【C++篇】红黑树的实现

目录

前言：

一，红黑树的概念

1.1，红黑树的规则

1.2，红黑树的最长路径 

1.3，红黑树的效率分析

 二，红黑树的实现

2.1，红黑树的结构

2.2，红黑树的插入

2.2.1，大致过程 

2.2.2，情况1：变色处理 

 2.2.3，情况2：单旋+变色

2.2.4，情况3：双旋+变色

2.3，红黑树插入代码的实现

2.4，红黑树的验证

三，整体代码

四，测试代码

前言：

本篇会用到上篇【AVL树的实现】中的旋转知识。

一，红黑树的概念

        红黑树是一颗二叉搜索树，它的每一个节点增加一个存储为来表示节点的颜色。可以是红色或者黑色。它通过对从根开始到叶子节点的每条路径上各个节点颜色的约束，确保最长路径不会超过最短路径的2倍，从而实现平衡的。

1.1，红黑树的规则

1，每个节点不是红色就是黑色。

2，根节点是黑色的。

3，红色节点的两个孩子只能是 黑色节点或者是空节点。也就是说不能出现连续的红色节点

4，对于任意一个节点，从该节点开始，到叶子节点的所有路径上，均包含相同数量的黑色节点。

以上 都是红黑树，满足红黑树的规则。

1.2，红黑树的最长路径 

1，由第四条规则可知，从根节点开始的每条路径上，黑色节点的数量相同。所以在极端场景下，一颗红黑树，它的最短路径就是节点全为黑色的路径。假设红黑树的每条路径黑色节点数量都为b,那么最短路径的节点数量为b.

2，由 第三条规则可知，一条路径上不能由连续的红色节点，最长路径是由一黑一红间隔组成的，所以最长路径为2*b。

3，而对于一颗红黑树，最长和最短路径不一定存在。我们可以得出对于任意一颗红黑树，它的任意 一条路径长度x都是，b<=x<=2*b.

1.3，红黑树的效率分析

假设N是红黑树节点的数量，h是最短路径的长度,最长路径不超过2*h

可以得到2^h-1<= N <= 2^(2*h)-1,推出h大致为logN,也就意味着红黑树的增删查该最坏走2*logN,时间复杂度O(logN).

 二，红黑树的实现

2.1，红黑树的结构

enum color
{
    Red,
    Black
};

template<class k,class v>
struct RBTreeNode
{
    RBTreeNode(const pair<k,v>& kv)
        :_left(nullptr)
        ,_right(nullptr)
        ,_parent(nullptr)
        ,_kv(kv)
    {}
    RBTreeNode<k, v>* _left;
    RBTreeNode<k, v>* _right;
    RBTreeNode<k, v>* _parent;
    pair<k, v> _kv;
    color _col;
};

template<class k,class v>
class RBTree
{
    typedef RBTreeNode<k, v> Node;
public:

   //...

private:

    Node* _root=nullptr;
};
 

2.2，红黑树的插入

2.2.1，大致过程 

1，插入一个值需要按照搜索树的规则进行插入，再判断插入后是否满足红黑树的规则。

2，如果是空树插入，新增节点就是黑色节点。如果是非空树插入，新增节点就必须是红色节点，因为如果插入黑色节点，就一定会破坏规则4，而插入红色节点是有可能会破坏规则3，而且对于规则3来说，解决方法比规则4的解决方法容易。

3，非空树插入后，如果父节点是黑色节点，则没有违反任何规则，插入结束。

4，非空树插入后，如果父节点是红色节点，则违反规则3，进一步分析。

2.2.2，情况1：变色处理 

由上图可知，c为红，p为红，g为黑，u存在且为红。在这种情况下，我们需要将p和u变黑，g变红，g成为新的c，继续向上更新。

分析：

        因为p和u都是红色的，g是黑色的。把p和u变黑，左边子树路径各增加一个黑色节点，g再变红，相当于g所在路径的黑色节点数量不变，同时解决了c和p连续红节点的问题。

        需要继续往上跟新是因为g是红色，如果g的父亲还是红色，就需要继续处理；如果g的父亲是黑色，则处理结束；如果g是整棵树的根，再将g变成黑色即可。 

 2.2.3，情况2：单旋+变色

c为红，p为红，u不存在或者u存在且u为黑色。在这种情况下，就需要进行单旋+变色处理

分析：

u不存在时，c一定是新增节点。

u存在且为黑色时，c一定不是新增节点，是在c的子树中插入，符号情况1，经过情况1后，c被调整为红色的。

 上图展示的是右单旋的场景，下面是根据右单旋，画出的左单旋大致图，与右单旋过程相似：

 总结：经过单旋+变色后，我们可以看到p做了子树新的根，且p是黑色的，所以不管p的父亲是黑色的还是红色的，都满足红黑树的规则，所以此时，就不需要往上更新了。

2.2.4，情况3：双旋+变色

c为红，p为红，g为黑，u不存在或者u存在且为黑，u不存在，则c一定是新增结点，u存在且为黑，则 c一定不是新增，c之前是黑色的，是在c的子树中插入，符合情况1，变色将c从黑色变成红色，更新上来的。

 上图展示的是左右双旋+变色，同样右左双旋类似：

同样经过双旋+变色后，c成为新的根，且c为黑色，所以也不需要继续向上更新了。

2.3，红黑树插入代码的实现

bool Insert(const pair<k, v>& kv)
{//插入根节点，color->Blackif (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = Black;return true;}//根据搜索树的规则查找插入位置Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur =cur->_left;}else{return false;}}//插入，新节点的颜色为红色cur = new Node(kv);cur->_col = Red;//与父亲节点连接好if (parent->_kv.first < kv.first)parent->_right = cur;elseparent->_left = cur;cur->_parent = parent;//颜色处理+旋转while (parent&& parent->_col == Red){//gNode* grandfather = parent->_parent;if (parent == grandfather->_left){//p为g的左边//    g//  p   uNode* uncle = grandfather->_right;//叔叔存在且为红，情况1if (uncle && uncle->_col == Red){//变色parent->_col = Black;uncle->_col = Black;grandfather->_col = Red;//继续向上处理cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else{//情况2，3//叔叔不存在或者叔叔为黑//u为黑，则c之前是黑的//u不存在，则c是新插入的if (cur == parent->_left){//右单旋场景//   g//  p   u// cRotateR(grandfather);//变色parent->_col = Black;grandfather->_col = Red;}else{//左右双旋场景//    g//  p   u//     cRotateL(parent);RotateR(grandfather);//变色cur->_col = Black;grandfather->_col = Red;}//不需要进行向上更新break;}}else{//p为g的右边//   g// u   pNode* uncle = grandfather->_left;if (uncle && uncle->_col == Red){//情况1//变色parent->_col = Black;uncle->_col = Black;grandfather->_col = Red;cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else{//情况2，3if (cur == parent->_right){//左单旋场景//  g// u   p//       cRotateL(grandfather);//变色parent->_col = Black;grandfather->_col = Red;}else{//右左双旋场景//   g// u   p//   cRotateR(parent);RotateL(grandfather);//变色cur->_col = Black;grandfather->_col = Red;}//不需要继续向上更新break;}}}//跟的颜色可能被调整为红色，最后一步改为黑色即可_root->_col = Black;return true;
}
//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;Node* pparent = parent->_parent;if (subLR)subLR->_parent = parent;parent->_left = subLR;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent)pparent->_left = subL;elsepparent->_right = subL;subL->_parent = pparent;}
}
//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;Node* pparent = parent->_parent;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;parent->_parent = subR;subR->_left = parent;if (parent == _root){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent)pparent->_left = subR;elsepparent->_right = subR;subR->_parent = pparent;}
}

2.4，红黑树的验证

我们只需验证形成的树是否满足红黑树的四条规则即可。

其中，规则1和规则 2可以直接检查。

对于规则3，我们可以进行前序遍历，遍历到一个节点，判断该节点的颜色，再判断它的两个孩子的颜色，这样做太麻烦了。我们可以反过来，遍历到一个节点，如果他是红色的，判断它的父亲节点是否为黑色。

对于规则4，我们可以先从根开始找到一条路径上黑色节点的个数refNum，再对整棵树进行前序遍历，用变量 blackNum记录黑色节点的个数，当遍历到空的时候，与refNum比较即可。

bool Check(Node* root, int BlackNum, int num)
{if (root == nullptr){if (BlackNum != num)return false;return true;}if (root->_col == Red && root->_parent->_col == Red)return false;if (root->_col == Black)BlackNum++;return Check(root->_left, BlackNum, num) && Check(root->_right, BlackNum, num);
}
//验证
bool isbalance()
{if (_root == nullptr)return true;if (_root->_col == Red)return false;int num = 0;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_col == Black)num++;cur = cur->_left;}return Check(_root, 0, num);
}

三，整体代码

enum color
{Red,Black
};template<class k,class v>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode(const pair<k,v>& kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_kv(kv){}RBTreeNode<k, v>* _left;RBTreeNode<k, v>* _right;RBTreeNode<k, v>* _parent;pair<k, v> _kv;color _col;
};template<class k,class v>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<k, v> Node;
public:bool Insert(const pair<k, v>& kv){//插入根节点，color->Blackif (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = Black;return true;}//根据搜索树的规则查找插入位置Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur =cur->_left;}else{return false;}}//插入，新节点的颜色为红色cur = new Node(kv);cur->_col = Red;//与父亲节点连接好if (parent->_kv.first < kv.first)parent->_right = cur;elseparent->_left = cur;cur->_parent = parent;//颜色处理+旋转while (parent&& parent->_col == Red){//gNode* grandfather = parent->_parent;if (parent == grandfather->_left){//p为g的左边//    g//  p   uNode* uncle = grandfather->_right;//叔叔存在且为红，情况1if (uncle && uncle->_col == Red){//变色parent->_col = Black;uncle->_col = Black;grandfather->_col = Red;//继续向上处理cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else{//情况2，3//叔叔不存在或者叔叔为黑//u为黑，则c之前是黑的//u不存在，则c是新插入的if (cur == parent->_left){//右单旋场景//   g//  p   u// cRotateR(grandfather);//变色parent->_col = Black;grandfather->_col = Red;}else{//左右双旋场景//    g//  p   u//     cRotateL(parent);RotateR(grandfather);//变色cur->_col = Black;grandfather->_col = Red;}//不需要进行向上更新break;}}else{//p为g的右边//   g// u   pNode* uncle = grandfather->_left;if (uncle && uncle->_col == Red){//情况1//变色parent->_col = Black;uncle->_col = Black;grandfather->_col = Red;cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else{//情况2，3if (cur == parent->_right){//左单旋场景//  g// u   p//       cRotateL(grandfather);//变色parent->_col = Black;grandfather->_col = Red;}else{//右左双旋场景//   g// u   p//   cRotateR(parent);RotateL(grandfather);//变色cur->_col = Black;grandfather->_col = Red;}//不需要继续向上更新break;}}}//跟的颜色可能被调整为红色，最后一步改为黑色即可_root->_col = Black;return true;}//右单旋void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;Node* pparent = parent->_parent;if (subLR)subLR->_parent = parent;parent->_left = subLR;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent)pparent->_left = subL;elsepparent->_right = subL;subL->_parent = pparent;}}//左单旋void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;Node* pparent = parent->_parent;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;parent->_parent = subR;subR->_left = parent;if (parent == _root){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent)pparent->_left = subR;elsepparent->_right = subR;subR->_parent = pparent;}}void Inorder(){_Inorder(_root);}int Height(){return _Height(_root);}int size(){return _size(_root);}Node* Find(const k& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}//验证bool isbalance(){if (_root == nullptr)return true;if (_root->_col == Red)return false;int num = 0;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_col == Black)num++;cur = cur->_left;}return Check(_root, 0, num);}
private:bool Check(Node* root, int BlackNum, int num){if (root == nullptr){if (BlackNum != num)return false;return true;}if (root->_col == Red && root->_parent->_col == Red)return false;if (root->_col == Black)BlackNum++;return Check(root->_left, BlackNum, num) && Check(root->_right, BlackNum, num);}int _size(Node* root){if (root == nullptr)return 0;return _size(root->_left) + _size(root->_right) + 1;}int _Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}void _Inorder(Node* root){if (root == nullptr)return;_Inorder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_Inorder(root->_right);}Node* _root=nullptr;
};

四，测试代码

void TestRBTree1()
{RBTree<int, int> t;// 常规的测试用例int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };// 特殊的带有双旋场景的测试用例//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };for (auto e : a){t.Insert({ e, e });}t.Inorder();cout << t.isbalance() << endl;
}
int main()
{TestRBTree1();return 0;
}

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