C++前缀和算法：构造乘积矩阵

基础知识点

C++算法：前缀和基础

题目

给你一个下标从 0 开始、大小为 n * m 的二维整数矩阵 grid ，定义一个下标从 0 开始、大小为 n * m 的的二维矩阵 p。如果满足以下条件，则称 p 为 grid 的乘积矩阵：
对于每个元素 p[i][j] ，它的值等于除了 grid[i][j] 外所有元素的乘积。乘积对 12345 取余数。
返回 grid 的乘积矩阵。

示例 1：
输入：grid = [[1,2],[3,4]]
输出：[[24,12],[8,6]]
解释：p[0][0] = grid[0][1] * grid[1][0] * grid[1][1] = 2 * 3 * 4 = 24
p[0][1] = grid[0][0] * grid[1][0] * grid[1][1] = 1 * 3 * 4 = 12
p[1][0] = grid[0][0] * grid[0][1] * grid[1][1] = 1 * 2 * 4 = 8
p[1][1] = grid[0][0] * grid[0][1] * grid[1][0] = 1 * 2 * 3 = 6
所以答案是 [[24,12],[8,6]] 。
示例 2：

输入：grid = [[12345],[2],[1]]
输出：[[2],[0],[0]]
解释：p[0][0] = grid[0][1] * grid[0][2] = 2 * 1 = 2
p[0][1] = grid[0][0] * grid[0][2] = 12345 * 1 = 12345. 12345 % 12345 = 0 ，所以 p[0][1] = 0
p[0][2] = grid[0][0] * grid[0][1] = 12345 * 2 = 24690. 24690 % 12345 = 0 ，所以 p[0][2] = 0
所以答案是 [[2],[0],[0]] 。

感悟

原以为和MOD = 1000000007一样，直接使用封装好的此类，发现错误。赛场上时间紧急，来不及分析是两个不同的问题，还是我封装错误。只好使用笨办法。我记得1000000007是质数，才能转除为乘。考虑过12345是否是质数，当时觉判断烦恼，所以没判断。现在觉得很简单：以5结尾，就是5的倍数，不是质数。

分析

前缀和后缀和。第一轮的preRow记录[0,r) 所有元素的乘积，vLeft[r][c] 记录本行左边各元素的乘积，vRight[r][c]记录本行右边各元素的乘积。vRet[r][c]记录这三个的乘积。第二轮preRow记录[r+1,m_r)所有元素的乘积。第二轮vRet[r][c]乘以preRow就是结果。

测试用例

1	2	3
4	5	6
7	8	9

结果

当前数	前面行的乘积	前面行的乘积	左边乘积	右边乘积
1	1	4…9	1	6
2	1	4…9	1	3
3	1	4…9	2	1
4	6	7…9	1	30
5	6	7…9	4	6
6	6	7…9	20	1
7	1…6	1	1	72
8	1…6	1	7	9
9	1…6	1	56	1

解释

对{4,5,6}而言第一轮preRow是123=6，第二轮preRow是789。对4而言，left是1,right是30。对5而言，left是4,right是6。对6而言，left是20,right是1。

时间复杂度

O(n^2) 2轮，每轮2层循环，每层循环是O(n)。

代码

class Solution {
public:
vector<vector> constructProductMatrix(vector<vector>& grid) {
m_r = grid.size();
m_c = grid.front().size();
//vLeft记录当前行，左边的成绩
vector<vector> vLeft(m_r, vector(m_c)), vRight(m_r, vector(m_c)), vRet(m_r, vector(m_c));
int iPreRow = 1;
for (int r = 0; r < m_r; r++)
{
int pre = 1;
for (int c = 0; c < m_c; c++)
{
vLeft[r][c] = pre;
MulSelf(pre, grid[r][c]);
}
pre = 1;
for (int c = m_c-1 ; c >= 0 ; c-- )
{
vRight[r][c] = pre;
MulSelf(pre, grid[r][c]);
}
for (int c = 0; c < m_c; c++)
{
vRet[r][c] = 1;
MulSelf(vRet[r][c], iPreRow);
MulSelf(vRet[r][c], vLeft[r][c]);
MulSelf(vRet[r][c], vRight[r][c]);
}
MulSelf(iPreRow, pre);
}
iPreRow = 1;
for (int r = m_r-1; r >= 0 ; r-- )
{
int pre = 1;
for (int c = 0; c < m_c; c++)
{
MulSelf(vRet[r][c], iPreRow);
MulSelf(pre, grid[r][c]);
}
MulSelf(iPreRow, pre);
}
return vRet;
}
void MulSelf(int& self, int other)
{
const int MOD = 12345;
self = ((long long)self * other) % MOD;
}
int m_r, m_c;
};

一维化降低复杂度

分析

vLeft[r][c]记录 [0,r)行所有元素及r行[0,c)列元素的乘积，第二轮的pre记录(r,m_c)行所有元素及r行（c,m_c)列元素的乘积。
vLeft[1][1] = 1234 第二轮的pre = 9876

代码

class Solution {
public:
vector<vector> constructProductMatrix(vector<vector>& grid) {
m_r = grid.size();
m_c = grid.front().size();
vector < vector> vLeft(m_r, vector(m_c));
int pre = 1;
for (int r = 0; r < m_r; r++)
{
for (int c = 0; c < m_c; c++)
{
vLeft[r][c] = pre;
MulSelf(pre, grid[r][c]);
}
}
vector<vector> vRet(m_r, vector(m_c));
pre = 1;
for (int r = m_r-1 ; r >= 0 ;r–)
{
for (int c = m_c-1 ; c >= 0 ; c-- )
{
const int index = m_c * r + c;
vRet[r][c] = pre;
MulSelf(vRet[r][c], vLeft[r][c]);
MulSelf(pre, grid[r][c]);
}
}
return vRet;
}
void MulSelf(int& self, int other)
{
const int MOD = 12345;
self = ((long long)self * other) % MOD;
}
int m_r, m_c;
};

测试用例

template
void Assert(const vector& v1, const vector& v2)
{
if (v1.size() != v2.size())
{
assert(false);
return;
}
for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
{
assert(v1[i] == v2[i]);
}
}

template
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
assert(t1 == t2);
}
int main()
{
vector<vector>grid = { {1,2,3},{4,5,6} };
vector<vector> ans = { {720,360,240},{180,144,120} };
auto res = Solution().constructProductMatrix(grid);
Assert(res, ans);
grid = { {1,2,},{3,4},{5,6 }};
ans = { {720,360},{240,180},{144,120} };
res = Solution().constructProductMatrix(grid);
Assert(res, ans);
grid = { { 1,2,3,4,5,6 } };
ans = { { 720,360,240,180,144,120} };
res = Solution().constructProductMatrix(grid);
Assert(res, ans);
grid = { { 1},{2},{3},{4},{5},{6} };
ans = { { 720},{360},{240},{180},{144},{120} };
res = Solution().constructProductMatrix(grid);
Assert(res, ans);
CConsole::Out(res);
}