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• 图像分解和线性时不变系统
• 二维傅立叶变换
• 图像采样

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图像分解和线性时不变系统

图像数学表达

图像由基本的像素点组成，如果将每一个像素点看作一个脉冲，则每个像素点的值可以看作是脉冲的幅值，这样图像就可以看作是由一系列脉冲组成的。

单个像素点的数学表达式：

$$f(i,j)=A\delta (x-i,y-j)$$

其中，A是像素点的幅值，$\delta (x-x_0,y-y_0)$是二维脉冲函数，表示在$(x_0,y_0)$处的脉冲。

则图像可表示为一些列脉冲的叠加，其数学表达式：

$$f(x,y)=\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^{N}f(i,j)\delta (x-i,y-i)$$

其中，N是图像中的像素点个数，A_i是第i个像素点的幅值，$(x_i,y_i)$是第i个像素点的坐标。

图像处理系统

$$f(x,y)\to \begin{array}{c}\text{image processing T}\end{array}\to g(x,y)$$

其中，f(x,y)是输入图像，g(x,y)是输出图像, T是图像处理系统.
所以数学表达式为：

$$g(x,y)=T[f(x,y)]=T\left[\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^{N}f(i,j)\delta (x-i,y-i)\right]$$

如果T是线性的，则有：

$$g(x,y)=\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^{N}f(i,j)T[\delta (x-i,y-i)]$$

令 $h(x,y)=T[\delta (x,y)]$，即为T的冲激响应。
如果T是时不变系统，则h(x,y)是固定的，不随输入的位置变化，可以在整个空间内平移。则有：

$$g(x,y)=\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^{N}f(i,j)h(x-i,y-i)=f(x,y)\ast h(x,y)$$

• 只用时不变系统才能用卷积计算，时不变系统指的是输入信号发生平易，输出信号也发生平移，不会因位置的不同而产生额外的变化。

T { δ ( x − i , y − j ) } = h ( x − i , y − j ) T \{\delta(x-i,y-j)\} = h(x-i,y-j) T{δ(x−i,y−j)}=h(x−i,y−j)

• h(x,y)也就是滤波器，是固定的，不随输入的位置变化，则其在空间内平移就可以计算图像输出，而不需要做额外的变化。
• 如果h(x,y)是变化的，则在不同的位置输出不一样，不能用单一的h(x,y)来计算输出。

二维傅立叶变换

傅立叶变换为将信号从时域转化为频域。其核心思想是将一个信号分解为不同频率的正弦波叠加。其视觉呈现可参考3B1B的视频。
https://www.youtube.com/watch?v=spUNpyF58BY&t=441s

基础公式

• 欧拉公式：
  $$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$
• 连续傅立叶变换：
  $$F(u,v)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)e^{-i2\pi (ux+vy)}dxdy$$
• 离散傅立叶变换：
  $$F(u,v)=\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-i2\pi (ux/M+vy/N)}$$
• 逆傅立叶变换：
  $$f(x,y)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(u,v)e^{i2\pi (ux+vy)}dudv$$
• 离散傅立叶变换的逆变换：
  $$f(x,y)=\frac{1}{MN}\sum _{u=0}^{M-1}\sum _{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{i2\pi (ux/M+vy/N)}$$
• 傅立叶变换具有可分离性，即：
  $$F(u,v)={\int }_{-\infty }^{\infty }\left[{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)e^{-i2\pi vy}dy\right]e^{-i2\pi ux}dx={\int }_{-\infty }^{\infty }{F}_x(u,y)e^{-i2\pi ux}dx$$
• 离散傅立叶变换的可分离性：
  $$F(u,v)=\frac{1}{MN}\sum _{x=0}^{M-1}\left[\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-i2\pi vy/N}\right]e^{-i2\pi ux/M}=\frac{1}{M}\sum _{x=0}^{M-1}{F}_x(u,y)e^{-i2\pi ux/M}$$

DFT 性质

傅立叶变换得到的频谱图像是复数，通常用幅度谱和相位谱来表示，幅度谱是复数的模，相位谱是复数的辐角。数学表达：

$$F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)=|F(u,v)|e^{i\theta (u,v)}$$

其中：

$$|F(u,v)|=\sqrt{R^2(u,v)+I^2(u,v)}$$

$$\theta (u,v)=\arctan \left(\frac{I(u,v)}{R(u,v)}\right)$$

在图像应用中，通常用幅度谱来表示频谱图像，因为幅度谱包含了图像的主要信息，而相位谱则包含了图像的细节信息。

• 周期性
  $$F(u,v)=F(u+m,v)=F(u,v+n)$$
• 共轭对称性
  $$F(u,v)=F^{\ast }(-u,-v)$$
• 线性性
  $$a{F}_1(u,v)+b{F}_2(u,v)=F(au,v)+F(bu,v)$$
• 卷积
  $$\begin{gathered} f(x,y)\ast g(x,y)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(\alpha ,\beta )g(x-\alpha ,y-\beta )d\alpha d\beta \\ f(x,y)\ast g(x,y)⟺F(u,v)G(u,v) \\ f(x,y)g(x,y)⟺F(u,v)\ast G(u,v) \end{gathered}$$
• 旋转

$$\begin{gathered} x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,u=\omega \cos \phi ,v=\omega \sin \phi \\ f(r,\theta +{\theta }_0)⟺F(\omega ,\phi +{\theta }_0) \end{gathered}$$

• 旋转不变性

$$g(u,v)=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1{e}^{-j(2\pi u{r}^2+v\theta )}f(r,\theta )drd\theta$$

zero padding

zero padding 主要是为了要解决周期性混叠以及循环卷积的问题。采样定理是解决信号混叠的问题，不能解决循环卷积以及周期性混叠的问题。

首先要了解周期延拓的概念：在DFT变换时，隐式的认为信号是无限重复的。

因为信号是无限周期重复的，所以在做卷积运算时，当计算至数据的末尾时，会将下一个周期的头部数据纳入计算，出现循环卷积的现象。

正是因为这种计算方式，导致可能会将图片的左边和右边混在一起。所以需要在图片两边做zero padding.

• zero padding 的尺寸
  • DFT 计算一维信号时，如果有2个信号分别为 N 和 M，那么需要做 zero padding 到 N+M-1 的尺寸
  • DFT 计算二维信号时，如果有2个信号分别为 NxM 和 PxQ，那么需要做 zero padding 到 (N+P-1)x(M+Q-1) 的尺寸

为什么滤波用DFT, 而图像压缩用DCT？

• DFT 计算为复数，可以同时表示信号的幅度和相位信息，便于详细的滤波处理。
• DCT 计算为实数，减少了存储和计算的复杂性。
• DCT 变换后大多数的能量集中在低频信号，更符合人眼的视觉特性。

图像采样

连续信号 $ f_c(x,y)$ 转化为$f_d(x,y)$ 需要经过以下两步：

• 采样 Sampling
  采样主要是将连续的$(x,y)$转化为离散的$(m,n)$，决定图片的分辨率，决定了图片保留的信息。如果采样不足，会产生不可逆的信息丢失。
• 量化 Quantization
  量化主要是针对$f_d(m,n)$量化，将其映射到有限的灰度级上。主要决定了灰度的精度以及视觉效果。

综上：采样过程影响的更大。所以重点关注采样过程。

采样过程

真实世界的信号一般都是带限信号（band-limited）即：

$$F(u,v)=0,\text{for}|u|>U_0\text{or}|v|>V_0$$

其中，$U_0$和$V_0$是带限信号的最大频率。

针对真实信号的采样函数为：

$$s(x,y)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{l=-\infty }^{\infty }\delta (x-m\Delta x,n-\Delta y)$$

其傅立叶变换为：

$$S(u,v)=\frac{1}{\Delta x\Delta y}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{l=-\infty }^{\infty }\delta (u-\frac{k}{\Delta x},v-\frac{l}{\Delta y})$$

故连续信号$f(x,y)$ 转换为离散信号可以表示为：

$$f_d(x,y)=f_c(x,y)s(x,y)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }{f}_c(m\Delta x,n\Delta y)\delta (x-m\Delta x,y-n\Delta y)$$

其傅立叶变换为：

$$F_d(u,v)=F_c(u,v)\ast S(u,v)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_c(u-\frac{m}{\Delta x},v-\frac{n}{\Delta y})=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_c(u-m{f}_{xs},v-n{f}_{ys})$$

可以得到其以$(\frac{1}{\Delta x},\frac{1}{\Delta y})$为周期的周期延拓. 故若不想出现频率混叠，且已知$U_0$和$V_0$是带限信号的最大频率，则有：

$$f_{xs}=\frac{1}{\Delta x}\ge 2U_0,f_{ys}=\frac{1}{\Delta y}\ge 2V_0$$

其中$ \frac{1}{2U_0}$和$ \frac{1}{2V_0}$分别为Nyquist间隔。上述不等式即描述采样定理。若满足上述不等式，即可不丢失信息的情况下对信号进行采样。

恢复原始信号

可以应用理想低通滤波器恢复原始信号：

$$H(u,v)=\{\begin{array}{ll}\Delta x\Delta y,& (u,v)\in (-U_0,U_0)\times (-V_0,V_0)\\ 0,& \text{others}\end{array}$$

其恢复的信号为：

$$\begin{array}{rl}{f}_c(x,y)& =h(x,y)\ast f_d(x,y)\\ & =h(x,y)\ast \sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }{f}_c(m\Delta x,n\Delta y)\delta (x-m\Delta x,y-n\Delta y)\\ & =\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }{f}_c(m\Delta x,n\Delta y)h(x,y)\ast \delta (x-m\Delta x,y-n\Delta y)\\ & =\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }{f}_c(m\Delta x,n\Delta y)h(x-m\Delta x,y-n\Delta y)\\ & =\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }{f}_d(m,n)h(x-m\Delta x,y-n\Delta y)\end{array}$$

综上：若想避免混叠，可以在采样前先对原始图像$f_c(x,y)$进行低通滤波，使其带宽小于采样频率，避免混叠。