相位差和相移

当我们听歌曲时，我们将正弦声音波形感知为音乐。 它们的振幅告诉我们信号有多大，频率告诉我们声音是低音还是高音。 然而，第三个重要参数，即相位，却很难用耳朵体验到。

在本文中，第一部分将介绍相位和相位差的概念。

在第二部分中，我们详细介绍了相移概念的更多方面，并重点关注信号不同步时的特定情况。

第三节也是最后一节最后将介绍相位差在干涉现象中的重要作用。

1、概述

正弦信号的相位通常用$\varphi$表示，并以弧度 (rad) 或度 (°) 为单位进行测量，并且可以在 $-\pi$ 和 $+\pi$ rad 或 -180° 和 +180° 之间变化。

在图表上，交流信号的相位表示其相关正弦函数在时间原点的初始状态：

图1：具有不同相位的三个正弦波形图

信号的相位$\varphi$可以具有三种不同的性质，并决定波形绕垂直轴的位置：

• 等于 0（° 或 rad），例如用作参考信号的信号$y_1(t)$
• 为正值，例如信号 $y_2(t)$
• 为负数，例如信号$y_3(t)$

单个信号的相位并不是很相关，因为无论交流波形是电气性质还是机械性质，无论信号是否有相位，感知都将保持不变。 更重要且可以清楚地感知的是相位差，也称为相同频率的两个信号之间的相移。

2、相位差

2.1 同频信号

在本节中要记住的重要一点是，我们仅讨论具有相同频率的两个信号之间的相移。 因此，考虑具有不同相位和可能不同幅度的相同频率的两个信号：$y_1(t)=A\sin (\omega t+{\varphi }_1)$和$y_2(t)=B\sin (\omega t+{\varphi }_2)$。 我们将相位差定义为$△{\varphi }_{21}={\varphi }_2-{\varphi }_1$。

在图1中，我们有$△{\varphi }_{21}=+{\varphi }_2$、$△{\varphi }_{31}=-{\varphi }_3$ 和 $△{\varphi }_{32}=-{\varphi }_3-{\varphi }_2$。 正相位差，例如$△{\varphi }_{21}$，表示信号$y_2(t)$暂时领先于参考信号$y_1(t)$，我们也说$y_2(t)$领先$y_1(t)$。 负相位差，例如$△{\varphi }_{31}$和$△{\varphi }_{32}$，表示信号$y_3(t)$跟随信号$y_1(t)$和$y_2(t)$，我们也说$y_3(t)$滞后于$y_1(t)$和$y_2(t)$。

在相位差可以取的 -180° 和 +180° 或 $-\pi$ 和 $+\pi$ rad 之间的所有值中，可以突出显示一些值并在下面的图 2 中进行说明：

图2：一些相关相移的示意图

相反相位的特征是 +180° 或 $+\pi$ rad 的相移，与 -180° 或 $-\pi$ rad 严格相同。 如果参考信号为$V_{ref}=v_{ref}\sin (\omega t)$，则相反信号为$V_{opp}=v_{ref}\sin (\omega t+\pi )=-v_{ref}\sin (\omega t)$，因此，$V_{ref}+V_{opp}=0$。

正交信号的特征是“提前”相移为 +90° 或 $+\pi /2$ rad，“延迟”相移为 -90° 或 $-\pi /2$rad。

2.2 电流与电压信号

在本小节中，我们特别关注电偶极子上电流 (I) 和电压 (V) 信号的相移，并研究其对功率的影响。

在直流状态下，偶极子上的耗散功率 § 由电压和电流的乘积给出：

在交流状态下，这种表示不再正确，因为电压和电流都是交替的。 考虑偶极子两端的电压为$V=V_{rms}\sqrt{2}.\sin (\omega t)$，同频率的电流呈现$+△\varphi$的相位差：$I=I_{rms}\sqrt{2}.\sin (\omega t+\varphi )$。 $V_{rms}$ 和 $I_{rms}$ 是均方根值。

可以看出，交流状态下偶极子中消耗的有功功率由等式1 给出：

等式1：交流状态下的耗散功率

$cos(\varphi )$ 称为功率因数，表示接收器吸收电源功率的效率。 该因子是 0 到 1 之间的实数，这两个极值反映了非常不同的行为：

• 如果 $cos(\varphi )=1$，则偶极子被视为纯电阻，电压和电流之间的相移为零。 偶极子不呈现任何电感或电容行为。
• 如果 $cos(\varphi )=0$，偶极子是纯无功的，电压和电流之间的相移最大，等于 ±90° 或 $\pm \pi$/2 rad。 在这种情况下，偶极子不会消耗任何功率，而是将其返回到电路。

等式1 中给出的功率称为有功功率 ($P$)，$V_{rms}\times I_{rms}$ 的乘积称为视在功率，记为$S$。如果组件是纯电阻性的，则它是会耗散的功率。 $V_{rms}\times I_{rms}\times \sin (\varphi )$量是无功功率，记为 $Q$。由于同一复数功率图中的相移 $△\varphi$，这些量可以关联起来：

图3：有功功率、视在功率和无功功率的定义

2.3 相似频率的信号

在本节中，我们考虑两个信号 $y_1(t)$（作为参考）和 $y_2(t)$（频率相似但不严格相同）的 $\varphi$ 相移：${\omega }_1\ne {\omega }_2$。 通常，只能为相同频率的两个信号定义相移，但在这种特殊情况下，定义相位差仍然有意义，因为频率相似。 如果频率相差太大，例如通常当 ${\omega }_1>2{\omega }_2$ 时，定义它就没有意义，因为相位差的变化与信号本身一样多。

在信号频率相似的情况下，相位差不再恒定，而是随时间缓慢变化：$△\varphi (t)=({\omega }_2-{\omega }_1)t+\varphi$。

这两个信号的叠加很有趣，因为会产生如图 4 所示的跳动现象：

图4：两个相似频率信号之间的跳动现象示意图

跳动（Beating）的名字来源于声学领域，这种现象特别容易听到并且容易体验，但是，它也出现在光学、电子、机械等领域……跳动实际上是干扰的一种特殊情况，我们在下一篇中重点讨论 部分。

3、干扰

从图 4 中我们可以看到，当信号同相时，除了幅度之外，有时还会产生正弦波形的叠加；当信号反相时，有时会产生减法。 这种现象称为干扰，当信号具有相同频率时就会发生。

再次考虑两个相同频率的正弦波形：$y_1(t)=A_1\sin (\omega t+{\varphi }_1)$和 $y_2(t)=A_2\sin (\omega t+{\varphi }_2)$。 我们将 $y_3(t)$称为 $y_1(t)+y_2(t)$ 的叠加，将 $A_3$ 称为其振幅。 可以证明$y_3(t)$的幅值满足以下方程：

等式2：叠加信号的幅度

我们可以注意到 $y_1(t)$ 和 $y_2(t)$ 之间的相位差对结果信号的最终幅度起着重要作用。 有两个案例值得强调：

• $△{\varphi }_{12}=0$，信号同相，且幅度$A_3$最大，满足$A_3^2=(A_1+A_2{)}^2$。 在这种情况下，我们说 $y_1$ 和 $y_2$ 之间的干涉是相长的。
• $△{\varphi }_{12}=\pm \pi$ rad，信号反相，振幅$A_3$最小，满足$A_3^2=(A_1-A_2{)}^2$。 在这种情况下，$y_1$和$y_2$之间的干扰是破坏性的。

当相位差位于这两个极值之间时，我们可以绘制一个图表，显示 $A_3$ 作为 $△{\varphi }_{12}$ 函数的演变：

图5：所得信号的振幅与相位差的关系

在该图中，为了简单起见，我们选择$A_1=A_2$。 再次可知，当$△{\varphi }_{12}=0$时，$A_3=A_1+A_2=2$，当$△\varphi 12=\pm 180°$时，$A_3=A_1-A_2=0$。

4、总结

本文详细介绍了相位和相位差的概念，并通过一些例子指出了其重要性。

• 首先，我们介绍什么是信号的相位以及其测量单位。 然而，单独的相位概念并不是很相关，这就是为什么我们重点关注以下有关相位差或相移的部分。
• 在第二部分的第一段中，我们定义了相移 $△\varphi$ 并给出了一些与相位差特定情况相关的词汇：同相（$△\varphi =0°$）、反相（$△\varphi =\pm 180°$）和 正交（$△\varphi =\pm 90°$）
• 在第二小节中，我们强调电路中电流和电压之间相移的重要性。 任何电子元件中消耗的功率都与相移的余弦成正比，称为功率因数。
• 在上一节中，我们将干扰现象与相移参数联系起来并进行解释。 本文前面解释的跳动现象是干扰的一种特殊情况。