参考文献：

1. [Batcher68] Batcher K E. Sorting networks and their applications[C]//Proceedings of the April 30–May 2, 1968, spring joint computer conference. 1968: 307-314.

2. [SV11] Smart, N.P., Vercauteren, F.: Fully homomorphic SIMD operations. IACR Cryp

   tology ePrint Archive 2011, 133 (2011)

3. [CKS13] Chatterjee A, Kaushal M, Sengupta I. Accelerating sorting of fully homomorphic encrypted data[C]//Progress in Cryptology–INDOCRYPT 2013: 14th International Conference on Cryptology in India, Mumbai, India, December 7-10, 2013. Proceedings 14. Springer International Publishing, 2013: 262-273.

4. [HS14] Halevi S, Shoup V. Algorithms in HElib[C]//Advances in Cryptology–CRYPTO 2014: 34th Annual Cryptology Conference, Santa Barbara, CA, USA, August 17-21, 2014, Proceedings, Part I 34. Springer Berlin Heidelberg, 2014: 554-571.

5. [EGNS15] Emmadi N, Gauravaram P, Narumanchi H, et al. Updates on sorting of fully homomorphic encrypted data[C]//2015 International Conference on Cloud Computing Research and Innovation (ICCCRI). IEEE, 2015: 19-24.

6. [CDSS15] Çetin G S, Doröz Y, Sunar B, et al. Depth optimized efficient homomorphic sorting[C]//Progress in Cryptology–LATINCRYPT 2015: 4th International Conference on Cryptology and Information Security in Latin America, Guadalajara, Mexico, August 23-26, 2015, Proceedings 4. Springer International Publishing, 2015: 61-80.

7. [Cha&Sen17] Chatterjee A, Sengupta I. Sorting of fully homomorphic encrypted cloud data: Can partitioning be effective?[J]. IEEE Transactions on Services Computing, 2017, 13(3): 545-558.

8. [Cet&Sun17] Çetin G S, Sunar B. Homomorphic rank sort using surrogate polynomials[C]//Progress in Cryptology–LATINCRYPT 2017: 5th International Conference on Cryptology and Information Security in Latin America, Havana, Cuba, September 20–22, 2017, Revised Selected Papers 5. Springer International Publishing, 2019: 311-326.

9. [CSS20] Cetin G S, Savaş E, Sunar B. Homomorphic sorting with better scalability[J]. IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems, 2020, 32(4): 760-771.

10. [IZ21] Iliashenko I, Zucca V. Faster homomorphic comparison operations for BGV and BFV[J]. Proceedings on Privacy Enhancing Technologies, 2021, 2021(3): 246-264.

最初方案

Swap Circuit

[CKS13] 给出了第一个同态排序方案。它基于明文空间是 $GF(2)$ 的 FHE 方案（full 版本，而非 level 版本），构建了 Swap 电路，然后用 Swap 电路搭建冒泡排序、插入排序。令 $a,b$ 是带符号整数，最高位是符号位；令 $\beta$ 表示 $MSB(a-b)$，于是 $a<b⟺\beta =1$。按照从小到大顺序，交换电路为：
$$\begin{array}{rl}tmp& :=\beta \cdot a+(1-\beta )\cdot b\\ b& :=(1-\beta )\cdot a+\beta \cdot b\\ a& :=tmp\end{array}$$

[CKS13] 使用 De Morgan’s law 将 MUX 电路转化为了 XOR 和 AND 门，而非算术加法和算术乘法。正确性是因为加和的两项其中之一是全零比特串，不过直接用 AND 实现算术加法不是更好么？
$$\beta \cdot a+(1-\beta )\cdot b=\overline{\overline{(\beta \cdot a)}\cdot \overline{(\bar{\beta }\cdot b)}}$$

如图所示：

其实，计算机中有另一种交换电路，可以稍微减少的乘法门数量和乘法深度。
$$\begin{array}{rl}a& :=a\oplus b\\ b& :=(\bar{\beta }\cdot a)\oplus b\\ a& :=a\oplus b\end{array}$$

不过，开销占大头的还是计算 $\beta$ 的电路。提取 MSB 不一定需要算术减法电路，也可以直接实现布尔比较电路。对于 $l$ 比特整数乘法深度为 $O(\log l)$，比较电路为
$$\begin{array}{rl}LT(a,b)& :=\sum _{i=1}^l\left((a_i<b_i)\prod _{j=i+1}^l(a_j=b_j)\right)\\ EQ(a,b)& :=\prod _{i=1}^l(a_i=b_i)\end{array}$$

其中，单比特的比较运算可以被实现为 $(x<y):=y\cdot (x\oplus 1)$ 和 $(x=y):=x\oplus y\oplus 1$

Lazy Sort

因为 FHE 开销最大的部件是噪声控制（自举，Recrypt），所以应当删除不必要的操作，累积到一定程度的噪声之后，再执行 Recrypt 操作。另外 [CKS13] 观察到冒泡算法具有一定的容错能力（占比 $30\%$ 的错误比较结果，最终 $60\%$ 的元素位于正确的位置上），因此他们激进地删除了更多的 Recrypt 操作，得到近似有序的同态排序结果。

[CKS13] 提出将排序分为两阶段，

1. 第一阶段，使用移除了适量 Recrypt 的冒泡排序，获得近似有序的排序结果
2. 第二阶段，使用完全 Recrypt 的插入排序，[CKS13] 想当然地认为插排在近似有序数组上更加高效

但是！由于 FHE 最基本的 IND-CPA 安全性，我们无法区分是否发生了 Swap，因此插入排序的每一轮迭代都必须完全执行，并不会提前终止。确切的说：基于 Swap 的排序算法在同态运算下总是以最坏复杂度运行的 [EGNS15]。这包括：冒泡、插排、希尔、选择排序。

[Cha&Sen17] 讨论了基于 Partition 的排序算法，可以绕过上述限制。例如，快速排序的复杂度是依赖于分区质量的，每次递归过程的分区大小越均匀，那么平均复杂度就越接近 $O(n\log n)$，并没有根据是否发生 Swap 来决定提前终止。但是，依然受到 IND-CPA 安全性的限制，枢轴的位置我们无法确定，因此不得不对 index 也加密，导致基于 Partition 的排序算法的效率比基于 Swap 的排序算法效率更低。

同时，[Cha&Sen17] 利用窗口技术，纠正了 [CKS13] 的错误：首先执行近似的冒泡排序，然后在小窗口（例如 $W=2$）中执行完全的插入排序。由于减少了自举数量，速度提升了大约一倍。

Sorting Network

[Batcher68] 提出的 Sorting Network 是一种数据独立的高并行度排序电路，其复杂度固定为 $O(n{\log }^{2}n)$，迭代层数 $O({\log }^{2}n)$，并行度 $O(n)$。[Batcher68] 提出了两种算法，我们默认长度 $n$ 是二的幂次。

1. 双调排序（Bitonic Sort）：

   • 双调序列，一个序列可以分为两个连续部分（首尾循环相接），一部分单调降（不增），另一部分单调升（不降）。

   • Batcher定理，一个长度 $2n$ 的双调序列 $a_1,\cdots ,a_{2n}$，可以分为 MIN 序列 $\min (a_1,a_{n+1}),\cdots ,\min (a_n,a_{2n})$ 和 MAX 序列 $\max (a_1,a_{n+1}),\cdots ,\max (a_n,a_{2n})$，那么 MIN 序列和 MAX 序列都是双调序列，并且 MIN 序列中的最大值小于 MAX 序列中的最小值。

   • Sort 过程：输入双调序列，根据 Batcher 定理划分 MIN 序列和 MAX 序列，然后对它们分别递归执行 Sort 过程，最终将会得到一个有序数组（升序、降序）。

   • Merge 过程：输入任意序列，相邻元素两两合并，形成升调、降调交替的若干区间（相邻的区间组成了一个双调序列）。对这些双调序列调用 Sort 过程可以得到有序数组，我们仍构造出升调、降调交替的若干区间（区间大小翻倍）。迭代执行直到整个数组仅包含一个双调序列，再调用 Sort 过程得到有序数组。

2. 奇偶归并排序（Odd-Even Merge Sort）：

   • Sort 过程：输入任意序列 $a_0,\cdots ,a_{2n-1}$，对于前半部分 $a_0,\cdots ,a_{n-1}$ 和后半部分 $a_n,\cdots ,a_{2n-1}$ 分别递归执行 Sort 过程，这得到了两个有序数组，最后调用 Merge 过程得到一个有序数组。

   • Merge 过程：输入两个有序数组 $a_0,\cdots ,a_{n-1}$ 和 $b_0,\cdots ,b_{n-1}$，如果 $n=1$ 则比较 $a_0<b_0$ 获得一个长度 $2$ 的有序数组；否则重新分组为 EVEN 序列 $a_0,a_2,\cdots ,a_{n-2},b_0,b_2,\cdots ,b_{n-2}$ 和 ODD 序列 $a_1,a_3,\cdots ,a_{n-1},b_1,b_3,\cdots ,b_{n-1}$ ，两者的前半段和后半段也都是有序数组。对它们分别递归执行 Merge 过程，获得两个有序数组 $e_0,\cdots ,e_{n-1}$ 和 $o_0,\cdots ,o_{n-1}$，然后比较 $e_{i+1},o_i$ 并交换使得 $e_{i+1}>o_i$，那么序列 $e_0,o_0,e_1,o_1,\cdots ,e_{n-1},o_{n-1}$ 就是一个有序数组。

[EGNS15] 观察到基于 Swap 的同态排序算法总是以最坏复杂度运行，或者说它的效率与输入数据无关。[EGNS15] 简单地用 FHE Swap 电路搭建出了 Bitonic Sort 和 Odd-Even Merge Sort 同态排序网络，计算复杂度固定为 $O(n{\log }^{2}n)$。

深度最优化

Comparison Matrix

[CDSS] 使用了 LHE 而非 FHE 来实现同态排序，只要支持的 Level 级别够高，就可以完全忽略开销极高的 Recrypt 运算。由于 LHE 是以电路的形式执行的，排序算法需要先通过算术化消除条件分支，然后再通过循环展开得到无环的排序电路。但是 [EGNS15] 使用的 Sorting Network 迭代了 $O({\log }^{2}n)$ 层，每一层的 Swap 输入都依赖于上一层的 Swap 结果，所以同态乘法深度较高，直接用 LHE 实例化将导致极高的参数规模。

为了降低乘法深度，最直观的思路就是只进行深度为 $O(1)$ 的比较。输入密文 $X_0,\cdots ,X_{N-1}$，预计算 comparison matrix，
$$\begin{gathered} M:=\left[\begin{array}{cccc}{m}_{0,0}& m_{0,1}& \cdots & m_{0,N-1}\\ m_{1,0}& m_{1,1}& \cdots & m_{1,N-1}\\ ⋮& & \ddots & \\ m_{N-1,0}& m_{N-1,1}& \cdots & m_{N-1,N-1}\end{array}\right] \\ {m}_{ij}:=LT(X_i,X_j)=\{\begin{array}{rlr}Enc(1),& & x_i<x_j\\ Enc(0),& & otherwise\end{array} \end{gathered}$$

这张表格在后续的 Sort 过程中可以被复用，消除后续的比较运算，从而降低乘法深度。对于 $l$ 比特的数据，布尔电路 $LT(\cdot )$ 的乘法深度为 $O(\log l)$

Direct Sort

矩阵 $M$ 第 $i$ 行的汉明重量，计数了比 $X_i$ 大的元素数量；矩阵 $M$ 第 $j$ 列的汉明重量，计数了比 $X_j$ 小的元素数量。于是，矩阵 $M$ 第 $j$ 列的汉明重量，恰好是从小到大排序时 $X_j$ 的正确次序！

我们利用 $O(\log N)$ 比特的 Wallace Tree 全加器（连续 $N$ 个数的加和，每三个数一组，计算出本位（XOR）和进位（AND），迭代 $O({\log }_{3/2}N)$ 轮）计算汉明重量
$${\sigma }_j=\sum _{i\in [N]}{m}_{ij}$$

然后利用 $O(\log N)$ 比特的 Equality Test 电路，将密文 $X_i$ 放置到正确的位置上
$$Y_j:=\sum _{i\in [N]}({\sigma }_i=j)\cdot X_i$$

不考虑预计算 $M$，Direct Sort 的乘法深度为 $O({\log }_{3/2}N+\log \log N)$，乘法数量为 $O(N^2\log N+N^2\log \log N)$

Greedy Sort

算术加法电路的乘法深度总是较高的，另一种确定 $X_i$ 位置的思路是：$X_i$ 的次序是 $t$，那么恰好有 $t$ 个数比它小，另外的 $N-t-1$ 个数都比它大（注意等号细节）

我们把排序结果写作：
$$Y_t:=\sum _{i\in [N]}{\theta }_{t,i}{X}_i$$

其中的 one-hot 系数通过穷举得到，它含有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-1}{t}\right)$ 个单项，
$${\theta }_{t,i}:=\sum _{k_1=0,k_1\ne i}^{N-t}{m}_{k_1,i}\sum _{k_2=k_1+1,k_2\ne i}^{N-t+1}{m}_{k_2,i}\cdots \sum _{k_t=k_{t-1}+1,k_t\ne i}^{N-1}{m}_{k_t,i}\prod _{j=0,j\ne i,j\ne k_i,\cdots ,k_t}^{N-1}{m}_{ij}$$

不考虑预计算 $M$，Greedy Sort 的乘法深度仅为 $O(\log N)$，但是乘法数量为 $O(N^2\cdot 2^N)$

减少乘法数量

Polynomial Rank Sort

虽然 Direct Sort 和 Greedy Sort 的乘法深度达到了最优，但是其乘法数量依然较多，尤其是 Greedy Sort 需要指数级的同态乘法。[Cet&Sun17] 把 Direct Sort 中的汉明重量的计算，从布尔算术加法电路，迁移到了多项式的幂指数上，于是待排序数据被可以自然地放置在正确位置。

输入数据 { a 0 , ⋯ , a N − 1 } \{a_0,\cdots,a_{N-1}\} {a0​,⋯,aN−1​}，假设 $a_i$ 的次序为 $r_i$，我们定义 rank polynomial ${\rho }_i(x):=x^{r_i}$，那么
$$\begin{array}{rl}b(x)& =\sum _{i=1}^{N-1}{a}_i{\rho }_i(x)\\ & =\sum _{i=1}^{N-1}{a}_i{x}^{r_i}=\sum _{i=1}^{N-1}{b}_i{x}^i\end{array}$$

那么系数向量 $b_0\le b_1\le \cdots \le b_{N-1}$ 就直接是有序的 { a 0 , ⋯ , a N − 1 } \{a_0,\cdots,a_{N-1}\} {a0​,⋯,aN−1​} 啦！这么做对比于 Direct Sort 的好处是，不必再利用 Equality Test 去确定密文放置的位置，而是天然有序。

为了计算 ${\rho }_i(x)$，我们仿照 Direct Sort 的计算方式，

1. 首先预计算 { a 0 , ⋯ , a N − 1 } \{a_0,\cdots,a_{N-1}\} {a0​,⋯,aN−1​} 两两比较的单项式（对应于比较矩阵），每一对 $a_i,a_j,i<j$ 计算
   $$\begin{gathered} {\rho }_{ij}(x):=1,{\rho }_{ji}(x):=x⟺a_i<a_j \\ {\rho }_{ij}(x):=x,{\rho }_{ji}(x):=1⟺a_i\ge a_j \end{gathered}$$

2. 然后计算乘积（对应于汉明重量），
   $${\rho }_i(x):=\prod _{i\ne j}{\rho }_{ij}(x)=x^{{\sum }_{i\ne j}(a_i\ge a_j)}=x^{r_i}$$

3. 最终计算出
   $$b(x)=\sum _{i=1}^{N-1}{a}_i{\rho }_i(x)$$

对于密文 { A 0 , ⋯ , A N − 1 } \{A_0,\cdots,A_{N-1}\} {A0​,⋯,AN−1​} 下的同态计算，
P i j : = ( E n c ( 1 ) − L T ( A i , A j ) ) + L T ( A i , A j ) ⋅ E n c ( x ) ∈ { E n c ( 1 ) , E n c ( x ) } B : = ∑ i ∈ [ N ] ( A i ⋅ ∏ j ≠ i P i j ) = E n c ( ∑ i ∈ [ N ] a i x r i ) \begin{aligned} P_{ij} &:= \left(Enc(1)-LT(A_i,A_j)\right) + LT(A_i,A_j) \cdot Enc(x) \in \{Enc(1),Enc(x)\}\\ B &:= \sum_{i \in [N]} \left( A_i \cdot \prod_{j \neq i} P_{ij} \right) = Enc(\sum_{i \in [N]} a_i x^{r_i}) \end{aligned} Pij​B​:=(Enc(1)−LT(Ai​,Aj​))+LT(Ai​,Aj​)⋅Enc(x)∈{Enc(1),Enc(x)}:=i∈[N]∑​ ​Ai​⋅j=i∏​Pij​ ​=Enc(i∈[N]∑​ai​xri​)​

然而，[Cet&Sun17] 的计算结果是单个多项式，其排序结果存储在了它的系数上。下面我们考虑如何提取出 $N$ 个有序密文，这是我自己想的，论文中没写。

Frobenius Maps

[SV11] 提出了 RLWE-FHE 的 SIMD 技术。给定素数 $p$，分园环 $GF(p)[x]/({\varphi }_m(x))$，次数 $m$ 与 $p$ 互素，令 $d$ 是满足 $m\mid p^d-1$ 的最小正整数，那么分园多项式可以在 $GF(p)$ 上分解为 $l=\varphi (m)/d$ 个不同的 $d$ 次不可约多项式，
$${\varphi }_m(x)=\prod _{i=1}^l{F}_i(x)(\mathrm{mod}p)$$

因为域上的多项式环是主理想环，其素理想都是极大理想。根据 CRT of Ring，理想 $(F_i(x))$ 两两互素，且 $({\varphi }_m(x))$ 是它们的交理想，那么有
$$GF(p)[x]/({\varphi }_m(x))\cong GF(p)[x]/(F_1(x))\times \cdots GF(p)[x]/(F_l(x))\cong (GF(p^d){)}^l$$

这包含了 $l$ 个槽，空间都同构于有限域 $GF(p^d)$。对于不同的槽，它们的唯一区别就是域扩张 $GF(p^d)/GF(p)$ 所使用的代数元不同。根据 $d$ 次本原单位根之间的关系，存在 $g\in {\mathbb{Z}}_m^{\ast }$ 满足 $ord(g)=l$，其索引的环自同构：
$${\kappa }_g:x\mapsto x^g(\mathrm{mod}{\varphi }_m(x))$$

它可以实现槽变换，${\kappa }_g(a(x))(\mathrm{mod}{F}_i(x))=a(x)(\mathrm{mod}{F}_j(x))$

令 $GF(q)$ 是任意有限域，域扩张 $GF(q^N)/GF(q)$ 上的 Frobenius map 定义为
$$\sigma :a\mapsto a^q$$

可以证明：

1. $\sigma$ 是 $GF(q^N)$ 上的双射，并且 ${\sigma }^N=id$
2. ${\sigma }^i$ 是一个 $GF(q)$ - 域自同构
3. 令 $x$ 是 $GF(q^N)/GF(q)$ 的扩张元，那么 ${\sigma }^i(x)=x^{q^i}$ 也都是扩张元
4. 域扩张 $GF(q^N)/GF(q)$ 的迹：$Tr(a):={\sum }_{i=0}^{N-1}{\sigma }^i(a)$
5. 域扩张 $GF(q^N)/GF(q)$ 的范数：$Norm(a):={\prod }_{i=0}^{N-1}{\sigma }^i(a)$

[HS14] 指出，同态 Frobenius map 的乘法深度为零（文中没有给出公式）。我推导了一下，假设 RLWE 密文是
$$ct=(a(x),a(x)s(x)+\Delta m(x)+e(x))\in {\left(GF(p^d)\right)}^2$$

有限扩域 $GF(p^d)$ 上的 $GF(p)$ - 域自同构 $\sigma (x):=x^p$，因为 $a,s,m,e\in GF(p^d)$ 并且 $\Delta \in GF(p)$，
$$\sigma (ct)=(\sigma (a),\sigma (a)\sigma (s)+\Delta \sigma (m)+\sigma (e))\in {\left(GF(p^d)\right)}^2$$

所以 $\sigma (ct)$ 是在私钥 $\sigma (s)$ 下的明文 $\sigma (m)$ 的密文，我们只需再执行 $\sigma (s)\to s$ 的秘钥切换，就完成了同态 Frobenius map，它的代价与槽变换是相同的。

由于所有的线性映射 $L:GF(p^d)\to GF(p)$，恰好就是所有的迹 $L_{\beta }(a):=Tr(\beta a),\beta \in GF(p^d)$。所以，对于 [Cet&Sun17] 的排序结果 $B=Enc({\sum }_i{a}_i{x}^{r_i})$，总是存在 $N$ 个元素 ${\beta }_i$ 索引了投影映射 $Tr({\beta }_{i}B)=Enc(a_i)$，这就提取出了排序结果。

注意，对于 $l$ 比特的数据，每个密文 $A_i$ 包含了 $l$ 个 $GF(p^d)$ 上的常数多项式（二进制分解的各个比特）。电路 $LT(\cdot )$ 是布尔比较电路，输出是布尔值对应的 $GF(p^d)$ 上单个常数多项式。密文 $B=Enc({\sum }_{i\in [N]}{a}_i{x}^{r_i})$，为了阻止数据溢出，最基本的要求是 $d\ge N$。可以使用 SIMD 打包技术，将这些 $N\times l$ 个常数多项式按位加密到 $l$ 个密文中，这额外要求 $\varphi (m)/d\ge N$。

不考虑 $P_{ij}$ 的开销（这主要和 $LT(\cdot )$ 的不同实现有关，[IZ21] 给出了更高效的基于插值的比较算法），Polynomial Rank Sort 的乘法深度为 $O(\log N)$，乘法数量为 $O(N^2)$，并行度为 $O(N)$。对于 $l$ 比特数据，使用 SIMD 技术，先并行计算出 $P_i:={\prod }_{j\ne i}{P}_{ij}$，这需要 $O(N)$ 次同态乘法，乘法深度为 $O(\log N)$；然后并行计算出 $B:={\sum }_{i\in [N]}{A}_i{P}_i$，这需要 $O(l)$ 次同态乘法，乘法深度为 $O(1)$；最后的同态 Frobenius map 不需要同态乘法。共计 $O(N+l)$ 次同态乘法，乘法深度 $O(\log N)$。