高等数学【合集2】

文章目录

  • 积分计算
  • 递推+重点补充

积分计算

求导 ⇄ 积分 求导 \rightleftarrows 积分 求导积分

求导积分
( t ) ′ = 1 \large (t)'=1 (t)=1 ∫ t d t = 1 2 t 2 + c \large\int tdt=\frac{1}{2}t^2+c tdt=21t2+c
( 1 x ) ′ = − 1 x 2 \large(\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2} (x1)=x21 ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + c \large\int \frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+c x21dx=x1+c
( l n x ) ′ = 1 x \large(lnx)'=\frac{1}{x} (lnx)=x1 ∫ 1 x d x = ∫ d x x = l n ∣ x ∣ + c \large{\int \frac{1}{x}dx=\int \frac{dx}{x}=ln|x|+c} x1dx=xdx=lnx+c
( x ) ′ = 1 2 x \large(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}} (x )=2x 1 ∫ 1 x d x = 2 x + c \large\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+c x 1dx=2x +c
( a x ) ′ = a x l n a \large(a^x)'=a^xlna (ax)=axlna ∫ a x d x = a x l n a + c \large\int a^xdx= \frac{a^x}{lna}+c axdx=lnaax+c
( s i n x ) ′ = c o s x \large(sinx)'=cosx (sinx)=cosx ∫ c o s x d x = s i n x + c \large\int cosxdx=sinx+c cosxdx=sinx+c
( t a n x ) ′ = s e c 2 x \large(tanx)'=sec^2x (tanx)=sec2x ∫ s e c 2 x d x = t a n x + c \large\int sec^2xdx=tanx+c sec2xdx=tanx+c
( s e c x ) ′ = ( 1 c o s x ) ′ = s e c x t a n x = − s i n x c o s 2 x \large(secx)'=(\frac{1}{cosx})'=secxtanx=-\frac{sinx}{cos^2x} (secx)=(cosx1)=secxtanx=cos2xsinx ∫ s e c x t a n x d x = s e c x + c \large\int secxtanxdx=secx+c secxtanxdx=secx+c
( c o s x ) ′ = − s i n x \large(cosx)'=-sinx (cosx)=sinx ∫ s i n x d x = − c o s x + c \large\int sinxdx=-cosx+c sinxdx=cosx+c
( c o t x ) ′ = − c s c 2 x \large(cotx)'=-csc^2x (cotx)=csc2x ∫ c s c 2 x d x = − c o t x + c \large\int csc^2xdx=-cotx+c csc2xdx=cotx+c
( c s c x ) ′ = ( 1 s i n x ) ′ = − c s c c o t x = − c o s x s i n 2 x \large(cscx)'=(\frac{1}{sinx})'=-csccotx=-\frac{cosx}{sin^2x} (cscx)=(sinx1)=csccotx=sin2xcosx ∫ c s c c o t d x = − c s c x + c \large\int csccotdx=-cscx+c csccotdx=cscx+c
( a r c t a n x ) ′ = 1 1 + x 2 \large(arctanx)'=\frac{1}{1+x^2} (arctanx)=1+x21 ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t a n x + c \large\int \frac{1}{1+x^2}dx=arctanx+c 1+x21dx=arctanx+c
( a r c c o t x ) ′ = − 1 1 + x 2 \large(arccotx)'=-\frac{1}{1+x^2} (arccotx)=1+x21 ∫ − 1 1 + x 2 d x = a r c c o t x + c \large\int -\frac{1}{1+x^2}dx=arccotx+c 1+x21dx=arccotx+c
( a r c s i n x ) ′ = 1 1 − x 2 \large(arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} (arcsinx)=1x2 1 ∫ 1 1 − x 2 d x = a r c s i n x + c \large\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=arcsinx+c 1x2 1dx=arcsinx+c
( a r c c o s x ) ′ = − 1 1 − x 2 \large(arccosx)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} (arccosx)=1x2 1 ∫ − 1 1 − x 2 d x = a r c c o s x + c \large\int -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=arccosx+c 1x2 1dx=arccosx+c

t a n 2 x + 1 = ( s i n x c o s x ) 2 + 1 = ( s i n 2 x + c o s 2 x c o s 2 x ) = 1 c o s 2 x = s e c 2 x 同理 c o t 2 x + 1 = c s c 2 x \large tan^2x+1=(\frac{sinx}{cosx})^2+1=(\frac{sin^2x+cos^2x}{cos^2x})=\frac{1}{cos^2x}=sec^2x \\ \\~\\ 同理cot^2x+1=csc^2x\\~ tan2x+1=(cosxsinx)2+1=(cos2xsin2x+cos2x)=cos2x1=sec2x 同理cot2x+1=csc2x 

∫ t a n 2 x d x = ∫ ( s e c 2 x − 1 ) d x = t a n x − x + c \int tan^2x dx = \int (sec^2x-1 )dx=tanx-x+c \\~\\~ tan2xdx=(sec2x1)dx=tanxx+c  

不定积分公式【积分 ∫ 记得 + C 】 \large 不定积分公式【积分\int记得+C】\\~ 不定积分公式【积分记得+C 
3. 和 4. 的常数 a 2 在前 a r c 反三角函数 , 5. 的 x 2 在前 l n ( 组合 ) ; 8. 和 9. 为 x 2 在前 x 2 ( 本身 ) + l n ( x + 本身 ) , 10. 为 x 2 ( 本身 ) 3.和4.的常数a^2在前arc反三角函数,5.的x^2在前ln(组合); ~8.和9.为\sqrt{x^2}在前 \frac{x}{2} (本身)+ln(x+本身),10.为\frac{x}{2} (本身) 3.4.的常数a2在前arc反三角函数,5.x2在前ln(组合); 8.9.x2 在前2x(本身)+ln(x+本身)10.2x(本身)
\\~\\~   

1. ∫ s e c x d x = ∫ 1 c o s x d x = ∫ d x c o s x = l n ∣ s e c x + t a n x ∣ + C 1.\large{\int secxdx=\int \frac{1}{cosx}dx=\int \frac{dx}{cosx}=ln|secx+tanx|+C }\\~ 1.secxdx=cosx1dx=cosxdx=lnsecx+tanx+C 
2. ∫ c s c x d x = ∫ 1 s i n x d x = ∫ d x s i n x = l n ∣ c s c x − c o t x ∣ + C 2. \large{\int cscxdx =\int \frac{1}{sinx}dx =\int \frac{dx}{sinx}= ln|cscx-cotx|+C }\\~ 2.cscxdx=sinx1dx=sinxdx=lncscxcotx+C 
3. ∫ 1 a 2 − x 2 d x = a r c s i n x a + C 3.\large{ \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C }\\~ 3.a2x2 1dx=arcsinax+C 
4. ∫ 1 a 2 + x 2 d x = 1 a a r c t a n x a + C 4. \large{\int \frac{1}{a^2+x^2}dx = \frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C}\\~ 4.a2+x21dx=a1arctanax+C 
5. ∫ 1 x 2 ± a 2 d x = l n ∣ x + x 2 ± a 2 ∣ + C 5. \large{\int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}dx=ln|x+\sqrt{x^2 \pm a^2}| + C}\\~ 5.x2±a2 1dx=lnx+x2±a2 +C 
6. ∫ 1 1 + e x d x = x − l n ( 1 + e x ) + C = − l n ( 1 + e − x ) + C 6. \large{\int \frac{1}{1+e^x}dx=x-ln(1+e^x)+C=-ln(1+e^{-x})+C }\\~ 6.1+ex1dx=xln(1+ex)+C=ln(1+ex)+C 
7. ∫ 1 a 2 − x 2 d x = 1 2 a l n ∣ a + x a − x ∣ + C = − [ ∫ 1 x 2 − a 2 d x ] = − [ 1 2 a l n ∣ x − a x + a ∣ ] + C 7.\large{\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}ln|\frac{a+x}{a-x}|+C=-[\int \frac{1}{x^2-a^2}dx]=-[~~\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|~~]+C }\\~ 7.a2x21dx=2a1lnaxa+x+C=[x2a21dx]=[  2a1lnx+axa  ]+C 
8. ∫ x 2 + a 2 = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 l n ( x + x 2 + a 2 ) + C 8. \large{\int \sqrt{x^2+a^2}= \frac{x}{2} \sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}{2}ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C}\\~ 8.x2+a2 =2xx2+a2 +2a2ln(x+x2+a2 )+C 
9. ∫ x 2 − a 2 = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 l n ( x + x 2 − a 2 ) + C 9. \large{\int \sqrt{x^2-a^2}= \frac{x}{2} \sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+C}\\~ 9.x2a2 =2xx2a2 2a2ln(x+x2a2 )+C 
10. ∫ a 2 − x 2 = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 a r c s i n x a + C 10. \large{\int \sqrt{a^2-x^2}= \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}arcsin\frac{x}{a}+C} \\~\\~\\~ 10.a2x2 =2xa2x2 +2a2arcsinax+C   

因为有常数 C , 同一积分可有多种答案 , 可求导验证正确性 : 因为有常数C,同一积分可有多种答案,可求导验证正确性: 因为有常数C,同一积分可有多种答案,可求导验证正确性:

1. ( l n ∣ s e c x + t a n x ∣ ) ′ = 1 s e c x + t a n x ( s e c x t a n x + s e c 2 x ) = s e c x ( t a n x + s e c x ) s e c x + t a n x = s e c x 1.\large(ln|secx+tanx|)'=\frac{1}{secx+tanx}(secxtanx+sec^2x)=\frac{secx(tanx+secx)}{secx+tanx}=secx \\~ 1.(lnsecx+tanx)=secx+tanx1(secxtanx+sec2x)=secx+tanxsecx(tanx+secx)=secx 
2. ( l n ∣ c s c x − c o t x ∣ ) ′ = 1 c s c x − c o t x ( − c s c x c o t x + c s c 2 x ) = c s c x ( − c o t x + c s c x ) c s c x − c o t x = c s c x 2.\large(ln|cscx-cotx|)'=\frac{1}{cscx-cotx}(-cscxcotx+csc^2x)=\frac{cscx(-cotx+cscx)}{cscx-cotx}=cscx \\~ 2.(lncscxcotx)=cscxcotx1(cscxcotx+csc2x)=cscxcotxcscx(cotx+cscx)=cscx 
3. ( a r c s i n x a ) ′ = 1 1 − ( a x ) 2 ∗ 1 a = 1 a 2 − x 2 3.\large(arcsin\frac{x}{a})'=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{a}{x})^2}}*\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \\~ 3.(arcsinax)=1(xa)2 1a1=a2x2 1 
4. ( 1 a a r c t a n x a ) ′ = 1 a ∗ 1 1 + ( x a ) 2 = 1 a 2 + x 2 4.\large(\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a})'=\frac{1}{a}*\frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2}=\frac{1}{a^2+x^2} \\~ 4.(a1arctanax)=a11+(ax)21=a2+x21 
5. ( l n ∣ x + x 2 ± a 2 ∣ ) ′ = 1 x + x 2 ± a 2 ∗ ( 1 + 1 2 x 2 ± a 2 ∗ 2 x ) = 1 x + x 2 ± a 2 ∗ ( x 2 ± a 2 + x x 2 ± a 2 ) = 1 x 2 ± a 2 5.\large{(ln|x+\sqrt{x^2 \pm a^2}| )'= \frac{1}{x+\sqrt{x^2 \pm a^2}}*(1+\frac{1}{2\sqrt{x^2 \pm a^2}}*2x)=\frac{1}{x+\sqrt{x^2 \pm a^2}}*(\frac{\sqrt{x^2 \pm a^2 }+x}{\sqrt{x^2 \pm a^2}})=\frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} }\\~ 5.(lnx+x2±a2 )=x+x2±a2 1(1+2x2±a2 12x)=x+x2±a2 1(x2±a2 x2±a2 +x)=x2±a2 1 

6. ( x − l n ( 1 + e x ) + C ) ′ = 1 − 1 1 + e x ∗ e x = 1 + e x − 1 1 + e x = 1 1 + e x 6.\large{(x-ln(1+e^x)+C)'=1-\frac{1}{1+e^x}*e^x=\frac{1+e^x-1}{1+e^x}=\frac{1}{1+e^x} } \\~ 6.(xln(1+ex)+C)=11+ex1ex=1+ex1+ex1=1+ex1 
∫ 1 1 + e x d x 多种积分解法 : \large{\int \frac{1}{1+e^x}dx}多种积分解法:\\~ 1+ex1dx多种积分解法: 
凑微分: ∫ 1 1 + e x d x = ∫ 1 + e x − e x 1 + e x d x = ∫ 1 d x − ∫ 1 1 + e x d ( 1 + e x ) = x − l n ( 1 + e x ) + C 凑微分:\large{\int \frac{1}{1+e^x}dx}=\large{\int \frac{1+e^x-e^x}{1+e^x}dx}=\large{\int 1dx-\int \frac{1}{1+e^x}d(1+e^x)}=x-ln(1+e^x)+C \\~ 凑微分:1+ex1dx=1+ex1+exexdx=1dx1+ex1d(1+ex)=xln(1+ex)+C 
提公因子: ∫ 1 1 + e x d x = ∫ 1 e x ( e − x + 1 ) d x = ∫ e − x e − x + 1 d x = − ∫ 1 e − x + 1 ( e − x + 1 ) = − l n ( 1 + e − x ) + C = − l n ( e x + 1 e x ) + C = − ( l n ( e x + 1 ) − l n e x ) + C = x − l n ( 1 + e x ) + C 提公因子:\large{\int \frac{1}{1+e^x}dx=\int \frac{1}{e^x(e^{-x}+1)}dx= \int \frac{e^{-x}}{e^{-x}+1}dx}=-\int \frac{1}{e^{-x}+1}(e^{-x}+1)=-ln(1+e^{-x})+C \\ =-ln(\frac{e^x+1}{e^{x}})+C=-(ln(e^x+1)-lne^x)+C=x-ln(1+e^x)+C \\~ 提公因子:1+ex1dx=ex(ex+1)1dx=ex+1exdx=ex+11(ex+1)=ln(1+ex)+C=ln(exex+1)+C=(ln(ex+1)lnex)+C=xln(1+ex)+C 

换元法: ∫ 1 1 + e x d x = ∫ e x e x ( 1 + e x ) d x = ∫ 1 e x ( 1 + e x ) d e x 令 t = e x ∫ 1 t ( 1 + t ) d t = ∫ 1 t − 1 1 + t d t = l n e x − l n ( 1 + e x ) + C = x − l n ( 1 + e x ) + C 换元法:\large\int \frac{1}{1+e^x}dx=\int \frac{e^x}{e^x(1+e^x)}dx=\int \frac{1 }{e^x(1+e^x)}de^x ~~\frac{令t=e^x}{}~~ \int \frac{1}{t(1+t)}dt = \int \frac{1}{t}-\frac{1}{1+t}dt \\ =lne^x-ln(1+e^x)+C=x-ln(1+e^x)+C \\~ 换元法:1+ex1dx=ex(1+ex)exdx=ex(1+ex)1dex  t=ex  t(1+t)1dt=t11+t1dt=lnexln(1+ex)+C=xln(1+ex)+C 

7. ( 1 2 a l n ∣ a + x a − x ∣ ) ′ = 1 2 a ( l n ∣ a + x ∣ − l n ∣ a − x ∣ ) ′ = 1 2 a ( 1 a + x ∗ 1 − 1 a − x ∗ ( − 1 ) ) [ 复合函数求导 ] = 1 2 a ( ( a − x ) + ( a + x ) a 2 − x 2 ) = 1 2 a ( 2 a a 2 − x 2 ) = 1 a 2 − x 2 7.\large(\frac{1}{2a}ln|\frac{a+x}{a-x}|)'=\frac{1}{2a}(ln|a+x|-ln|a-x|)'=\frac{1}{2a}(\frac{1}{a+x}*1 -\frac{1}{a-x}*(-1)) [\small{复合函数求导}] \\ \large=\frac{1}{2a}(\frac{(a-x)+(a+x)}{a^2-x^2})=\frac{1}{2a}(\frac{2a}{a^2-x^2})=\frac{1}{a^2-x^2} \\~ 7.(2a1lnaxa+x)=2a1(lna+xlnax)=2a1(a+x11ax1(1))[复合函数求导]=2a1(a2x2(ax)+(a+x))=2a1(a2x22a)=a2x21 

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ∫ 1 ( x + a ) ( x − a ) d x = ∫ 1 2 a [ 1 x − a − 1 x + a ] d x = 1 2 a l n ∣ a + x a − x ∣ \int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\int \frac{1}{(x+a)(x-a)}dx=\int\frac{1}{2a}[ \frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}]dx=\frac{1}{2a}ln|\frac{a+x}{a-x}|\\~ x2a21dx=(x+a)(xa)1dx=2a1[xa1x+a1]dx=2a1lnaxa+x 

8. ( x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 l n ( x + x 2 + a 2 ) ) ′ = 1 2 x 2 + a 2 + x 2 ( 1 2 ( x 2 + a 2 ) − 1 2 ∗ 2 x ) + a 2 2 1 x + x 2 + a 2 ∗ ( 1 + 1 2 ( x 2 + a 2 ) − 1 2 ∗ 2 x ) = 1 2 x 2 + a 2 + x 2 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ( 1 x + x 2 + a 2 ) ( x + x 2 + a 2 x 2 + a 2 ) = 1 2 x 2 + a 2 + x 2 2 x 2 + a 2 + a 2 2 x 2 + a 2 = 1 2 x 2 + a 2 + x 2 + a 2 2 x 2 + a 2 = 1 2 x 2 + a 2 + 1 2 x 2 + a 2 = x 2 + a 2 8.\large (\frac{x}{2} \sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}{2}ln(x+\sqrt{x^2+a^2}~)~)' \\ =\frac{1}{2} \sqrt{x^2+a^2}+\frac{x}{2} (\frac{1}{2}{(x^2+a^2)}^{-\frac{1}{2}}*2x)+\frac{a^2}{2} \frac{1}{x+\sqrt{x^2+a^2}}*(1+\frac{1}{2}{(x^2+a^2)}^{-\frac{1}{2}}*2x) \\ =\frac{1}{2} \sqrt{x^2+a^2}+\frac{x^2}{2 \sqrt{x^2+a^2}}+\frac{a^2}{2}(\frac{1}{x+\sqrt{x^2+a^2}})(\frac{x+\sqrt{x^2+a^2}}{\sqrt{x^2+a^2}})=\frac{1}{2}\sqrt{x^2+a^2}+\frac{x^2}{2 \sqrt{x^2+a^2}}+\frac{a^2}{2 \sqrt{x^2+a^2}} \\ =\frac{1}{2}\sqrt{x^2+a^2}+\frac{x^2+a^2}{2 \sqrt{x^2+a^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{x^2+a^2}+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+a^2}=\sqrt{x^2+a^2} \\~ 8.(2xx2+a2 +2a2ln(x+x2+a2  ) )=21x2+a2 +2x(21(x2+a2)212x)+2a2x+x2+a2 1(1+21(x2+a2)212x)=21x2+a2 +2x2+a2 x2+2a2(x+x2+a2 1)(x2+a2 x+x2+a2 )=21x2+a2 +2x2+a2 x2+2x2+a2 a2=21x2+a2 +2x2+a2 x2+a2=21x2+a2 +21x2+a2 =x2+a2  

8. ( x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 l n ( x + x 2 − a 2 ) ) ′ = x 2 − a 2 8.\large (\frac{x}{2} \sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}ln(x+\sqrt{x^2-a^2}~)~)' =\sqrt{x^2-a^2} \\~ 8.(2xx2a2 2a2ln(x+x2a2  ) )=x2a2  

10. ( x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 a r c s i n x a ) ′ = 1 2 a 2 − x 2 + x 2 ( 1 2 a 2 − x 2 ∗ ( − 2 x ) ) + a 2 2 ( 1 1 − ( x a ) 2 ∗ ( 1 a ) ) = 1 2 a 2 − x 2 + − x 2 2 a 2 − x 2 + a 2 2 a 2 − x 2 = 1 2 a 2 − x 2 + a 2 − x 2 2 a 2 − x 2 = 1 2 a 2 − x 2 + 1 2 a 2 − x 2 = a 2 − x 2 10.\large(\frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}arcsin\frac{x}{a})'=\frac{1}{2} \sqrt{a^2-x^2}+\frac{x}{2} ( \frac{1}{2\sqrt{a^2-x^2}}*(-2x))+\frac{a^2}{2}(\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{a})^2}}*(\frac{1}{a})) \\ =\frac{1}{2} \sqrt{a^2-x^2}+\frac{-x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}}+\frac{a^2}{2\sqrt{a^2-x^2}} =\frac{1}{2} \sqrt{a^2-x^2}+ \frac{a^2-x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}} \\ =\frac{1}{2} \sqrt{a^2-x^2}+\frac{1}{2} \sqrt{a^2-x^2}= \sqrt{a^2-x^2} \\~\\~\\~ 10.(2xa2x2 +2a2arcsinax)=21a2x2 +2x(2a2x2 1(2x))+2a2(1(ax)2 1(a1))=21a2x2 +2a2x2 x2+2a2x2 a2=21a2x2 +2a2x2 a2x2=21a2x2 +21a2x2 =a2x2    

换元法【两类】 \large 换元法【两类】 换元法【两类】
第一类换元法:凑微分 ( 复合函数逆过程 ) 第一类换元法:凑微分(复合函数逆过程) 第一类换元法:凑微分(复合函数逆过程)

如 ( f ( g ( x ) ) ) ′ = f ′ ( g ( x ) ) ∗ g ′ ( x ) 如(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x) (f(g(x)))=f(g(x))g(x)

对应积分 ∫ f ′ ( g ( x ) ) ∗ g ′ ( x ) d x = ∫ f ′ ( g ( x ) ) d g ( x ) 对应积分\int f'(g(x))*g'(x)dx=\int f'(g(x))dg(x) 对应积分f(g(x))g(x)dx=f(g(x))dg(x)
简单换元看出: 令 t = g ( x ) ∫ f ′ ( t ) d t = f ( t ) + c 简单换元看出:\frac{令t=g(x)}{} \int f'(t)dt=f(t)+c 简单换元看出:t=g(x)f(t)dt=f(t)+c

又如:出题 ∫ e Δ Δ ′ d x , 做题转换成 ∫ e Δ d Δ 又如: 出题\int e^\Delta \Delta' dx,做题转换成\int e^\Delta d\Delta 又如:出题eΔΔdx,做题转换成eΔdΔ

∫ e x 2 x d x = 1 2 ∫ e x 2 ∗ 2 x d x = 1 2 ∫ e x 2 d x 2 = 1 2 e x 2 + c \large\int e^{x^2}xdx=\frac{1}{2} \int e^{x^2}*2xdx=\frac{1}{2} \int e^{x^2}dx^2=\frac{1}{2} e^{x^2}+c \\~ ex2xdx=21ex22xdx=21ex2dx2=21ex2+c 
∫ e x 1 x d x = 2 ∫ e x 1 2 x d x = 2 ∫ e x d x = 2 e x + c \large\int e^{\sqrt{x}} \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2 \int e^{\sqrt{x}} \frac{1}{2\sqrt{x}}dx=2 \int e^{\sqrt{x}} d\sqrt{x}=2e^{\sqrt{x}}+c ex x 1dx=2ex 2x 1dx=2ex dx =2ex +c

∫ e a r c t a n x 1 1 + x 2 d x = ∫ e a r c t a n x d ( a r c t a n x ) = e a r c t a n x + c \large\int e^{arctanx} \frac{1}{1+x^2}dx=\int e^{arctanx} d(arctanx)=e^{arctanx} +c \\~ earctanx1+x21dx=earctanxd(arctanx)=earctanx+c 

补: ( l n l n x ) ′ = 1 l n x 1 x = 1 x l n x 补: (lnlnx)'=\frac{1}{lnx} \frac{1}{x}=\frac{1}{xlnx} 补:(lnlnx)=lnx1x1=xlnx1

∫ 1 x l n x l n l n x d x = 1 x l n x l n l n x d x = 1 l n l n x d ( l n l n x ) = l n ( l n l n x ) + c \int \frac{1}{xlnxlnlnx}dx=\frac{\frac{1}{xlnx}}{lnlnx}dx=\frac{1}{lnlnx}d(lnlnx)=ln(lnlnx)+c \\~ xlnxlnlnx1dx=lnlnxxlnx1dx=lnlnx1d(lnlnx)=ln(lnlnx)+c 

∫ m x + n a x 2 + b x + c 先分母求导 ( a x 2 + b x + c ) ′ = 2 a x + b , 则分子凑出 2 a x + b \int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c}先分母求导(ax^2+bx+c)'=2ax+b,则分子凑出2ax+b \\~ ax2+bx+cmx+n先分母求导(ax2+bx+c)=2ax+b,则分子凑出2ax+b 

积累变型: ∫ d x a 2 s i n 2 x + b 2 c o s 2 x = ∫ d x c o s 2 x ( a 2 t a n 2 x + b 2 ) = ∫ s e c 2 x ( a 2 t a n 2 x + b 2 ) d x = ∫ 1 ( a 2 t a n 2 x + b 2 ) d ( t a n x ) = 1 a ∫ 1 ( a 2 t a n 2 x + b 2 ) d ( a t a n x ) = 1 a ( 1 b a r c t a n x a t a n x b ) + C [ a , b ≠ 0 ] 积累变型:\\ \large \int \frac{dx}{a^2sin^2x+b^2cos^2x}=\int \frac{dx}{cos^2x(a^2tan^2x+b^2)}=\int \frac{sec^2x}{(a^2tan^2x+b^2)}dx=\int \frac{1}{(a^2tan^2x+b^2)}d(tanx) \\ =\frac{1}{a}\int \frac{1}{(a^2tan^2x+b^2)}d(atanx)=\frac{1}{a}(\frac{1}{b}arctanx\frac{atanx}{b})+C ~~~[a,b\ne 0]\\~ 积累变型:a2sin2x+b2cos2xdx=cos2x(a2tan2x+b2)dx=(a2tan2x+b2)sec2xdx=(a2tan2x+b2)1d(tanx)=a1(a2tan2x+b2)1d(atanx)=a1(b1arctanxbatanx)+C   [a,b=0] 

∫ 1 − l n x ( x − l n x ) 2 d x = ∫ 1 − l n x x 2 ( 1 − l n x x ) 2 d x = − ∫ 1 ( 1 − l n x x ) 2 d ( 1 − l n x x ) = ( 1 − l n x x ) − 1 + C \large \int \frac{1-lnx}{(x-lnx)^2}dx=\large \int \frac{\frac{1-lnx}{x^2}}{(1-\frac{lnx}{x})^2}dx=-\int\frac{1}{(1-\frac{lnx}{x})^2}d(1-\frac{lnx}{x})=(1-\frac{lnx}{x})^{-1}+C (xlnx)21lnxdx=(1xlnx)2x21lnxdx=(1xlnx)21d(1xlnx)=(1xlnx)1+C

凑微分复杂看不出时,试试某部分求导 [ 出题逆向 ] 凑微分复杂看不出时,试试某部分求导[出题逆向] 凑微分复杂看不出时,试试某部分求导[出题逆向]
∫ e t a n 1 x s e c 2 1 x x 2 d x 尝试 ( t a n 1 x ) ′ = s e c 2 1 x ∗ ( − 1 x 2 ) = − s e c 2 1 x x 2 \int \frac{e^{tan\frac{1}{x}}sec^2\frac{1}{x}}{x^2}dx \\ 尝试(tan\frac{1}{x})'=sec^2\frac{1}{x}*(-\frac{1}{x^2})=-\frac{sec^2\frac{1}{x}}{x^2} \\~ x2etanx1sec2x1dx尝试(tanx1)=sec2x1(x21)=x2sec2x1 
原式 = ∫ e t a n 1 x d t a n 1 x = e t a n 1 x + c 原式=\int e^{tan\frac{1}{x}}dtan\frac{1}{x}=e^{tan\frac{1}{x}}+c 原式=etanx1dtanx1=etanx1+c

\\~\\~\\~\\~     
第二类换元法 第二类换元法 第二类换元法

三角代换:【注意换回 x 】 三角代换:【注意换回x】 三角代换:【注意换回x
a 2 − x 2 , 令 x = a sin ⁡ t 或 a cos ⁡ t \sqrt{a^2-x^2},令x=a\sin t或a\cos t a2x2 ,x=asintacost
a 2 + x 2 , 令 x = a tan ⁡ t 或 a cot ⁡ t \sqrt{a^2+x^2},令x=a\tan t或a\cot t a2+x2 ,x=atantacott
x 2 − a 2 , 令 x = a sec ⁡ t 或 a csc ⁡ t \sqrt{x^2-a^2},令x=a\sec t或a\csc t x2a2 ,x=asectacsct
\\~  

三角代换推导公式 : 三角代换推导公式: 三角代换推导公式:
在这里插入图片描述
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根式代换:令 t = 根式 根式代换:令t=\sqrt{根式} 根式代换:令t=根式
∫ x 3 x + 1 d x 令 t = x ∫ t 3 t + 1 2 t d t [ t 2 = x , 2 t d t = d x ] = 2 ∫ t 4 t + 1 d t = 2 ∫ [ ( t − 1 ) ( t 2 + 1 ) + 1 t + 1 ] d t − ∫ t t + 1 d t 2 ∫ t 4 − t + t 3 − t 3 + t 2 − t 2 + t − t + 1 − 1 t + 1 d t ( 多项式除法,凑分母倍数 ) = 2 ∫ t 3 ( t + 1 ) − t 2 ( t + 1 ) + t ( t + 1 ) − 2 ( t + 1 ) + 2 t + 1 d t = 2 ∫ t 3 − t 2 + t − 2 + 2 t + 1 d t = 1 2 t 4 − 2 3 t 3 + t 2 − 2 t + 2 l n ∣ t + 1 ∣ + c = 1 2 x 2 − 2 3 x 3 + x − 4 x + 4 l n ( x + 1 ) + c [ l n x , x > 0 ] \int \frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{x}+1}dx \frac{令t=\sqrt{x}}{} \int \frac{t^3}{t+1}2tdt~~~[t^2=x,2tdt=dx] \\ =2\int \frac{t^4}{t+1}dt=2\int [(t-1)(t^2+1)+\frac{1}{t+1}]dt- \int \frac{t}{t+1}dt\\ \\2\int \frac{t^4-t+t^3-t^3+t^2-t^2+t-t+1-1}{t+1}dt ~~~~~(多项式除法,凑分母倍数) \\~\\ =2\int \frac{t^3(t+1)-t^2(t+1)+t(t+1)-2(t+1)+2}{t+1}dt \\ =2\int t^3-t^2+t-2+\frac{2}{t+1}dt=\frac{1}{2}t^4-\frac{2}{3}t^3+t^2-2t+2ln|t+1|+c \\ =\frac{1}{2}x^2-\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+x-4\sqrt{x}+4ln(\sqrt{x}+1)+c ~~~~~[lnx ,x >0] \\~ x +1x3 dxt=x t+1t32tdt   [t2=x,2tdt=dx]=2t+1t4dt=2[(t1)(t2+1)+t+11]dtt+1tdt2t+1t4t+t3t3+t2t2+tt+11dt     (多项式除法,凑分母倍数) =2t+1t3(t+1)t2(t+1)+t(t+1)2(t+1)+2dt=2t3t2+t2+t+12dt=21t432t3+t22t+2lnt+1∣+c=21x232x3 +x4x +4ln(x +1)+c     [lnx,x>0] 

\\~  
反三角函数: 反三角函数: 反三角函数:
∫ d x x x 2 − 1 令 x = s e c t ∫ s e c t ∗ t a n t s e c t ∗ t a n t d t [ ( s e c t ) ′ = s e c t ∗ t a n t ; d x = s e c t ∗ t a n t d t ] = ∫ 1 d t = t + c [ x = s e c t = 1 c o s t → t = a r c c o s 1 x ] = a r c c o s 1 x + c \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}~\frac{令x=sect}{}~\int \frac{sect*tant}{sect*tant}dt~~[(sect)'=sect*tant;dx=sect*tantdt] \\ =\int 1dt=t+c ~~[x=sect=\frac{1}{cost} \to~t=arccos\frac{1}{x}] \\ =arccos\frac{1}{x}+c \\~ xx21 dx x=sect secttantsecttantdt  [(sect)=secttant;dx=secttantdt]=1dt=t+c  [x=sect=cost1 t=arccosx1]=arccosx1+c 
在这里插入图片描述

分部积分法: 分部积分法: 分部积分法:
( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ ( 逆运算推导分部积分 ) : (uv)'=u'v+uv' (逆运算推导分部积分): (uv)=uv+uv(逆运算推导分部积分)
∫ ( u v ) ′ d x = ∫ u ′ v d x + ∫ u v ′ d x u v = ∫ v d u + ∫ u d v ∫ u d v = u v − ∫ v d u \\ \int(uv)'dx=\int u'vdx+\int uv'dx \\ uv = \int vdu+\int udv \\ \int udv =uv-\int vdu \\~ (uv)dx=uvdx+uvdxuv=vdu+udvudv=uvvdu 
即: ∫ u d v = u v − ∫ v d u 即:\int udv=uv-\int vdu 即:udv=uvvdu
\\~  

[ 表格法:对角相连,正负相间 ] + ( 上导下积 ) [表格法:对角相连,正负相间] +(上导下积)\\~ [表格法:对角相连,正负相间]+(上导下积) 
∫ x s i n x d x \int xsinxdx xsinxdx
求导 : x → 1 → 0 求导:x ~~~~~\to~~~ 1 ~~~\to~~~ 0 求导:x        1      0
↘ + ↘ − ~~~~~~~~~~~~~~~~~~\searrow +~~~~~~~~~~~~~\searrow -                   +             
积分 : s i n x → − c o s x → − s i n x 积分:sinx \to -cosx \to -sinx 积分:sinxcosxsinx
∫ x s i n x d x = − x c o s x + s i n x + c \int xsinxdx=-x cosx+sinx+c \\~ xsinxdx=xcosx+sinx+c 
∫ x e x d x \int xe^xdx xexdx
求导 : x → 1 → 0 求导:~x ~~~~\to~~~~~ 1 ~~~\to~~~ 0 求导: x         1      0
↘ + ↘ − ~~~~~~~~~~~~~~~~~~\searrow +~~~~~~\searrow -                   +      
积分 : e x → e x → e x 积分:e^x~~ \to~~ e^x~~\to~~~~e^x 积分:ex    ex      ex
∫ x e x d x = x e x − e x \int xe^xdx=xe^x-e^x xexdx=xexex

\\~  
记住 或 能推导 : ∫ s e c 3 x d x , ∫ c s c 3 x d x , ∫ e a x s i n ( b x ) d x , ∫ e a x c o s ( b x ) d x , ∫ s i n ( l n x ) d x , ∫ c o s ( l n x ) d x [ 令 t = l n x ] ∫ e a x s i n ( b x ) d x = 1 a 2 + b 2 ∣ ( e a x ) ′ ( s i n ( b x ) ) ′ e a x s i n ( b x ) ∣ + C [ 化成行列式 ] = 1 a 2 + b 2 ( a e a x ∗ s i n b x − e a x ∗ b c o s b x ) + C 记住~或~能推导 : \\ \int sec^3xdx,\int csc^3xdx,\int e^{ax}sin(bx)dx,\int e^{ax}cos(bx)dx,\int sin(lnx)dx,\int cos(lnx)dx~~[令t=lnx] \\~\\ \large\int e^{ax}sin(bx)dx= \frac{1}{a^2+b^2} \begin{vmatrix} (e^{ax})' & (sin(bx))' \\ e^{ax} & sin(bx) \\ \end{vmatrix} +C ~~~~~~\small[化成行列式] \\~\\ \large= \frac{1}{a^2+b^2}(ae^{ax}*sinbx-e^{ax}*bcosbx)+C \\ \\~\\~ 记住  能推导:sec3xdx,csc3xdx,eaxsin(bx)dx,eaxcos(bx)dx,sin(lnx)dx,cos(lnx)dx  [t=lnx] eaxsin(bx)dx=a2+b21 (eax)eax(sin(bx))sin(bx) +C      [化成行列式] =a2+b21(aeaxsinbxeaxbcosbx)+C  

有理函数积分 \large 有理函数积分 有理函数积分

例 1 求 ∫ x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) d x 例1~ 求 \int \frac{x}{(x+1)(x+2)(x+3)}dx 1 (x+1)(x+2)(x+3)xdx

设原式 = ∫ ( A x + 1 + B x + 2 + C x + 3 ) d x = ∫ x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) d x 设原式=\int(\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x+3})dx= \int \frac{x}{(x+1)(x+2)(x+3)}dx 设原式=(x+1A+x+2B+x+3C)dx=(x+1)(x+2)(x+3)xdx

由待定系数法: A ( x + 2 ) ( x + 3 ) + B ( x + 1 ) ( x + 3 ) + C ( x + 1 ) ( x + 2 ) = x 由待定系数法:A(x+2)(x+3)+B(x+1)(x+3)+C(x+1)(x+2)=x \\~ 由待定系数法:A(x+2)(x+3)+B(x+1)(x+3)+C(x+1)(x+2)=x 
[ 特殊值法 ] 令 x = − 1 , 2 A = − 1 , 即 A = − 1 2 ; 令 x = − 2 , − B = − 2 , 即 B = 2 ; 令 x = − 3 , 2 C = − 3 , 即 C = − 3 2 [特殊值法] \\ 令x=-1,2A=-1,即A=-\frac{1}{2}; \\ 令x=-2,-B=-2,即B=2; \\ 令x=-3,2C=-3,即C=-\frac{3}{2} \\ \\~ [特殊值法]x=1,2A=1,A=21;x=2,B=2,B=2;x=3,2C=3,C=23 

原式 = ∫ ( − 1 2 x + 1 + 2 x + 2 + − 3 2 x + 3 ) d x = − 1 2 l n ∣ x + 1 ∣ + 2 l n ∣ x + 2 ∣ − 3 2 l n ∣ x + 3 ∣ + c 原式=\large \int(\frac{-\frac{1}{2}}{x+1}+\frac{2}{x+2}+\frac{-\frac{3}{2}}{x+3})dx=-\frac{1}{2} ln|x+1|+2ln|x+2|-\frac{3}{2}ln|x+3|+c \\~ 原式=(x+121+x+22+x+323)dx=21lnx+1∣+2lnx+2∣23lnx+3∣+c 

例 2 : 分母括号内能分解尽量分解,如 例2:分母括号内能分解尽量分解,如 2:分母括号内能分解尽量分解,如
∫ 1 ( x + 1 ) ( x 2 − 1 ) d x = ∫ 1 ( x + 1 ) 2 ( x − 1 ) d x = ∫ [ A x + 1 + B ( x + 1 ) 2 + C x − 1 ] d x = = ∫ A ( x + 1 ) ( x − 1 ) + B ( x − 1 ) + C ( x + 1 ) 2 ( x + 1 ) 2 ( x − 1 ) d x 待定系数法: A ( x + 1 ) ( x − 1 ) + B ( x − 1 ) + C ( x + 1 ) 2 = 1 [ 特殊值法 ] 令 x = − 1 , − 2 B = 1 , B = − 1 2 ; 令 x = − 1 , 4 C = 1 , C = 1 4 ; 令 x = 0 , − A − B + C = 1 , A = − B + C − 1 = − 1 4 原式 = − 1 4 l n ∣ x + 1 ∣ + 1 2 1 x + 1 + 1 4 l n ∣ x − 1 ∣ + C \int \frac{1}{(x+1)(x^2-1)}dx=\int \frac{1}{(x+1)^2(x-1)}dx \\ =\int[\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{x-1}]dx==\int\frac{A(x+1)(x-1)+B(x-1)+C(x+1)^2}{(x+1)^2(x-1)}dx \\ 待定系数法:A(x+1)(x-1)+B(x-1)+C(x+1)^2=1 [特殊值法] \\ 令x=-1,-2B=1,B=-\frac{1}{2}; \\ 令x=-1,4C=1,C=\frac{1}{4}; \\ 令x=0,-A-B+C=1,A=-B+C-1=-\frac{1}{4} 原式=-\frac{1}{4}ln|x+1|+\frac{1}{2}\frac{1}{x+1}+\frac{1}{4}ln|x-1|+C \\~ (x+1)(x21)1dx=(x+1)2(x1)1dx=[x+1A+(x+1)2B+x1C]dx==(x+1)2(x1)A(x+1)(x1)+B(x1)+C(x+1)2dx待定系数法:A(x+1)(x1)+B(x1)+C(x+1)2=1[特殊值法]x=1,2B=1,B=21;x=1,4C=1,C=41;x=0,AB+C=1,A=B+C1=41原式=41lnx+1∣+21x+11+41lnx1∣+C 

最简时分母项中幂大于 1 ,依据有理函数分解原则 ( 能互相抵消成分子必须具备的可能 ) ∫ 1 ( x + 1 ) ( x 2 + 1 ) d x = ∫ A x + 1 + B x + C x 2 + 1 d x [ ← 此题重点处 ] 待定系数法 ( 通分 ) : A ( x 2 + 1 ) + ( B x + C ) ( x + 1 ) = 1 A x 2 + A + B x 2 + B x + C x + C = 1 ( A + B ) x 2 + ( B + C ) x + A + C = 1 则 A + B = 0 , B + C = 0 , A + C = 1 即 C = 1 2 , B = − 1 2 , A = 1 2 原式 = ∫ 1 2 x + 1 + − 1 2 x + 1 2 x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ 1 x + 1 + − x + 1 x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ 1 x + 1 + 1 x 2 + 1 d x − 1 2 ∗ 1 2 ∫ 1 x 2 + 1 d ( x 2 + 1 ) = 1 2 l n ∣ 1 + x ∣ + 1 2 a r c t a n x + − 1 4 l n ( x 2 + 1 ) + c 最简时分母项中幂大于1,依据有理函数分解原则(能互相抵消成分子必须具备的可能) \\~ \large \int \frac{1}{(x+1)(x^2+1)}dx=\int \frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C} {x^2+1}dx \small[\leftarrow 此题重点处]\\~\\ \small待定系数法(通分):\\ A(x^2+1)+(Bx+C)(x+1)=1 \\ Ax^2+A+Bx^2+Bx+Cx+C=1 \\ (A+B)x^2+(B+C)x+A+C=1 \\ 则A+B=0,B+C=0,A+C=1 即C=\frac{1}{2},B=-\frac{1}{2},A=\frac{1}{2} \\ 原式=\large\int \frac{\frac{1}{2}}{x+1}+\frac{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{x+1}+\frac{-x+1}{x^2+1}dx \\ =\frac{1}{2}\int \frac{1}{x+1}+\frac{1}{x^2+1}dx-\frac{1}{2}*\frac{1}{2}\int\frac{1}{x^2+1}d(x^2+1) \\ =\frac{1}{2}ln|1+x|+\frac{1}{2}arctanx+ -\frac{1}{4}ln(x^2+1)+c \\~ 最简时分母项中幂大于1,依据有理函数分解原则(能互相抵消成分子必须具备的可能) (x+1)(x2+1)1dx=x+1A+x2+1Bx+Cdx[此题重点处] 待定系数法(通分)A(x2+1)+(Bx+C)(x+1)=1Ax2+A+Bx2+Bx+Cx+C=1(A+B)x2+(B+C)x+A+C=1A+B=0,B+C=0,A+C=1C=21,B=21A=21原式=x+121+x2+121x+21dx=21x+11+x2+1x+1dx=21x+11+x2+11dx2121x2+11d(x2+1)=21ln∣1+x+21arctanx+−41ln(x2+1)+c 

三角函数积分 \large 三角函数积分 \\~ 三角函数积分 
∫ s i n 2 x d x 、 ∫ c o s 2 x d x 偶数次幂,降幂 \int sin^2xdx、\int cos^2xdx偶数次幂,降幂 sin2xdxcos2xdx偶数次幂,降幂
∫ s i n 2 x d x = 1 2 ∫ 1 − c o s 2 x 2 d 2 x = 1 2 x − 1 4 sin ⁡ 2 x + c [ 求导检查正确性 ] \int sin^2xdx=\frac{1}{2}\int \frac{1-cos2x}{2}d2x=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin2x+c ~~[求导检查正确性]~~\\~ sin2xdx=2121cos2xd2x=21x41sin2x+c  [求导检查正确性]   

∫ s i n 3 x d x 、 ∫ c o s 3 x d x 奇数次幂凑微分 \int sin^3xdx、\int cos^3xdx奇数次幂凑微分 sin3xdxcos3xdx奇数次幂凑微分
∫ s i n 3 x d x = − ∫ s i n 2 x d c o s x = − ∫ ( 1 − c o s 2 x ) d c o s x = ∫ ( c o s 2 x − 1 ) d c o s x = 1 3 c o s 3 x − c o s x + c \int sin^3xdx=-\int sin^2xdcosx=-\int (1-cos^2x)dcosx=\int (cos^2x-1)dcosx=\frac{1}{3}cos^3x-cosx+c \\~ sin3xdx=sin2xdcosx=(1cos2x)dcosx=(cos2x1)dcosx=31cos3xcosx+c 

万能替换公式: 万能替换公式: 万能替换公式:
令 u = t a n x 2 → x = 2 a r c t a n u , d x = 2 d u 1 + u 2 令\large u=tan\frac{x}{2} \to x=2arctanu ,~~dx=\frac{2du}{1+u^2} \\~ u=tan2xx=2arctanu,  dx=1+u22du 
s i n x = 2 t a n x 2 1 + t a n 2 x 2 = 2 u 1 + u 2 c o s x = 1 − t a n 2 x 2 1 + t a n 2 x 2 = 1 − u 2 1 + u 2 sinx=\frac{2tan\frac{x}{2}}{1+tan^2\frac{x}{2}}=\frac{2u}{1+u^2} \\~\\ cosx=\frac{1-tan^2\frac{x}{2}}{1+tan^2\frac{x}{2}}=\frac{1-u^2}{1+u^2}\\~\\~ sinx=1+tan22x2tan2x=1+u22u cosx=1+tan22x1tan22x=1+u21u2  

∫ 1 1 + s i n x + c o s x d x = ∫ 2 d u 1 + u 2 1 + 2 u 1 + u 2 + 1 − u 2 1 + u 2 = 2 2 + 2 u d u = 1 1 + u d u = l n ∣ 1 + u ∣ + c = l n ∣ 1 + t a n x 2 ∣ + c \large\int\frac{1}{1+sinx+cosx}dx=\int \frac{\frac{2du}{1+u^2}}{1+\frac{2u}{1+u^2}+\frac{1-u^2}{1+u^2}}=\frac{2}{2+2u}du=\frac{1}{1+u}du=ln|1+u|+c=ln|1+tan\frac{x}{2}|+c 1+sinx+cosx1dx=1+1+u22u+1+u21u21+u22du=2+2u2du=1+u1du=ln∣1+u+c=ln∣1+tan2x+c

递推+重点补充

不定积分 + C , 定积分没有常数 C \large \red{不定积分+C,定积分没有常数C} 不定积分+C,定积分没有常数C

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一、浙江专升本高等数学考点-函数

1.连续函数的性质 考点分析 函数的连续性主要考察函数的奇偶性、有界性、单调性、周期性。 例题 判断函数的奇偶性 的有界区间为() A.(-1,0) B(0,1) C(1,2) D(2,3) 2.闭区间上连续函数的性质 考点分析 闭区间上连续函数的性质主要考察函数的最大最小值…

超过ChatGPT3达到ChatGPT4%90性能的小羊驼来了-Vicuna(校招社招必备,chatgpt风口来了赶紧学起来吧)

达到GPT4百分之90性能的小羊驼Vicuna 文章目录 达到GPT4百分之90性能的小羊驼Vicuna一、小羊驼Vicuna介绍二、使用效果测评三、小羊驼Vicuna安装webui linux部署教程总结踩坑经验 随着chatgpt大火,很多人都开始学习chatgpt相关知识,本文就介绍一下最近很…

highcharts去水印方法

highcharts去水印方法 在和title同级的地方,输入 credits: { enabled:false, }, 即可去水印,亲测有效。 highcharts的商用版是需要收费的,在个人网站、学校网站及非盈利机构中使用 Highcharts 完全不需要经过许可,直接可以任意使…

分享一个去水印接口,完全免费,早点下手啊

上传到任意空间或者服务器,访问即可用。 目前支持很多平台:抖音|快手|皮皮虾|西瓜|红书|微视|最右|哔哩哔哩,皮皮搞笑等常见平台. 而且还是免费的。 该接口测试,完全免费,如果那天收费了,大家可以直接放弃…

如何批量去除图片水印?批量去水印方法

地址:如何批量去除图片水印https://www.shuiyinyun.com/inpaint-image.html步骤: 在平台当中可以直接把自己要去水印的图片依次添加进去,然后用工具选择去水印区域,可多选,图片全部都选择好后,点击批量处理…

如何去水印而不损图片?码住这三个方法学会图片怎么去水印

当我们在网上“冲浪”时,会看到一些喜欢的图片,想要保存当做壁纸或头像,但是保存下来后却发现带有水印,导致画面被遮挡,影响美观,放弃又舍不得,这个时候可以使用一些软件去除图片上的水印&#…

去图片水印软件有哪些?安利这几个实用的工具给你们

现在我们会从网上一些平台下载一些图片或视频来当做素材,不过有些图片和视频会带有水印。对于我们二次使用来说很不方便。如果想要保持图片的干净、完整,那就需要去除图片的水印。下面我就来教你们图片去水印的方法,你们感兴趣的话&#xff0…

不知道免费去水印图片软件哪个好?来看看这3个软件

我们在编辑项目汇报的演示文稿时,会在网上下载素材图片来充实我们的内容,但是有一些图片上会带有网站的水印,使得图片不太美观,将图片的水印去除会让图片的观感和效果更好。我们有给图片去水印的需求,市面上自然就有支…

正版软件|WonderFox Photo Watermark 图片水印批量处理软件

Photo Watermark 可以为您做什么?水印是最有效的方法,可防止他人擅自使用您的照片。只需单击几下,Watermark Software 将为您的图像文件提供不可磨灭的保护。 可自定义的水印 文本水印 只需按键即可创建支持丰富字体,符号&#…

Inpaint>>一款神奇的去水印工具

今天为大家介绍一款图片去水印利器:Inpaint Inpaint是一款去除图片背景中瑕疵的图片处理软件。有时候我们的照片上可能有一些瑕疵,我们想把它去掉,这时你不必动用庞大PS来兴师动众处理,只需要使用Inpaint就可以轻松搞定。它可以从…

如何除掉图片水印?分享操作便捷的几种去水印技巧

在如今的社交媒体时代,我们经常需要在网上寻找高质量的图片来配合我们的项目或者个人需求。然而,很多时候我们发现这些图片都有着令人厌烦的水印,这些水印不仅影响了图片的美观度,也限制了我们对图片的使用和分享。在这种情况下&a…

怎么样去图片水印?用这三招快速消除水印

有时我们会从网上下载图片,而这些图片往往都带有水印,不仅影响观看,而且也不太美观。那么图片去水印方法有哪些呢?下面我就跟大家分享几个不错的方法,一起来看看吧。 方法一:借助第三方工具来去除图片水印 …

分享图片去水印几个工具-图片去除水印最好用的工具

日常生活中,我们说的水印是指:是来着平台、作者出于强调平台出处、创作者目的,对图片、视频加的水印。不过,水印的存在会影响整体的观感。如果你想将这些素材用于个人收藏、二次创作,这就需要进行去水印的处理。 今天…

怎么去图片水印?三招让你快速学会图片去水印

上大学的时候,老师让我们每人写一个关于“阅读”的主题报告。写这个主题报告的时候,我发现在网上找的图片素材大多带有水印,十分影响报告的展示效果。于是,我就上网找了一些怎么去图片水印的方法,对这些方法进行试验后…

怎么去水印不破坏原图?这4个方法,无痕去除图片水印

平时在网上下载图片的时候,经常会有带水印的情况,怎么才能去掉图片的水印呢?今天就给大家分享4个好用的图片去水印工具,操作简单使用方便,主要是去水印效果好,去水印后几乎看不出水印痕迹! 1、i…

HitPaw Watermark Remover视频图去除水印工具V1.2.1.1

简介: HitPaw Watermark Remover视频图去除水印工具,只需单击即可从视频和图像中删除水印,可以帮助用户处理各种水印内容,并使屏幕更清洁。 该软件还可以删除视频中的日期,建筑物,人物和其他内容&#xff…

图片怎么去水印?大神教你3个免费去水印方法

不管是在手机上还是电脑上,很多小伙伴都会在网上找各种好看的图片,不过有的时候,一些好看的图片上会带有一些水印,这会让不少的小伙伴感到别扭。别担心,今天小编将分享几个非常简单的方法,帮大家轻松去除图…

如何去图片水印?三个方法让你学会图片去水印

上大学的时候,老师给我们每人布置了一个关于介绍“我的家乡”的作业。课后在做这个PPT的时候,我发现在网上找的图片素材都带着水印,十分影响PPT展示效果。于是,我就上网找了一些如何去图片水印的方法,对这些方法进行实…

如何去水印不破坏原图?试试这些小妙招

如何去水印不破坏原图呢?现在的数字时代,图片是人们生活中必不可少的一部分。不过,有时候在网上浏览照片时,我们可能会遇到水印的问题,这会影响到我们的体验。有时候我们想要将这些照片保存下来,但又不想让…