数据结构--》解锁数据结构中树与二叉树的奥秘（二）

数据结构中的树与二叉树，是在建立非线性数据结构方面极为重要的两个概念。它们不仅能够模拟出生活中各种实际问题的复杂关系，还常被用于实现搜索、排序、查找等算法，甚至成为一些大型软件和系统中的基础设施。

无论你是初学者还是进阶者，本文将为你提供简单易懂、实用可行的知识点，帮助你更好地掌握树和二叉树在数据结构和算法中的重要性，进而提升算法解题的能力。接下来让我们开启数据结构与算法的奇妙之旅吧。

二叉树的线索化

堆的定义及其建立

树与森林

霍(哈)夫曼树

二叉树的线索化

线索化二叉树（Threaded Binary Tree）是一种对二叉树进行改造的方法，使得二叉树的遍历更加高效。在线索化二叉树中，除了存储左右子节点的指针外，还存储了一些额外的线索信息，用于快速定位前驱和后继节点。

中序线索化二叉树：将二叉树的空指针域利用起来，指向该节点的中序遍历的前驱节点和后继节点。

中序线索二叉树的存储：

先序线索化二叉树：将二叉树的空指针域利用起来，指向该节点的中序遍历的前驱节点和后继节点。

先序线索二叉树的存储：

后序线索化二叉树：将二叉树的空指针域利用起来，指向该节点的中序遍历的前驱节点和后继节点。

先序线索二叉树的存储：

下面是使用C语言实现先序、中序、后续线索化的代码示例：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>// 定义二叉树节点结构
typedef struct Node {int data;struct Node* left;struct Node* right;int isThreaded; // 标志位，用于线索化
} Node;// 创建新节点
Node* createNode(int data) {Node* newNode = (Node*)malloc(sizeof(Node));newNode->data = data;newNode->left = NULL;newNode->right = NULL;newNode->isThreaded = 0;return newNode;
}// 先序线索化
void preorderThreading(Node* root, Node** prev) {if (root == NULL) {return;}if (*prev != NULL && (*prev)->right == NULL) {(*prev)->right = root;  // 将前驱节点的右指针指向当前节点(*prev)->isThreaded = 1; // 将前驱节点的线索标志位置为1}if (root->left == NULL) {root->left = *prev;  // 将当前节点的左指针指向前驱节点root->isThreaded = 1; // 将当前节点的线索标志位置为1}*prev = root;if (!root->isThreaded) {preorderThreading(root->left, prev);}preorderThreading(root->right, prev);
}// 中序线索化
void inorderThreading(Node* root, Node** prev) {if (root == NULL) {return;}inorderThreading(root->left, prev);if (*prev != NULL && (*prev)->right == NULL) {(*prev)->right = root;  // 将前驱节点的右指针指向当前节点(*prev)->isThreaded = 1; // 将前驱节点的线索标志位置为1}if (root->left == NULL) {root->left = *prev;  // 将当前节点的左指针指向前驱节点root->isThreaded = 1; // 将当前节点的线索标志位置为1}*prev = root;inorderThreading(root->right, prev);
}// 后续线索化
void postorderThreading(Node* root, Node** prev) {if (root == NULL) {return;}postorderThreading(root->left, prev);postorderThreading(root->right, prev);if (*prev != NULL && (*prev)->right == NULL) {(*prev)->right = root;  // 将前驱节点的右指针指向当前节点(*prev)->isThreaded = 1; // 将前驱节点的线索标志位置为1}if (root->left == NULL) {root->left = *prev;  // 将当前节点的左指针指向前驱节点root->isThreaded = 1; // 将当前节点的线索标志位置为1}*prev = root;
}int main() {// 创建二叉树Node* root = createNode(1);root->left = createNode(2);root->right = createNode(3);root->left->left = createNode(4);root->left->right = createNode(5);// 先序线索化Node* prev = NULL;preorderThreading(root, &prev);// 中序线索化prev = NULL;inorderThreading(root, &prev);// 后续线索化prev = NULL;postorderThreading(root, &prev);return 0;
}

回顾重点，其主要内容整理成如下内容：

堆的定义及其建立

堆是一种特殊的完全二叉树，它具有以下两个特性：

1）堆中任意节点的值都必须满足堆的性质：对于大根堆（或最大堆），每个节点的值都大于等于其子节点的值；对于小根堆（或最小堆），每个节点的值都小于等于其子节点的值。

2）堆中的二叉树总是完全填满的，即除了最后一层，其他层都是满的，且最后一层从左到右连续。

举个例子：

一个堆可以用一个一维数组来描述：

自顶向下建堆法：方法通过插入堆然后通过上滤方式(下与上比较，下比上大，下与上互换位置)：

自下而上建堆法：方法是对每个父结点进行下滤(上与下比较，上比下大，上与下互换位置)：

树与森林

树的存储表示：

双亲表示法（顺序存储）：用一个一维数组来存储树的所有节点，同时利用另外一个一维数组来存储每个节点的双亲节点。使用顺序存储双亲表示法时，可以方便地通过节点的下标查找其双亲节点，也可以根据节点的双亲节点编号快速查找该节点在数组中的位置。但是，插入和删除操作相对较为复杂，需要进行元素的移动，而且相比链式存储，需要额外的空间存储双亲节点编号信息。