离散傅里叶变换中的能量守恒公式（帕斯瓦尔定理）及其程序举例验证

一、 离散傅里叶变换中的能量守恒公式

离散傅里叶变换中的能量守恒公式：

$$\sum _{n=0}^{N-1}|x[n]{|}^2=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]{|}^2\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中，$x[n]$是原始信号的离散时间域表示，$X[k]$是信号离散傅里叶变换后的频域表示，$N$是信号的长度。

该公式表示了信号在时间域和频率域中的能量之间的关系。

左侧是原始信号的能量，通过计算每个样本值的平方后求和。

右侧是信号的频率域表示的能量，通过计算每个频率分量的平方求和，并除以信号长度。两者之间存在一个归一化因子 $\frac{1}{N}$，用于保持能量守恒。

这个公式的意义在于，它表明信号在时间域和频率域中的能量总量是相等的，即信号的能量在傅里叶变换过程中保持不变。

在该公式中暗含了$n\in [0,N-1]，k\in [0,N-1]$.

二、基于短长度信号程序的验证

2.1 问题描述

通过编写matlab程序来简单验证，该能量守恒公式。假设时域信号x=[6,2,5]，根据式（1）可得，时间域能量=6×6+2×2+5×5=65。

2.2 通过matlab程序验证

所编写的程序如下：

clc
clear all
close all
% 1.构建一个序列x
x=[6,2,5];
N=length(x);% 2.计算时间域能量energy_time
energy_time=x*x'% 3.计算频率域能量energy_frequency
X=fft(x,N);
X_module=abs(X);
energy_frequency=sum(X_module.^2)/N

运行结果：

图1 运行结果比较
根据运行结果（图1），可以很看到时频域能量相等，公式准确。

三、基于大长度信号程序的验证

3.1 问题描述

通过编写matlab程序来验证较长尺度信号的时频域能量守恒公式。
比如长度为2001采样率为1000的信号:
$$x=10\sin (2\pi \cdot 300\cdot t)$$
的时频域能量守恒。

3.2 通过matlab程序验证

clc
clear all
close all% 1.构建一个序列x
fs=1000;
dt=1/fs;
t=0:dt:2;
x=10*sin(2*pi*300*t)  ;% 2.计算时间域能量energy_time
N=length(x);
energy_time=x*x'% 3.计算频率域能量energy_frequency
X=fft(x,N);
X_module=abs(X);
energy_frequency=sum(X_module.^2)/N

运行结果

图2 运行结果比较

根据运行结果（图2），可以很看到时频域能量相等，公式准确。