题目描述与示例

题目描述

给定一个二维整数矩阵，要在这个矩阵中。选出一个子矩阵，使得这个子矩阵内所有的数字和尽量大

我们把这个子矩阵称为 “和最大子矩阵”，子矩阵的选取原则，是原矩阵中一段相互连续的矩形区域

输入描述

输入的第一行包含两个整数N,M

(1 <= N, M <= 10)

表示一个 N 行 M 列的矩阵

下面有N行 每行有M个整数

同一行中每两个数字之间有一个空格

最后一个数字后面没有空格

所有的数字得在-1000 ~ 1000之间

输出描述

输出一行，一个数字。表示选出的“和最大子矩阵”内所有数字的和

示例

输入

3 4
-3 5 -1 52 4 -2 4
-1 3 -1 3

输出

20

说明

一个3*4的矩阵中 后面3列的和为20，和最大

解题思路

如何表示一个子矩阵

一个子矩阵可以由四个参数决定，分别为上底、下底、左宽、右宽，分别用变量a、b、c、d表示的话，如下图中灰色区域为通过四个参数所确定的矩形。

如果我们想要枚举所有子矩阵，只需要分别枚举a、b、c、d，写一个4层嵌套的for循环即可。

for a in range(n):for b in range(a, n):for c in range(m):for d in range(c, m):pass

暴力解法

暴力解法是很容易想到的，我们只需要枚举所有的子矩阵，然后对每一个子矩阵进行矩阵内所有元素求和即可。其核心代码为

for a in range(n):for b in range(a, n):for c in range(m):for d in range(c, m):submat_sum = 0for i in range(a, b+1):for j in range(c, d+1):submat_sum += mat[i][j]ans = max(submat_sum, ans)

注意到会出现6层for循环嵌套，时间复杂度为$$O(n^3{m}^3)$$。由于数据范围为(1 <= n, m <= 10)，故取最大值时复杂度约为$$O(10^6)$$，无法通过全部用例，故应该思考如何优化。

二维前缀和优化

注意，该方法和LeetCode 304、二维区域和检索 - 矩阵不可变 是类似的。

注意到每一个子矩阵的计算都可以用以下方式进行拆解。

拆解后的四个区域具有一个共同的特点：它们的上底均为上边界、左宽均为左边界。

因此需要考虑类似一维前缀和的方法，将所有的上底为上边界、左宽为左边界（即a = 0，c = 0）的子矩阵的和提前记录在二维前缀和矩阵pre_sum_mat中。

pre_sum_mat是一个大小为(n+1)*(m+1)的矩阵，pre_sum_mat[i][j]表示以第0行、第0列为开头（取得到的开区间），第i行、第j列为结尾（取不到的闭区间）的子矩阵的和。

上述的四个区域的和，就可以分别使用pre_sum_mat[b+1][d+1]，pre_sum_mat[b+1][c]，pre_sum_mat[a][d+1]，pre_sum_mat[a][c]来表示了。

这里对开/闭区间的理解是非常重要的，如果想不清楚的话，后面的代码很容易出错。如果把子矩阵用一种类似切片的方法表示（并不严谨的写法）为mat[a:b+1][c:d+1]。那么上述的分析过程可以写为

sum(mat[a:b+1][c:d+1])
= sum(mat[:b+1][:d+1]) + sum(mat[:a][:c]) - sum(mat[:b+1][:c]) - sum(mat[:a][:d+1])
= pre_sum_mat[b+1][d+1] + pre_sum_mat[a][c] - pre_sum_mat[b+1][c] - pre_sum_mat[a][d+1]

那么，在原矩阵mat中，分别以a、b、c、d为上底、下底、左宽、右宽的子矩阵的和，就可以记为

submat_sum = (pre_sum_mat[b+1][d+1] + pre_sum_mat[a][c] -pre_sum_mat[b+1][c] - pre_sum_mat[a][d+1])

上述计算的时间复杂度为O(1)，因此这种做法规避了暴力解对子矩阵求和时出现的反复计算，降低了最内层求和时时间复杂度。如果把外部的循环体加上，代码为

for a in range(n):for b in range(a, n):for c in range(m):for d in range(c, m):submat_sum = pre_sum_mat[b+1][d+1] + pre_sum_mat[a][c] - \pre_sum_mat[b+1][c] - pre_sum_mat[a][d+1]ans = max(submat_sum, ans)

如果不想让最内层的索引出现+1，则可以修改for循环的范围，代码变为

for a in range(n):for b in range(a+1, n+1):for c in range(m):for d in range(c+1, m+1):submat_sum = pre_sum_mat[b][d] + pre_sum_mat[a][c] - \pre_sum_mat[b][c] - pre_sum_mat[a][d]ans = max(submat_sum, ans)

上述过程的时间复杂度为$O(n^2{m}^2)$。当n、m取最大值时复杂度约为$O(10^4)$，可以通过全部用例。

二维前缀和矩阵的构建

二维前缀和矩阵pre_sum_mat的构建也要用到类似上述的拆分过程，其核心代码如下

pre_sum_mat = [[0] * (m+1) for _ in range(n+1)]
for i in range(1, n+1):for j in range(1, m+1):pre_sum_mat[i][j] = pre_sum_mat[i-1][j] + pre_sum_mat[i][j-1] - \pre_sum_mat[i-1][j-1] + mat[i-1][j-1]

要特别注意二维前缀和pre_sum_mat的大小，在两个维度上均比原矩阵矩阵mat大1。

该过程的时间复杂度为$O(nm)$。

代码

解法一：二维前缀和

Python

# 题目：2023B-最大子矩阵和
# 分值：200
# 作者：闭着眼睛学数理化
# 算法：二维前缀和
# 代码有看不懂的地方请直接在群上提问from math import infn, m = map(int, input().split())
mat = list()
for _ in range(n):row = list(map(int, input().split()))mat.append(row)# 构建二维前缀和数组
pre_sum_mat = [[0] * (m+1) for _ in range(n+1)]
for i in range(1, n+1):for j in range(1, m+1):pre_sum_mat[i][j] = pre_sum_mat[i-1][j] + pre_sum_mat[i][j-1] - \pre_sum_mat[i-1][j-1] + mat[i-1][j-1]# 初始化答案为负无穷小
ans = -inf# 枚举上底a
for a in range(n):# 枚举下底bfor b in range(a, n):# 枚举左宽cfor c in range(m):# 枚举右宽dfor d in range(c, m):# 此时四个参数能够表示一个子矩阵# 根据式子计算子矩阵和，更新anssubmat_sum = pre_sum_mat[b+1][d+1] + pre_sum_mat[a][c] - \pre_sum_mat[b+1][c] - pre_sum_mat[a][d+1]ans = max(submat_sum, ans)print(ans)

Java

import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();int m = scanner.nextInt();int[][] mat = new int[n][m];for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < m; j++) {mat[i][j] = scanner.nextInt();}}int[][] preSumMat = new int[n + 1][m + 1];for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {preSumMat[i][j] = preSumMat[i - 1][j] + preSumMat[i][j - 1] - preSumMat[i - 1][j - 1] + mat[i - 1][j - 1];}}int ans = Integer.MIN_VALUE;for (int a = 0; a < n; a++) {for (int b = a; b < n; b++) {for (int c = 0; c < m; c++) {for (int d = c; d < m; d++) {int submatSum = preSumMat[b + 1][d + 1] + preSumMat[a][c] - preSumMat[b + 1][c] - preSumMat[a][d + 1];ans = Math.max(submatSum, ans);}}}}System.out.println(ans);}
}

C++

#include <iostream>
#include <vector>
#include <limits>using namespace std;int main() {int n, m;cin >> n >> m;vector<vector<int>> mat(n, vector<int>(m));for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < m; j++) {cin >> mat[i][j];}}vector<vector<int>> pre_sum_mat(n + 1, vector<int>(m + 1, 0));for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {pre_sum_mat[i][j] = pre_sum_mat[i - 1][j] + pre_sum_mat[i][j - 1] - pre_sum_mat[i - 1][j - 1] + mat[i - 1][j - 1];}}int ans = numeric_limits<int>::min();for (int a = 0; a < n; a++) {for (int b = a; b < n; b++) {for (int c = 0; c < m; c++) {for (int d = c; d < m; d++) {int submat_sum = pre_sum_mat[b + 1][d + 1] + pre_sum_mat[a][c] - pre_sum_mat[b + 1][c] - pre_sum_mat[a][d + 1];ans = max(submat_sum, ans);}}}}cout << ans << endl;return 0;
}

时空复杂度

时间复杂度：$O(n^2{m}^2)$。

空间复杂度：$O(nm)$。二维前缀和矩阵所占空间。

解法二：暴力解法（不推荐）

Python

# 题目：2023B-最大子矩阵和
# 分值：200
# 作者：闭着眼睛学数理化
# 算法：暴力解
# 代码有看不懂的地方请直接在群上提问from math import infn, m = map(int, input().split())
mat = list()
for _ in range(n):row = list(map(int, input().split()))mat.append(row)# 初始化答案为负无穷小
ans = -inffor a in range(n):for b in range(a, n):for c in range(m):for d in range(c, m):submat_sum = 0for i in range(a, b+1):for j in range(c, d+1):submat_sum += mat[i][j]ans = max(submat_sum, ans)print(ans)

Java

import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();int m = scanner.nextInt();int[][] mat = new int[n][m];for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < m; j++) {mat[i][j] = scanner.nextInt();}}int ans = Integer.MIN_VALUE;for (int a = 0; a < n; a++) {for (int b = a; b < n; b++) {for (int c = 0; c < m; c++) {for (int d = c; d < m; d++) {int submatSum = 0;for (int i = a; i <= b; i++) {for (int j = c; j <= d; j++) {submatSum += mat[i][j];}}ans = Math.max(submatSum, ans);}}}}System.out.println(ans);}
}

C++

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>using namespace std;int main() {int n, m;cin >> n >> m;vector<vector<int>> mat(n, vector<int>(m));for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < m; j++) {cin >> mat[i][j];}}int ans = INT_MIN;for (int a = 0; a < n; a++) {for (int b = a; b < n; b++) {for (int c = 0; c < m; c++) {for (int d = c; d < m; d++) {int submatSum = 0;for (int i = a; i <= b; i++) {for (int j = c; j <= d; j++) {submatSum += mat[i][j];}}ans = max(submatSum, ans);}}}}cout << ans << endl;return 0;
}

时空复杂度

时间复杂度：$O(n^3{m}^3)$。

空间复杂度：$O(1)$。

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