【动态规划】LeetCode2552：优化了6版的1324模式

本文涉及的基础知识点

C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例包括课程视频
动态规划

本题其它解法

C++前缀和算法的应用：统计上升四元组

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题目

给你一个长度为 n 下标从 0 开始的整数数组 nums ，它包含 1 到 n 的所有数字，请你返回上升四元组的数目。
如果一个四元组 (i, j, k, l) 满足以下条件，我们称它是上升的：
0 <= i < j < k < l < n 且
nums[i] < nums[k] < nums[j] < nums[l] 。
示例 1：
输入：nums = [1,3,2,4,5]
输出：2
解释：

当 i = 0 ，j = 1 ，k = 2 且 l = 3 时，有 nums[i] < nums[k] < nums[j] < nums[l] 。
当 i = 0 ，j = 1 ，k = 2 且 l = 4 时，有 nums[i] < nums[k] < nums[j] < nums[l] 。
没有其他的四元组，所以我们返回 2 。
示例 2：
输入：nums = [1,2,3,4]
输出：0
解释：只存在一个四元组 i = 0 ，j = 1 ，k = 2 ，l = 3 ，但是 nums[j] < nums[k] ，所以我们返回 0 。
参数范围：
4 <= nums.length <= 4000
1 <= nums[i] <= nums.length
nums 中所有数字互不相同，nums 是一个排列。

第一版

分析

1324模式，第1的小在最前面，其次是第3小，再次是第2小的，最后是第4小的。

变量解释


v21	v21[i2][i1] = k，表示 nums[i2]和nums[x]组成12模式的数量是k，x取值范围[0,i1)
v32	v32[i3][i2]=k，表示以num[i3]为3以nums[x]为2 组成的132模式的数量是k，x取[0,i2)

代码

class Solution {
public:
long long countQuadruplets(vector& nums) {
m_c = nums.size();
//v21[i2][i1] = k，表示 nums[i2]和nums[x]组成12模式的数量是k，x取值范围[0,i1)
vector<vector> v21(m_c,vector(m_c+1));
for (int i2 = 0; i2 < m_c; i2++)
{
for (int i1 = 0; i1 < i2; i1++)
{
v21[i2][i1 + 1] = v21[i2][i1] + (nums[i1] < nums[i2]);
}
}
vector<vector> v32(m_c, vector(m_c + 1));
for (int i3 = 0; i3 < m_c; i3++)
{
for (int i2 = i3 + 1; i2 < m_c; i2++)
{
v32[i3][i2 + 1] = v32[i3][i2];
if (nums[i3] > nums[i2])
{
v32[i3][i2 + 1] += v21[i2][i3];
}
}
}
long long llRet = 0;
for (int i3 = 0; i3 < m_c; i3++)
{
for (int i4 = i3 + 1; i4 < m_c; i4++)
{
if (nums[i3] < nums[i4])
{
llRet += v32[i3][i4];
}
}
}
return llRet;
}
int m_c;
};

测试用例

template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{if (v1.size() != v2.size()){assert(false);return;}for (int i = 0; i < v1.size(); i++){assert(v1[i] == v2[i]);}
}template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{assert(t1 == t2);
}int main()
{Solution slu;vector<int> nums ;long long res;nums = { 1, 3, 2, 4, 5 };res = slu.countQuadruplets(nums);Assert(2LL, res);nums = { 1, 2,3,4 };res = slu.countQuadruplets(nums);Assert(0LL, res);nums = { 4,3,2,1 };res = slu.countQuadruplets(nums);Assert(0LL, res);nums = { 4,3,2,6,5,1 };res = slu.countQuadruplets(nums);Assert(0LL, res);nums = { 1,3,2,4 };res = slu.countQuadruplets(nums);Assert(1LL, res);nums = { 2,1,4,3,5 };res = slu.countQuadruplets(nums);Assert(2LL, res);nums.clear();for (int i = 0; i < 4000; i++){nums.emplace_back(i + 1);}res = slu.countQuadruplets(nums);Assert(0LL, res);//CConsole::Out(res);
}

第二版

三步是如此相似，也许可以合并。第一步的循环似乎不同。我们把第一步的第一层循环换到第二层就更相似了。修改后的第一步：

	for (int i1 = 0; i1 < m_c ; i1++)		{for (int i2 = i1+1; i2 < m_c; i2++){v21[i2][i1 + 1] = v21[i2][i1] + (nums[i1] < nums[i2]);}}

第三版

第一层的循环变量改成i,第一层的循环变量改成j。

class Solution {
public:long long countQuadruplets(vector<int>& nums) {m_c = nums.size();//v21[i2][i1] = k，表示 nums[i2]和nums[x]组成12模式的数量是k，x取值范围[0,i1)vector<vector<int>> v21(m_c,vector<int>(m_c+1));for (int i = 0; i < m_c ; i++)		{for (int j = i+1; j < m_c; j++){v21[j][i + 1] = v21[j][i] + (nums[i] < nums[j]);}}vector<vector<int>> v32(m_c, vector<int>(m_c + 1));for (int i = 0; i < m_c; i++){for (int j = i + 1; j < m_c; j++){v32[i][j + 1] = v32[i][j];if (nums[i] > nums[j]){v32[i][j + 1] += v21[j][i];}}}long long llRet = 0;for (int i = 0; i < m_c; i++){for (int j = i + 1; j < m_c; j++){if (nums[i] < nums[j]){llRet += v32[i][j];}}}return llRet;}int m_c;
};

第四版

三轮循环合并。

class Solution {
public:long long countQuadruplets(vector<int>& nums) {m_c = nums.size();//v21[i2][i1] = k，表示 nums[i2]和nums[x]组成12模式的数量是k，x取值范围[0,i1)vector<vector<int>> v21(m_c,vector<int>(m_c+1));vector<vector<int>> v32(m_c, vector<int>(m_c + 1));long long llRet = 0;for (int i = 0; i < m_c ; i++)		{for (int j = i+1; j < m_c; j++){v21[j][i + 1] = v21[j][i] + (nums[i] < nums[j]);v32[i][j + 1] = v32[i][j];if (nums[i] > nums[j]){v32[i][j + 1] += v21[j][i];}if (nums[i] < nums[j]){llRet += v32[i][j];}}}return llRet;}int m_c;
};

第五版

v2 只用到三处, v21[j][i + 1] 和 v21[j][i]，可以简化成一维变量。
优化后，代码如下：

class Solution {
public:long long countQuadruplets(vector<int>& nums) {m_c = nums.size();//v21[i2][i1] = k，表示 nums[i2]和nums[x]组成12模式的数量是k，x取值范围[0,i1)vector<vector<int>> v32(m_c, vector<int>(m_c + 1));long long llRet = 0;vector<int> v21(m_c);for (int i = 0; i < m_c ; i++)		{			for (int j = i+1; j < m_c; j++){		v32[i][j + 1] = v32[i][j];if (nums[i] > nums[j]){v32[i][j + 1] += v21[j];}if (nums[i] < nums[j]){llRet += v32[i][j];}v21[j] +=  (nums[i] < nums[j]);}}return llRet;}int m_c;
};

第六版

v32只用到v32[i][j + 1] v32[i][j]，我们可以简化成一个变量i32，i发生变化的时候赋初值0。

class Solution {
public:long long countQuadruplets(vector<int>& nums) {m_c = nums.size();//v21[i2][i1] = k，表示 nums[i2]和nums[x]组成12模式的数量是k，x取值范围[0,i1)long long llRet = 0;vector<int> v21(m_c);for (int i = 0; i < m_c ; i++)		{	int i32 = 0;for (int j = i+1; j < m_c; j++){					if (nums[i] < nums[j]){llRet += i32;}if (nums[i] > nums[j]){i32 += v21[j];}v21[j] +=  (nums[i] < nums[j]);}}return llRet;}int m_c;
};

扩展阅读

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