题目

题目描述

小 Y 的桌子上放着 $n$ 个苹果从左到右排成一列，编号为从 $1$ 到 $n$。

小苞是小 Y 的好朋友，每天她都会从中拿走一些苹果。

每天在拿的时候，小苞都是从左侧第 $1$ 个苹果开始、每隔 $2$ 个苹果拿走 $1$ 个苹果。随后小苞会将剩下的苹果按原先的顺序重新排成一列。

小苞想知道，多少天能拿完所有的苹果，而编号为 $n$ 的苹果是在第几天被拿走的？

输入格式

输入的第一行包含一个正整数 $n$，表示苹果的总数。

输出格式

输出一行包含两个正整数，两个整数之间由一个空格隔开，分别表示小苞拿走所有苹果所需的天数以及拿走编号为 $n$ 的苹果是在第几天。

样例 #1

样例输入 #1

8

样例输出 #1

5 5

提示

【样例 $1$ 解释】

小苞的桌上一共放了 $8$ 个苹果。
小苞第一天拿走了编号为 $1$、$4$、$7$ 的苹果。
小苞第二天拿走了编号为 $2$、$6$ 的苹果。
小苞第三天拿走了编号为 $3$ 的苹果。
小苞第四天拿走了编号为 $5$ 的苹果。
小苞第五天拿走了编号为 $8$ 的苹果。

【样例 $2$】

见选手目录下的 apple/apple2.in 与 apple/apple2.ans。

【数据范围】

对于所有测试数据有：$1\le n\le 10^9$。

测试点	$n\le$	特殊性质
$1\sim 2$	$10$	无
$3\sim 5$	$10^3$	无
$6\sim 7$	$10^6$	有
$8\sim 9$	$10^6$	无
$10$	$10^9$	无

特殊性质：小苞第一天就取走编号为 $n$ 的苹果。

题目传送门

洛谷 P9748 [CSP-J 2023] 小苹果

题解

思路

如果模拟是肯定会超时的

那么我们就想想用数学方法来解决这道题

我们首先来考虑多少天能拿完所有苹果

就可以枚举天数，这样是不会超时的

设苹果数量为 $n$

那么每天 $n$ 就会减少 $(n+2)/3$

因为隔两个拿一个，那就可以三个三个分段，每段拿第一个

但是最后一段有可能不足三个，这样也会拿一个，所以不能光 $n/3$

而用 $(n+2)/3$ 就可以了，这样 $(4+2)/3=2$，$(5+2)/3=2$，$(6+2)/3=2$，就对了

得出代码（其中 $day$ 是用来记录天数的，$n$ 是输入的苹果数量）：

int day;
while(n && ++day)n -= (n + 2) / 3;

然后我们考虑编号为 n 的苹果是在第几天被拿走的

首先在编号为 $n$ 的苹果还没被拿走是编号为 $n$ 的苹果无论哪天都一定是最后一个苹果

所以我们看现在的 $n$ 除以 $3$ 等于 $1$ 就说明就说明该拿走编号为 $n$ 的苹果了（因为每段都是拿走第 $1$ 个，而 $n$ 除以 $3$ 等于 $1$ 就说明编号为 $n$ 的苹果是最后一段的第一个，该拿走了）

当然，如果已经有过这种情况了，那就不能更新答案

得出代码（和上一段代码合并了，其中 $day$ 是用来记录天数的，$ans$ 是答案，$n$ 是输入的苹果数量）：

int day;
int ans;
while(n && ++day) {if(n % 3 == 1)if(!ans)ans = day;n -= (n + 2) / 3;
}

这就是整体思路

总代码

#include <cstdio>
using namespace std;int n;
int day;
int ans;int main() {scanf("%d", &n);while(n && ++day) {if(n % 3 == 1)if(!ans)ans = day;n -= (n + 2) / 3;}printf("%d %d\n", day, ans);return 0;
}

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尾声

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