二、SymPy — 函数类

        SymPy 包包含 sympy.core.function 模块中的 Function 类。该类作为各种数学函数的基础，也充当未定义函数类的构造函数。

以下类别的函数继承自 Function 类 -

• 复数函数
• 三角函数
• 整数函数
• 组合函数
• 其他杂项功能

三、复数函数

        这组函数在sympy.functions.elementary.complexes模块中定义。

• re -- 该函数返回表达式的实部  

from sympy import * 
re(5+3*I)

Output:
5

re(I)

Output:
0

• Im  --表达式的虚部

im(5+3*I)

Output:
3

im(I)

Output:
1

• sign --表达式的符号

        他的函数返回表达式的复数符号。

        对于真实的表达，符号将是 -

• 1 如果表达式为正
• 如果表达式等于 0，则为 0
• 如果表达式为负数，则为 -1

        如果表达式是虚数，则返回的符号为 -

• I 如果 im(表达式) 为正
• -I 如果 im(表达式) 为负数

sign(1.55), sign(-1), sign(S.Zero)

Output:
(1, -1, 0)

sign (-3*I), sign(I*2)

Output:
(-I, I)

• Abs

        该函数计算复数的大小，测量复平面上从原点 (0,0) 到点 (a, b) 的距离。它是 abs() 函数的扩展，允许符号输入。

Abs(2+3*I)

Output:
√13

• conjugate --  共轭

        该函数返回复数的共轭。为了找到复共轭，我们改变虚部的符号。

conjugate(4+7*I)

Output:
4 - 7i

四、三角函数（Trigonometric functions）

        SymPy 提供三角函数的定义，如正弦、余弦、正切及其反函数（asin、acos、atan），以计算以弧度表示的角度值。

sin(pi/2), cos(pi/4), tan(pi/6)

Output:
(1, sqrt(2)/2, sqrt(3)/3)

asin(1), acos(sqrt(2)/2), atan(sqrt(3)/3)

Output:
(pi/2, pi/4, pi/6)

五、整数函数

这是一组函数，旨在对整数执行各种操作。

•         天花板Ceiling

        这是一个单变量函数，提供大于或等于其输入的最小整数值。处理复数时，向上运算分别应用于实部和虚部。

ceiling(pi), ceiling(Rational(20,3)), ceiling(2.6+3.3*I)

Output:
(4, 7, 3 + 4*I)

        地面floor

此函数提供小于或等于输入参数的最大整数的整数值。处理复数时，此函数独立确定实部和虚部的下限值。

floor(pi), floor(Rational(100,6)), floor(6.3-5.9*I)

Output:
(3, 16, 6 - 6*I)

        压裂frac

        该函数表示 x 的小数部分。

frac(3.99), frac(Rational(10,3)), frac(10)

Output:
(0.990000000000000, 1/3, 0)

六、组合函数

        组合学处理与有限或离散系统中的选择、排列和操作元素相关的数学问题。

        阶乘

        阶乘在组合数学中起着至关重要的作用，它决定了 n 个对象的排列。记为𝑥！并用作非负整数阶乘的实现。对于负整数，阶乘结果为复无穷大。

x=Symbol('x') 
factorial(x)

Output:
x!

factorial(5)

Output:
120

factorial(-1)

Output:
∞∽

七、二项式binomial

        该函数表示我们可以从 n 个元素的集合中选择 k 个元素的方式数。

x,y=symbols('x y') 
binomial(x,y)

Output:
(x/y)

binomial(4,2)

Output:
6

Rows of Pascal's triangle can be generated with the binomial function.

for i in range(5): print ([binomial(i,j) for j in range(i+1)])

Output:
[1]

[  1, 1  ] 

[1, 2, 1]

[1, 3, 3, 1]

[1, 4, 6, 4, 1]

斐波那契

        斐波那契数列以 F0=0 和 F1=1 开始，后续的每一项都通过添加前面的两项来确定 (Fn=Fn−1+Fn−2)。

[fibonacci(x) for x in range(10)]

Output:
[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34]

tribonacci
        Tribonacci 数形成一个整数序列，从 F0=0、F1=1、F2=1 开始，后续的每一项都是前面三项的和 (Fn=Fn-1+Fn-2+Fn-3) 。

tribonacci(5, Symbol('x'))

Output:
x^8+3x^5+3x^2

[tribonacci(x) for x in range(10)]

Output:
[0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81]

八、杂项功能

        以下是一些常用功能的汇总：

1. Min：此函数提供列表中的最小值。它被命名为“Min”是为了防止与内置函数“min”发生冲突。
2. Max：当您需要列表中的最大值时，“Max”函数可以满足您的需求，旨在避免与内置“max”函数发生冲突。
3. root：“root”函数用于获取给定数字 x 的 n 次方根。
4. sqrt：如果您对数字的主平方根感兴趣，可以使用“sqrt”函数。
5. cbrt：“cbrt”函数计算数字的主立方根，这是 x++Rational(1,3) 的便捷快捷方式。

        现在，让我们看一些示例，说明这些杂项函数的用法及其相应的结果。

Min(pi,E)

Output:
e

Max(5, Rational(11,2))

Output:
11/2

root(7,Rational(1,2))

Output:
49

sqrt(2)

Output:
√2

cbrt(1000)

Output:
10

九、SymPy — 四元数

        在数学领域，四元数系统是比复数更广泛的框架。在每个四元数实体中，存在四个标量变量，包含一个真实维度和三个虚构维度。

        四元数由以下表达式表示：

q = a + bi + cj + dk

        在此表达式中，“a”、“b”、“c”和“d”都是实数值，而“i”、“j”和“k”表示四元数单位。值得注意的是，这些单位满足以下关系：i² = j² = k² = ijk。

        四元数类可以在 sympy.algebras.quaternion 模块中找到。

from sympy.algebras.quaternion import Quaternion 
q=Quaternion(2,3,1,4) 
q

Output:
2+3i+1j+4k

        四元数用于纯数学，也用于应用数学、计算机图形学、计算机视觉等。

from sympy import * 
x=Symbol('x') 
q1=Quaternion(x**2, x**3, x)
q1

Output:
x^2+x^3i+xj+0k

        四元数对象也可以有虚数系数

q2=Quaternion(2,(3+2*I), x**2, 3.5*I) 
q2

Output:
2+(3+2i)i+x2j+3.5ik

十、添加 add（）

        Quaternion 类中提供的此方法执行两个 Quaternion 对象的加法。

q1=Quaternion(1,2,3,4) 
q2=Quaternion(4,3,2,1) 
q1.add(q2)

Output:
5+5i+5j+5k

可以在四元数对象中添加数字或符号。

q1+2

Output:
3+2i+3j+4k

q1+x

Output:
(x+1)+2i+3j+4k

十一、乘法mul（）

        此方法执行两个四元数对象的乘法。

q1=Quaternion(1,2,1,2) 
q2=Quaternion(2,4,3,1) 
q1.mul(q2)

Output:
(−11)+3i+11j+7k

十二、逆inverse（）

        此方法返回四元数对象的逆。

q1.inverse()

Output:
1/10+(−1/5)i+(−1/10)j+(−1/5)k

十三、pow（）

        此方法返回四元数对象的幂。

q1.pow(2)

Output:
(−8)+4i+2j+4k

十四、指数exp（）

        此方法计算四元数对象的指数，即 eq

q=Quaternion(1,2,4,3) 
q.exp()

十五、SymPy — 求解器 Solvers

        由于Python的符号=和==作为赋值运算符和相等运算符具有特定含义，因此它们不适合表达符号方程。为了创建符号方程，SymPy 提供了 Eq() 函数作为专用工具。

from sympy import * 
x,y=symbols('x y') 
Eq(x,y)

Output:
x = y

Since x=y is possible if and only if x-y=0, above equation can be written as −

Eq(x-y,0)

Output:
x − y = 0

        SymPy 中的求解器模块提供了 soveset() 函数，其原型如下 -

solveset(equation, variable, domain)

        默认情况下，域为 S.Complexes。使用solvet()函数，我们可以求解代数方程如下 -

solveset(Eq(x**2-9,0), x)

Output:
{−3, 3}

solveset(Eq(x**2-3*x, -2),x)

Output:
{1,2}

        Solveset 的输出是解的有限集。如果没有解决方案，则返回 EmptySet

solveset(exp(x),x)

Output:
∅

十六、线性方程

        我们必须使用 linsolve() 函数来求解线性方程。

例如，方程如下 -

xy=4

x+y=1

from sympy import * 
x,y=symbols('x y') 
linsolve([Eq(x-y,4),Eq( x + y ,1) ], (x, y))

Output:
{(5/2,−3/2)}

        linsolve() 函数还可以求解以矩阵形式表示的线性方程。

a,b=symbols('a b') 
a=Matrix([[1,-1],[1,1]]) 
b=Matrix([4,1]) 
linsolve([a,b], (x,y))

Output:
{(5/2,−3/2)}

十六、非线性方程

        为此，我们使用 nonlinsolve() 函数。这个例子的方程 -

a2+a=0 ab=0

a,b=symbols('a b') 
nonlinsolve([a**2 + a, a - b], [a, b])

Output:
{(−1,−1),(0,0)}

十七、微分方程

        首先，通过将 cls=Function 传递给符号函数来创建一个未定义的函数。要求解微分方程，请使用 dsolve。

x=Symbol('x') 
f=symbols('f', cls=Function) 
f(x)

Output:
f(x)

Here f(x) is an unevaluated function. Its derivative is as follows −

f(x).diff(x)

Output:
d/dxf(x)

We first create Eq object corresponding to following differential equation

eqn=Eq(f(x).diff(x)-f(x), sin(x)) 
eqn

Output:
−f(x)+d/dxf(x)=sin(x)

dsolve(eqn, f(x))

        所以就是这样。这些函数是重要的构建块，构成模拟复杂数学情况的重要组成部分。