利用乘法求解次幂问题—快速幂
- 50. Pow(x, n)
- 372. 超级次方
50. Pow(x, n)
题目链接:50. Pow(x, n)
题目内容:
题目就是要求我们去实现计算x的n次方的功能函数,类似c++的power()函数。但是我们不能使用power()函数直接得到答案,那样这道题就失去了考察的意义。
前面提到乘法a*b可以看作是b个a相加,用加法来完成乘法;x的n次方,就是n个x相乘,那么同样可以用乘法来代替次幂计算,我们称之为快速幂。比如5^7,就是7个5相乘,快速幂的过程如下:
第一轮是乘以5,第二轮乘以5*5,第三轮乘以(5*5)*(5*5),也就是每一轮乘的数都在加倍,这样就能够在log^n的时间复杂度内完成x^n的计算。代码实现如下(C++):
class Solution {
public:double myPow(double x, int n) {//先处理特殊情况if(x == 0) return 0.0;if(x == 1) return 1.0;if(n == 0) return 1.0;bool flage = false;long _n = n;//如果n是负数,x^n = 1/(x^|n|)if(_n < 0){flage = true;_n = -_n;}double ans = 1;double mul = x;//快速幂主体过程while(_n){ if(_n&1) //如果n末位为1,就乘以mulans *= mul; mul *= mul; //mul翻倍_n >>= 1; //n右移一位}return flage ? 1.0/ans : ans; //判断是否需要变成倒数}
};
372. 超级次方
题目链接:372. 超级次方
题目内容:
看起来和上一题是差不多的,但是由于b是一个非常大的正整数,以数组形式给出[1,0,3,4]就表示1034【末位是个位,然后是十位,然后是百位,最前面的是最高位】。其中1 <= b.length <= 2000说明b可以达到10^1999的程度,根本没法用double、long long等数据类型来存储这么大的数,所以在运算过程中也不能直接把b转换成一个数或者每一位转换成一个数,需要其他方法:
将每一位b[i]的数值b[i]*10^(m-1-i)【其中m是b.length】分解成b[i]和10^(m-1-i)两部分,每次先求a^(10^(m-1-i))得到A,再求A^b[i]。a^(10^(m-1-i))随着i的减小越来越大,但是可以看作是上一轮的A^10。
由于每次次幂结果都要mod 1337,所以结果是不会溢出的,a^(10^(m-1-i))每一次用上一轮的A^10来表示就解决了b很大的问题。另外需要注意的是(a*b) mod k =( (a mod k) * (b mod k) ) mod k。
a^(10^(m-1-i))和A^b[i]以及A^10都用快速幂求解。快速幂过程中根据(a*b) mod k =( (a mod k) * (b mod k) ) mod k加上求模操作。代码如下(C++):
class Solution {
public://快速幂long quick_pow(int a, int n){int ans = 1;int mul = a;while(n){if(n&1)//加上求模操作ans = ( (ans % 1337) * (mul % 1337)) % 1337;//mul也加上求模操作mul = ((mul % 1337) * (mul % 1337)) % 1337;n>>=1;}return ans;}int superPow(int a, vector<int>& b) {int ans = 1; for(int j = b.size() - 1; j >= 0; j--){ans =( (ans % 1337) * (quick_pow(a,b[j]) % 1337) ) % 1337;//每次a都在上一次的基础上,变成其10次方a = quick_pow(a, 10);}return ans;}
};