leetCode 62.不同路径动态规划 + 空间复杂度优化

62. 不同路径 - 力扣（LeetCode）

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 “Start” ）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

>>动态规划

机器人从（0,0）位置出发，到（m-1,n-1）终点

按照动规五部曲分析：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j] ：表示从（0,0）出发，到（i,j）有 dp[i][j]条不同的路径

2.确定递推公式

由于机器人每次只能向下或者向右移动一步。所以想要求出dp[i][j]，只能从两个方向推导出来，即

dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1],也就是说 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];

3.dp数组的初始化

dp[i][0]一定都是1，因为从（0,0）的位置到（i,0）的路径只有一条；

dp[0][j]一定也都是1，因为从（0,0）的位置到（0,j）的路径只有一条

初始化代码为：

for(int i = 0,i < m;i++) dp[i][0] = 1;
for(int j = 0;j < n;j++) dp[0][j] = 1;

4.确定遍历顺序

dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1],dp[i][j]都是从其上方和左方推导出来，那么从左到右一层一层遍历就可以了。可以保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值的

5.举例推导dp数组

class Solution {
public:// 动态规划 时间复杂度：O(m x n) 空间复杂度：O(m x n)int uniquePaths(int m, int n) {vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n,0));for(int i=0;i<m;i++) dp[i][0] = 1;for(int j=0;j<n;j++) dp[0][j] = 1;for(int i=1;i<m;i++) {for(int j=1;j<n;j++) {dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];}}return dp[m-1][n-1];}
};

时间复杂度：O(m * n)
空间复杂度：O(m * n)

其实用一个一维数组（也可以理解是滚动数组）也可以，只是不利于理解，但可以优化空间，建议先理解了二维，再理解一维

class Solution {
public:// 动态规划 时间复杂度：O(m x n) 空间复杂度：O(n)int uniquePaths(int m,int n) {vector<int> dp(n);for(int j = 0;j < n;j++) dp[j] = 1;for(int i = 1;i < m;i++) {for(int j = 1;j < n;j++) {dp[j] += dp[j-1];}}return dp[n-1];}
};