数除法转化为实数的基本运算,使其更易于计算和理解。在复数平面上,这个操作相当于旋转和缩放,因为复数除法改变了复数的模和幅角。

模长和幅角表示 加减乘除

反正切函数

arctan ⁡ \arctan arctan 是反正切函数的表示,也被称为正切的反函数或反正切。如果 y = tan ⁡ ( x ) y = \tan(x) y=tan(x),那么 arctan ⁡ ( y ) = x \arctan(y) = x arctan(y)=x

反正切函数将一个实数值映射到 − π 2 -\frac{\pi}{2} 2π π 2 \frac{\pi}{2} 2π 的角度,表示那个角度的正切值与给定的实数相等。

例如, arctan ⁡ ( 1 ) = π 4 \arctan(1) = \frac{\pi}{4} arctan(1)=4π,因为 tan ⁡ ( π 4 ) = 1 \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 tan(4π)=1

在计算中,你通常可以使用编程语言或数学软件中的反正切函数来计算这个值。在许多环境中,还有一个叫做 atan2 ( y , x ) \text{atan2}(y, x) atan2(y,x) 的函数,它返回通过 y / x y/x y/x 给定的斜率对应的角度,并在确定正确象限方面更精确。这在复数运算中特别有用,因为你可以使用 atan2 ( b , a ) \text{atan2}(b, a) atan2(b,a) 来计算复数 a + b i a + bi a+bi 的幅角。

代码实现

是的,C++标准库中包括了 atan2(y, x) 函数,该函数可用于计算点 (x, y) 与X轴之间的角度。你可以通过包括头文件 <cmath> 来使用这个函数。

下面是一个例子,展示了如何使用 atan2(y, x)

#include <iostream>
#include <cmath>int main() {double y = 1.0;double x = 1.0;double result = atan2(y, x);std::cout << "The angle is: " << result << " radians\n";return 0;
}

atan2(y, x) 函数的结果是以弧度表示的,如果你想要将其转换为度,你可以使用 result * 180 / M_PI。在C++中,M_PI 是π的一个常见定义,但并非所有编译器都定义了它。如果你的编译器没有定义 M_PI,你可以自己定义,如 const double M_PI = 3.14159265358979323846;

复数可以通过模长和幅角来表示,这被称为复数的极坐标形式。对于复数 z = a + b i z = a + bi z=a+bi,我们可以使用以下方法将其表示为极坐标形式。

模长(Magnitude)

复数的模长,也称为绝对值,是复数与原点之间在复数平面上的距离。它可以通过以下公式计算:

r = ∣ z ∣ = a 2 + b 2 r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} r=z=a2+b2

幅角(Argument)

复数的幅角,也称为角度,是复数与正实轴之间的角度。它通常用希腊字母 θ \theta θ 表示,并可以通过以下公式计算:

θ = arctan ⁡ ( b a ) \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) θ=arctan(ab)

极坐标形式

结合模长和幅角,我们可以将复数表示为极坐标形式:

z = r ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) z = r(\cos \theta + i\sin \theta) z=r(cosθ+isinθ)

我们可以展开它并找到其实部和虚部。

实部

实部由模长与余弦部分的乘积给出:

a = r cos ⁡ θ a = r \cos \theta a=rcosθ

虚部

虚部由模长与正弦部分的乘积给出:

b = r sin ⁡ θ b = r \sin \theta b=rsinθ

标准形式

结合实部和虚部,我们可以得到复数的标准形式:

z = a + b i = r cos ⁡ θ + r sin ⁡ θ i z = a + bi = r\cos \theta + r\sin \theta i z=a+bi=rcosθ+rsinθi

例子

例如,如果 $ r = 2 $ 并且 θ = π 4 \theta = \frac{\pi}{4} θ=4π,那么:

z = 2 ( 2 2 + 2 2 i ) = 2 + 2 i z = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\right) = \sqrt{2} + \sqrt{2}i z=2(22 +22 i)=2 +2 i

Euler公式

使用Euler公式,极坐标形式可以进一步表示为:

z = r ⋅ e i θ z = r \cdot e^{i\theta} z=reiθ

总结

模长和幅角提供了一种表示复数的有用方法,它捕捉了复数在复数平面上的几何特性。极坐标形式在许多数学和工程应用中都很有用,特别是在处理复数乘法和除法时,因为这些操作可以简化为模长的乘法和除法,以及幅角的加法和减法。

复数加法

复数加法在极坐标形式(模长和幅角)下并不像乘法和除法那样直观。不过,你仍然可以使用以下步骤进行计算:

设有两个复数 z = r 1 ( cos ⁡ θ 1 + i sin ⁡ θ 1 ) z = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1) z=r1(cosθ1+isinθ1) w = r 2 ( cos ⁡ θ 2 + i sin ⁡ θ 2 ) w = r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2) w=r2(cosθ2+isinθ2),你想要找到它们的和。

  1. 转换到标准形式
    z = r 1 cos ⁡ θ 1 + r 1 sin ⁡ θ 1 i z = r_1\cos \theta_1 + r_1\sin \theta_1 i z=r1cosθ1+r1sinθ1i
    w = r 2 cos ⁡ θ 2 + r 2 sin ⁡ θ 2 i w = r_2\cos \theta_2 + r_2\sin \theta_2 i w=r2cosθ2+r2sinθ2i

  2. 相加
    z + w = ( r 1 cos ⁡ θ 1 + r 2 cos ⁡ θ 2 ) + ( r 1 sin ⁡ θ 1 + r 2 sin ⁡ θ 2 ) i z + w = (r_1\cos \theta_1 + r_2\cos \theta_2) + (r_1\sin \theta_1 + r_2\sin \theta_2)i z+w=(r1cosθ1+r2cosθ2)+(r1sinθ1+r2sinθ2)i

  3. 找到结果的模长和幅角
    你可以使用下面的公式找到复数的模长:
    r = ( r 1 cos ⁡ θ 1 + r 2 cos ⁡ θ 2 ) 2 + ( r 1 sin ⁡ θ 1 + r 2 sin ⁡ θ 2 ) 2 r = \sqrt{{(r_1\cos \theta_1 + r_2\cos \theta_2)}^2 + {(r_1\sin \theta_1 + r_2\sin \theta_2)}^2} r=(r1cosθ1+r2cosθ2)2+(r1sinθ1+r2sinθ2)2
    并使用下面的公式找到幅角(请注意,你可能需要使用四象限反正切函数来正确确定角度):
    θ = arctan ⁡ r 1 sin ⁡ θ 1 + r 2 sin ⁡ θ 2 r 1 cos ⁡ θ 1 + r 2 cos ⁡ θ 2 \theta = \arctan \frac{{r_1\sin \theta_1 + r_2\sin \theta_2}}{{r_1\cos \theta_1 + r_2\cos \theta_2}} θ=arctanr1cosθ1+r2cosθ2r1sinθ1+r2sinθ2

结果

因此,两个复数的和的极坐标形式是:
z + w = r ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) z + w = r(\cos \theta + i\sin \theta) z+w=r(cosθ+isinθ)

尽管在极坐标形式下进行复数加法略显复杂,但该方法在涉及复杂计算的问题中仍可能有用。

复数减法

复数减法在极坐标形式(使用模长和幅角)下也是可能的,但与加法类似,它不如乘法和除法直观。以下是如何使用模长和幅角进行复数减法的步骤:

设有两个复数 z = r 1 ( cos ⁡ θ 1 + i sin ⁡ θ 1 ) z = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1) z=r1(cosθ1+isinθ1) w = r 2 ( cos ⁡ θ 2 + i sin ⁡ θ 2 ) w = r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2) w=r2(cosθ2+isinθ2),你想要找到它们的差 z − w z - w zw

  1. 转换到标准形式
    z = r 1 cos ⁡ θ 1 + r 1 sin ⁡ θ 1 i z = r_1\cos \theta_1 + r_1\sin \theta_1 i z=r1cosθ1+r1sinθ1i
    w = r 2 cos ⁡ θ 2 + r 2 sin ⁡ θ 2 i w = r_2\cos \theta_2 + r_2\sin \theta_2 i w=r2cosθ2+r2sinθ2i

  2. 相减
    z − w = ( r 1 cos ⁡ θ 1 − r 2 cos ⁡ θ 2 ) + ( r 1 sin ⁡ θ 1 − r 2 sin ⁡ θ 2 ) i z - w = (r_1\cos \theta_1 - r_2\cos \theta_2) + (r_1\sin \theta_1 - r_2\sin \theta_2)i zw=(r1cosθ1r2cosθ2)+(r1sinθ1r2sinθ2)i

  3. 找到结果的模长和幅角
    你可以使用下面的公式找到复数的模长:
    r = ( r 1 cos ⁡ θ 1 − r 2 cos ⁡ θ 2 ) 2 + ( r 1 sin ⁡ θ 1 − r 2 sin ⁡ θ 2 ) 2 r = \sqrt{{(r_1\cos \theta_1 - r_2\cos \theta_2)}^2 + {(r_1\sin \theta_1 - r_2\sin \theta_2)}^2} r=(r1cosθ1r2cosθ2)2+(r1sinθ1r2sinθ2)2
    并使用下面的公式找到幅角(请注意,你可能需要使用四象限反正切函数来正确确定角度):
    θ = arctan ⁡ r 1 sin ⁡ θ 1 − r 2 sin ⁡ θ 2 r 1 cos ⁡ θ 1 − r 2 cos ⁡ θ 2 \theta = \arctan \frac{{r_1\sin \theta_1 - r_2\sin \theta_2}}{{r_1\cos \theta_1 - r_2\cos \theta_2}} θ=arctanr1cosθ1r2cosθ2r1sinθ1r2sinθ2

结果

因此,两个复数的差的极坐标形式是:
z − w = r ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) z - w = r(\cos \theta + i\sin \theta) zw=r(cosθ+isinθ)

在处理涉及多个复数的复杂问题时,此方法可能仍然有用,尽管它在极坐标形式下并不像乘法和除法那么直观。

复数乘法

使用模长和幅角来表示复数时,复数相乘变得非常直观和方便。

设有两个复数 z = r 1 ( cos ⁡ θ 1 + i sin ⁡ θ 1 ) z = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1) z=r1(cosθ1+isinθ1) w = r 2 ( cos ⁡ θ 2 + i sin ⁡ θ 2 ) w = r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2) w=r2(cosθ2+isinθ2),我们想要找到它们的乘积。

模长

两个复数的乘积的模长是它们各自模长的乘积:

r = r 1 ⋅ r 2 r = r_1 \cdot r_2 r=r1r2

幅角

两个复数的乘积的幅角是它们各自幅角的和:

θ = θ 1 + θ 2 \theta = \theta_1 + \theta_2 θ=θ1+θ2

结果

因此,两个复数的乘积可以表示为:

z ⋅ w = r ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) = r 1 r 2 ( cos ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) + i sin ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) ) z \cdot w = r(\cos \theta + i\sin \theta) = r_1 r_2 (\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)) zw=r(cosθ+isinθ)=r1r2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2))

例子

例如,设 z = 2 ( cos ⁡ π 4 + i sin ⁡ π 4 ) z = 2(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}) z=2(cos4π+isin4π) w = 3 ( cos ⁡ π 3 + i sin ⁡ π 3 ) w = 3(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}) w=3(cos3π+isin3π),那么

z ⋅ w = 2 ⋅ 3 ( cos ⁡ ( π 4 + π 3 ) + i sin ⁡ ( π 4 + π 3 ) ) = 6 ( cos ⁡ 7 π 12 + i sin ⁡ 7 π 12 ) z \cdot w = 2 \cdot 3 (\cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3})) = 6(\cos \frac{7\pi}{12} + i\sin \frac{7\pi}{12}) zw=23(cos(4π+3π)+isin(4π+3π))=6(cos127π+isin127π)

使用模长和幅角来进行复数乘法使运算变得更直观,特别是在涉及复数乘积的更复杂表达式中。它还强调了复数乘法的几何意义,即将两个复数的模长相乘,并将它们的幅角相加。

复数除法

使用模长和幅角表示复数时,复数除法变得相当直观。假设你有两个复数 z = r 1 ( cos ⁡ θ 1 + i sin ⁡ θ 1 ) z = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1) z=r1(cosθ1+isinθ1) w = r 2 ( cos ⁡ θ 2 + i sin ⁡ θ 2 ) w = r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2) w=r2(cosθ2+isinθ2),并且你想要计算 z w \frac{z}{w} wz

模长

两个复数的商的模长是它们各自模长的商:

r = r 1 r 2 r = \frac{r_1}{r_2} r=r2r1

幅角

两个复数的商的幅角是第一个复数的幅角减去第二个复数的幅角:

θ = θ 1 − θ 2 \theta = \theta_1 - \theta_2 θ=θ1θ2

结果

因此,两个复数的商可以表示为:

z w = r ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) = r 1 r 2 ( cos ⁡ ( θ 1 − θ 2 ) + i sin ⁡ ( θ 1 − θ 2 ) ) \frac{z}{w} = r(\cos \theta + i\sin \theta) = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)) wz=r(cosθ+isinθ)=r2r1(cos(θ1θ2)+isin(θ1θ2))

例子

例如,设 z = 2 ( cos ⁡ π 4 + i sin ⁡ π 4 ) z = 2(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}) z=2(cos4π+isin4π) w = 3 ( cos ⁡ π 3 + i sin ⁡ π 3 ) w = 3(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}) w=3(cos3π+isin3π),那么

z w = 2 3 ( cos ⁡ ( π 4 − π 3 ) + i sin ⁡ ( π 4 − π 3 ) ) = 2 3 ( cos ⁡ − π 12 + i sin ⁡ − π 12 ) \frac{z}{w} = \frac{2}{3} (\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3})) = \frac{2}{3}(\cos \frac{-\pi}{12} + i\sin \frac{-\pi}{12}) wz=32(cos(4π3π)+isin(4π3π))=32(cos12π+isin12π)

使用模长和幅角进行复数除法使运算更为直观,特别是在涉及复数商的更复杂表达式中。它还强调了复数除法的几何意义,即将两个复数的模长相除,并将第一个复数的幅角减去第二个复数的幅角。

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.rhkb.cn/news/93931.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系长河编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

conda常用命令及国内镜像源

conda命令使用介绍 启动conda source ~/.bashrc帮助目录 conda create -h检查conda版本 conda --version升级当前版本的conda conda update conda环境管理 列出所有的环境 conda info -e conda env list安装一个不同版本的python新环境 conda create --name py27 pytho…

内网穿透-外远程连接中的RabbitMQ服务

文章目录 前言1.安装erlang 语言2.安装rabbitMQ3. 内网穿透3.1 安装cpolar内网穿透(支持一键自动安装脚本)3.2 创建HTTP隧道 4. 公网远程连接5.固定公网TCP地址5.1 保留一个固定的公网TCP端口地址5.2 配置固定公网TCP端口地址 前言 RabbitMQ是一个在 AMQP(高级消息队列协议)基…

实现动画的连续展示 JAVA

目录 1、前言&#xff1a;2、图片的展示以及自动关闭&#xff1a;3、动画的连续展示&#xff1a; 1、前言&#xff1a; 要实现动画的流畅展示需要在能展示图片的基础上对图片进行关闭&#xff0c;再切换下一张图片&#xff0c;这要关闭窗口&#xff0c;与延时函数以及while函数…

Grafana Prometheus 通过JMX监控kafka 【2023最新方式】

第三方kafka exporter方案 目前网上关于使用Prometheus 监控kafka的大部分资料都是使用一个第三方的 kafka exporter&#xff0c;他的原理大概就是启动一个kafka客户端&#xff0c;获取kafka服务器的信息&#xff0c;然后提供一些metric接口供Prometheus使用&#xff0c;随意它…

【C语言】回调函数,qsort排序函数的使用和自己实现,超详解

文章目录 前言一、回调函数是什么二、回调函数的使用1.使用标准库中的qsort函数2.利用qsort函数对结构体数组进行排序 三、实现qsort函数总结 先记录一下访问量突破2000啦&#xff0c;谢谢大家支持&#xff01;&#xff01;&#xff01; 这里是上期指针进阶链接&#xff0c;方便…

【GitLab私有仓库】如何在Linux上用Gitlab搭建自己的私有库并配置cpolar内网穿透?

文章目录 前言1. 下载Gitlab2. 安装Gitlab3. 启动Gitlab4. 安装cpolar5. 创建隧道配置访问地址6. 固定GitLab访问地址6.1 保留二级子域名6.2 配置二级子域名 7. 测试访问二级子域名 前言 GitLab 是一个用于仓库管理系统的开源项目&#xff0c;使用Git作为代码管理工具&#xf…

数据结构单链表

单链表 1 链表的概念及结构 概念&#xff1a;链表是一种物理存储结构上非连续、非顺序的存储结构&#xff0c;数据元素的逻辑顺序是通过链表中的指针链 接次序实现的 。 在我们开始讲链表之前&#xff0c;我们是写了顺序表&#xff0c;顺序表就是类似一个数组的东西&#xff0…

UG NX二次开发(C#)-CAM-获取刀具类型

文章目录 1、前言2、UG NX中的刀具类型3、获取刀具类型3.1 刀具类型帮助文档1、前言 在UG NX的加工模块,加工刀具是一个必要的因素,其包括了多种类型的类型,有铣刀、钻刀、车刀、磨刀、成型刀等等,而且每种刀具所包含的信息也各不相同。想获取刀具的信息,那就要知道刀具的…

uniapp安卓ios打包上线注意事项

1、安卓包注意事项 隐私政策弹框提示 登录页面隐私政策默认不勾选隐私政策同意前不能获取用户权限APP启动时&#xff0c;在用户授权同意隐私政策前&#xff0c;APP及SDK不可以提前收集和使用IME1、OAID、IMS1、MAC、应用列表等信息 ios包注意事项 需要有注销账号的功能 3、安…

Octree八叉树python

原理 简单示例&#xff1a; 假设我们有以下一组三维点云数据&#xff1a; points [[0.1, 0.1, 0.1],[0.4, 0.1, 0.1],[0.1, 0.4, 0.1],[0.4, 0.4, 0.1],[0.1, 0.1, 0.4],[0.4, 0.1, 0.4],[0.1, 0.4, 0.4],[0.4, 0.4, 0.4], ] 我们可以使用八叉树将这些点云数据存储在三维空…

学习笔记|基于Delay实现的LED闪烁|模块化编程|SOS求救灯光|STC32G单片机视频开发教程(冲哥)|第八集:实现LED闪烁(下)

文章目录 2 函数的使用1.函数定义&#xff08;需要带类型&#xff09;2.函数声明&#xff08;需要带类型&#xff09;3.函数调用 3 新建文件&#xff0c;使用模块化编程新建xxx.c和xxx.h文件xxx.h格式&#xff1a;调用头文件验证代码调用&#xff1a;完整的文件结构如下&#x…

spring入门基本介绍及注入方式---详细介绍

一&#xff0c;spring的简介 Spring是一个开源框架&#xff0c;它由Rod Johnson创建。它是为了解决企业应用开发的复杂性而创建的。 提供了许多功能强大且易于使用的特性&#xff0c;使得开发者能够更加轻松地构建可维护且可扩展的应用程序&#xff0c;简单来说: Spring使用基…

内网穿透实战应用——【通过cpolar分享本地电脑上有趣的照片:发布piwigo网页】

通过cpolar分享本地电脑上有趣的照片&#xff1a;发布piwigo网页 文章目录 通过cpolar分享本地电脑上有趣的照片&#xff1a;发布piwigo网页前言1. 设定一条内网穿透数据隧道2. 与piwigo网站绑定3. 在创建隧道界面填写关键信息4. 隧道创建完成 总结 前言 首先在本地电脑上部署…

最新ChatGPT网站AI系统源码+详细图文搭建教程/支持GPT4.0/AI绘画/H5端/Prompt知识库/

一、前言 SparkAi系统是基于国外很火的ChatGPT进行开发的Ai智能问答系统。本期针对源码系统整体测试下来非常完美&#xff0c;可以说SparkAi是目前国内一款的ChatGPT对接OpenAI软件系统。 那么如何搭建部署AI创作ChatGPT&#xff1f;小编这里写一个详细图文教程吧&#xff01…

Linux学习之iptables的nat表

iptables -t nat 命令 规则链 规则是格式命令。 PREROUTING一般用于内网&#xff0c;用于目的地址转换。 POSTROUTING一般用于外网&#xff0c;用于源地址转换。 iptables -t nat -A PREROUTING -i eth0 -d 114.115.116.117 -p tcp --dport 80 -j DNAT --to-destination 10.0.0…

Docker基础入门:常规软件安装与镜像加载原理

Docker基础入门&#xff1a;常规软件安装与镜像加载原理 一、Docker常规软件安装1.1、部署nginx1.2、部署tomcat1.3、部署elasticsearch1.4、如何部署kibana-->连接elasticsearch1.5、部署可视化工具 二、 镜像加载原理2.1、镜像是什么2.2、Docker镜像加速原理2.3、分层理解…

HTTP--Request详解

请求消息数据格式 请求行 请求方式 请求url 请求协议/版本 GET /login.html HTTP/1.1 请求头 客户端浏览器告诉服务器一些信息 请求头名称: 请求头值 常见的请求头&#xff1a; User-Agent&#xff1a;浏览器告诉服务器&#xff0c;我访问你使用的浏览器版本信息 可…

软件需求-架构师之路(五)

软件需求 软件需求&#xff1a; 指用户 对系统在功能、行为、性能、设计约束等方面的期望。 分为 需求开发 和 需求管理 两大过程。 需求开发&#xff1a; 需求获取需求分析需求定义&#xff08;需求规格说明书&#xff09;需求验证&#xff1a;拉客户一起评审&#xff0c…

Qt扫盲-Qt Paint System 概述

Qt Paint System 概述 一、概述二、绘图设备和后端1. Widget2. Image3. Pixmap4. OpenGL绘制设备5. Picture6. 自定义绘制后端 三、绘图与填充1. Drawing2. 填充 Filling 四、坐标系统1. 渲染Window-Viewport转换 五、读写图像文件1. QMovie 六、绘图相关设备 一、概述 Qt的pa…

时序预测 | MATLAB实现基于CNN-LSTM卷积长短期记忆神经网络的时间序列预测-递归预测未来(多指标评价)

时序预测 | MATLAB实现基于CNN-LSTM卷积长短期记忆神经网络的时间序列预测-递归预测未来(多指标评价) 目录 时序预测 | MATLAB实现基于CNN-LSTM卷积长短期记忆神经网络的时间序列预测-递归预测未来(多指标评价)预测结果基本介绍程序设计参考资料 预测结果 基本介绍 MATLAB实现基…