chebykan与代码3

参考文献有 ‘’

中文

各自讲了什么

切比雪夫多项式有两类吗？这里存疑

KAN变体

期刊

切比雪夫と爱因斯坦の约定

维度标签的含义

爱因斯坦求和约定

参考文献有 ‘’

中文

[1] 神经网络：全面基础
[2] 通过sigmoid函数的超层叠近似
[3] 多层前馈网络是通用近似器
[4] 生成对抗网络
[5] 注意力是你所需要的
[6] 深度残差学习用于图像识别
[7] 视觉化神经网络的损失景观
[8] 牙齿模具点云补全通过数据增强和混合RL-GAN
[9] 强化学习：一项调查
[10] 使用PySR和SymbolicRegression.jl的科学可解释机器学习

[11] Z. Liu, Y. Wang, S. Vaidya, F. Ruehle, J. Halverson, M. Soljačić, T.Y. Hou, M. Tegmark, "KAN：科尔莫戈罗夫-阿诺德网络"，2024年，arXiv预印本 arXiv:2404.19756。
[12] D.A. Sprecher, S. Draghici, "空间填充曲线和基于科尔莫戈罗夫超层叠的神经网络"，《神经网络》15卷1期（2002年）57-67页。
[13] M. Köppen, "关于科尔莫戈罗夫网络的训练"，收录于《人工神经网络—ICANN 2002：国际会议马德里，西班牙，2002年8月28-30日论文集》12卷，Springer出版社，2002年，474-479页。
[14] J. Schmidhuber, "发现具有低科尔莫戈罗夫复杂性和高泛化能力的神经网络"，《神经网络》10卷5期（1997年）857-873页。
[15] M.-J. Lai, Z. Shen, "科尔莫戈罗夫超层叠定理可以在近似高维函数时打破维度诅咒"，2021年，arXiv预印本 arXiv:2112.09963。
[16] P.-E. Leni, Y.D. Fougerolle, F. Truchetet, "用于图像处理的科尔莫戈罗夫样条网络"，收录于《图像处理：概念、方法、工具与应用》，IGI Global出版社，2013年，54-78页。
[17] J. He, "关于ReLU DNNs的最优表达能力和其在科尔莫戈罗夫超层叠定理中的应用"，2023年，arXiv预印本 arXiv:2308.05509。
[18] A.D. Jagtap, K. Kawaguchi, G.E. Karniadakis, "自适应激活函数加速深度和物理信息神经网络的收敛"，《计算物理》404卷（2020年）109136。
[19] S. Guarnieri, F. Piazza, A. Uncini, "具有自适应样条激活函数的多层前馈网络"，《IEEE神经网络交易》10卷3期（1999年）672-683页。
[20] D. Fakhoury, E. Fakhoury, H. Speleers, "ExSpliNet：一个可解释且表现力强的基于样条的神经网络"，《神经网络》152卷（2022年）332-346页。

[21] C.J. Vaca-Rubio, L. Blanco, R. Pereira, M. Caus, "用于时间序列分析的科尔莫戈罗夫-阿诺德网络（KANs）"，2024年，arXiv预印本 arXiv:2405.08790。
[22] M.E. Samadi, Y. Müller, A. Schuppert, "平滑科尔莫戈罗夫阿诺德网络，实现结构知识表示"，2024年，arXiv预印本 arXiv:2405.11318。
[23] Z. Li, "科尔莫戈罗夫-阿诺德网络是径向基函数网络"，2024年，arXiv预印本 arXiv:2405.06721。
[24] Z. Bozorgasl, H. Chen, "Wav-KAN：小波科尔莫戈罗夫-阿诺德网络"，2024年，arXiv预印本 arXiv:2405.12832。
[25] NLNR, "Jacobikan"，2024年，https://github.com/mintisan/awesome-kan/。
[26] SynodicMonth, "ChebyKAN"，2024年，https://github.com/SynodicMonth/ChebyKAN/。
[27] S. SS, "基于切比雪夫多项式的科尔莫戈罗夫-阿诺德网络：非线性函数近似的有效架构"，2024年，arXiv预印本 arXiv:2405.07200。
[28] S.S. Bhattacharjee, "TorchKAN：简化KAN模型及其变体"，2024年，https://github.com/1ssb/torchkan/。
[29] M. Raissi, P. Perdikaris, G.E. Karniadakis, "物理信息神经网络：解决涉及非线性偏微分方程的正问题和反问题的深度学习框架"，《计算物理》378卷（2019年）686-707页。
[30] D.W. Abueidda, P. Pantidis, M.E. Mobasher, "DeepOKAN：基于科尔莫戈罗夫-阿诺德网络的深度运算网络，用于力学问题"，2024年，arXiv预印本 arXiv:2405.19143。

[31] G.E. Karniadakis, I.G. Kevrekidis, L. Lu, P. Perdikaris, S. Wang, L. Yang, "物理信息机器学习"，《自然综述：物理学》3卷6期（2021年）422-440页。
[32] L.D. McClenny, U.M. Braga-Neto, "自适应性物理信息神经网络"，《计算物理》474卷（2023年）111722页。
[33] Z. Wang, X. Meng, X. Jiang, H. Xiang, G.E. Karniadakis, "物理信息神经网络推断的纳维-斯托克斯解的多重性及数据和涡粘性的影响"，2023年，arXiv预印本 arXiv:2309.06010。
[34] L. Lu, P. Jin, G. Pang, Z. Zhang, G.E. Karniadakis, "基于运算符的通用逼近定理的DeepONet学习非线性运算符"，《自然：机器智能》3卷3期（2021年）218-229页。
[35] C. Wu, M. Zhu, Q. Tan, Y. Kartha, L. Lu, "物理信息神经网络非自适应和基于残差的自适应采样的综合研究"，《计算力学应用力学工程》403卷（2023年）115671页。
[36] S.J. Anagnostopoulos, J.D. Toscano, N. Stergiopulos, G.E. Karniadakis, "PINNs中的学习：相变、总扩散和泛化"，2024年，arXiv预印本 arXiv:2403.18494。
[37] M.D. Wilkinson, M. Dumontier, I.J. Aalbersberg, G. Appleton, M. Axton, A. Baak, N. Blomberg, J.-W. Boiten, L.B. da Silva Santos, P.E. Bourne 等，"科学数据管理和监护的FAIR指导原则"，《科学数据》3卷1期（2016年）1-9页。
[38] N. Tishby, F.C. Pereira, W. Bialek, "信息瓶颈方法"，2000年，arXiv预印本 physics/0004057。
[39] N. Tishby, N. Zaslavsky, "深度学习与信息瓶颈原理"，收录于2015 IEEE信息论研讨会（ITW），IEEE，2015年，第1-5页。
[40] R. Shwartz-Ziv, N. Tishby, "通过信息打开深度神经网络的黑箱"，2017年，arXiv预印本 arXiv:1703.00810。
[41] Z. Goldfeld, Y. Polyanskiy, "信息瓶颈问题及其在机器学习中的应用"，《IEEE选择领域信息论杂志》1卷1期（2020年）19-38页。
[42] A.F. Psaros, X. Meng, Z. Zou, L. Guo, G.E. Karniadakis, "科学机器学习中的不确定性量化：方法、指标和比较"，《计算物理》477卷（2023年）111902页。
[43] S. Cai, Z. Mao, Z. Wang, M. Yin, G.E. Karniadakis, "用于流体力学的物理信息神经网络（PINNs）：综述"，《力学学报》37卷12期（2021年）1727-1738页。
[44] Z. Mao, A.D. Jagtap, G.E. Karniadakis, "用于高速流动的物理信息神经网络"，《计算力学应用力学工程》360卷（2020年）112789页。
[45] L. Yang, X. Meng, G.E. Karniadakis, "B-PINNs：贝叶斯物理信息神经网络，用于带噪声数据的前向和反问题"，《计算物理》425卷（2021年）109913页。
[46] X. Meng, Z. Li, D. Zhang, G.E. Karniadakis, "PPINN：用于时变偏微分方程的并行物理信息神经网络"，《计算力学应用力学工程》370卷（2020年）113250页。
[47] Z. Zou, G.E. Karniadakis, "L-HYDRA：多头物理信息神经网络"，2023年，arXiv预印本 arXiv:2301.02152。
[48] Z. Zou, X. Meng, G.E. Karniadakis, "在物理信息神经网络（PINNs）中纠正模型误指定"，《计算物理》期刊。

[49] Z. Zhang, Z. Zou, E. Kuhl, G.E. Karniadakis, "通过结合物理信息神经网络与符号回归发现阿尔茨海默病的反应-扩散模型"，《计算力学应用力学工程》419卷（2024年）116647页。
[50] P. Chen, T. Meng, Z. Zou, J. Darbon, G.E. Karniadakis, "利用多时间哈密顿-雅可比偏微分方程解决某些科学机器学习问题"，《SIAM科学计算杂志》46卷2期（2024年）C216–C248页。
[51] P. Chen, T. Meng, Z. Zou, J. Darbon, G.E. Karniadakis, "利用具有时间依赖哈密顿量的哈密顿-雅可比偏微分方程进行连续科学机器学习"，收录于《第六届动态与控制学习年度会议》，PMLR，2024年，第1–12页。
[52] Z. Li, N. Kovachki, K. Azizzadenesheli, B. Liu, K. Bhattacharya, A. Stuart, A. Anandkumar, "用于参数化偏微分方程的傅里叶神经运算符"，2020年，arXiv预印本 arXiv:2010.08895。
[53] K. Shukla, P.C. Di Leoni, J. Blackshire, D. Sparkman, G.E. Karniadakis, "用于超声无损量化表面裂纹的物理信息神经网络"，《无损评价杂志》39卷（2020年）1–20页。
[54] K. Shukla, A.D. Jagtap, J.L. Blackshire, D. Sparkman, G.E. Karniadakis, "利用超声数据通过物理信息神经网络量化多晶镍的微观结构性质：解决反问题的有前景方法"，《IEEE信号处理杂志》39卷1期（2021年）68–77页。
[55] S.J. Anagnostopoulos, J.D. Toscano, N. Stergiopulos, G.E. Karniadakis, "物理信息神经网络中的基于残差的注意力"，《计算力学应用力学工程》421卷（2024年）116805页。
[56] L. Lu, X. Meng, S. Cai, Z. Mao, S. Goswami, Z. Zhang, G.E. Karniadakis, "基于公平数据的两种神经运算符（及其实用扩展）的全面公平比较"，《计算力学应用力学工程》393卷（2022年）114778页。
[57] Z. Zou, A. Kahana, E. Zhang, E. Turkel, R. Ranade, J. Pathak, G.E. Karniadakis, "使用基于神经运算符的快速求解器进行大规模散射"，2024年，arXiv预印本 arXiv:2405.12380。
[58] K. Shukla, V. Oommen, A. Peyvan, M. Penwarden, N. Plewacki, L. Bravo, A. Ghoshal, R.M. Kirby, G.E. Karniadakis, "深度神经运算符作为形状优化的准确替代模型"，《工程应用人工智能》129卷（2024年）107615页。
[59] X. Meng, L. Yang, Z. Mao, J. del Águila Ferrandis, G.E. Karniadakis, "从数据和物理中学习功能先验和后验"，《计算物理》457卷（2022年）111073页。
[60] Z. Zou, X. Meng, A.F. Psaros, G.E. Karniadakis, "NeuralUQ：用于神经微分方程和运算符不确定性量化的综合库"，《SIAM评论》66卷1期（2024年）161–190页。
[61] Z. Zou, X. Meng, G.E. Karniadakis, "物理信息神经网络和神经运算符中噪声输入-输出的不确定性量化"，2023年，arXiv预印本 arXiv:2311.11262。

[62] J. Lin, "Awesome-KAN"，2024年，网址：https://github.com/SpaceLearner/JacobiKAN/.
[63] G. Karniadakis, S. Sherwin, 《计算流体动力学的谱/hp元素方法》，第二版，牛津大学出版社，牛津，英国，2005年。
[64] B. Ter-Avanesov, "Awesome-KAN"，2024年，网址：https://github.com/Boris-73-TA/OrthogPolyKANs/.
[65] G. Karniadakis, S.J. Sherwin, 《计算流体动力学的谱/hp元素方法》，牛津大学出版社，美国，2005年。
[66] N. Rahaman, A. Baratin, D. Arpit, F. Draxler, M. Lin, F. Hamprecht, Y. Bengio, A. Courville, "关于神经网络的谱偏倚"，收录于：国际机器学习会议，PMLR，2019年，第5301–5310页。
[67] S. Greydanus, M. Dzamba, J. Yosinski, "哈密顿神经网络"，《神经信息处理系统进展》32卷（2019年）。
[68] A. Garg, S.S. Kagi, "哈密顿神经网络"，2019年。
[69] D.P. Kingma, J. Ba, "Adam：一种随机优化方法"，2014年，arXiv预印本 arXiv:1412.6980。
[70] A. Krishnapriyan, A. Gholami, S. Zhe, R. Kirby, M.W. Mahoney, "特征物理信息神经网络的潜在失败模式"，《神经信息处理系统进展》34卷（2021年）26548–26560页。
[71] Y. He, Z. Wang, H. Xiang, X. Jiang, D. Tang, "用于不可压缩流的人工粘性增强物理信息神经网络"，《应用数学与力学》44卷7期（2023年）1101–1110页。
[72] J.-L. Guermond, R. Pasquetti, B. Popov, "非线性守恒律的熵粘性方法"，《计算物理》230卷11期（2011年）4248–4267页。
[73] Z. Wang, M.S. Triantafyllou, Y. Constantinides, G. Karniadakis, "柔性管道中湍流流动的熵粘性大涡模拟研究"，《流体力学杂志》859卷（2019年）691–730页。
[74] X. Jin, S. Cai, H. Li, G.E. Karniadakis, "NSFnets（纳维-斯托克斯流网）：用于不可压缩纳维-斯托克斯方程的物理信息神经网络"，《计算物理》426卷（2021年）109951页。
[75] S.M. Allen, J.W. Cahn, "有序二元合金中具有第二近邻相互作用的基态结构"，《金属学报》20卷3期（1972年）423–433页。
[76] K. Linka, A. Schäfer, X. Meng, Z. Zou, G.E. Karniadakis, E. Kuhl, "用于实际非线性动力系统的贝叶斯物理信息神经网络"，《计算力学应用力学工程》402卷（2022年）115346页。
[77] M. Yin, Z. Zou, E. Zhang, C. Cavinato, J.D. Humphrey, G.E. Karniadakis, "在数据稀疏情况下推断生物力学本构定律家族的生成建模框架"，《力学与物理固体杂志》181卷（2023年）105424页。
[78] Z. Zou, T. Meng, P. Chen, J. Darbon, G.E. Karniadakis, "利用粘性哈密顿-雅可比PDE进行科学机器学习中的不确定性量化"，2024年，arXiv预印本 arXiv:2404.08809。
[79] R.M. Neal, 等著，"使用哈密顿动力学的MCMC"，《马尔可夫链蒙特卡洛手册》2卷11期（2011年）2页。
[80] I. Loshchilov, F. Hutter, "解耦权重衰减正则化"，2017年，arXiv预印本 arXiv:1711.05101。
[81] T.M. Inc, "MATLAB版本：9.14.0（r2023a）"，2023年，网址：https://www.mathworks.com。
[82] R. Shwartz-Ziv, "深度神经网络中的信息流"，2022年，arXiv预印本 arXiv:2202.06749。
[83] S.J. Anagnostopoulos, J.D. Toscano, N. Stergiopulos, G.E. Karniadakis, "基于残差的注意力及其与信息瓶颈理论的联系在物理信息神经网络中"，2023年，arXiv预印本 arXiv:2307.00379。
[84] K. Shukla, A.D. Jagtap, G.E. Karniadakis, "通过域分解实现并行物理信息神经网络"，《计算物理》447卷（2021年）110683页。

以下列出部分参考文献的中文翻译：

1. 海金，S. (1998). 神经网络：综合基础. 普林斯顿霍尔指针出版社.

2. 西本科，G. (1989). Sigmoidal 函数的叠加近似. 数学控制与信号系统，2(4)，303–314.

3. 霍尼克，K.，斯廷奇科姆，M.，怀特，H. (1989). 多层前馈网络是万能逼近器. 神经网络，2(5)，359–366.

4. 古德费洛，I.，普乌热特-阿巴迪耶，J.，米尔扎，M.，旭，B.，沃德-法雷利，D.，奥齐尔，S.，柯维尔，A.，本吉奥，Y. (2020). 生成对抗网络. 通信协会，63(11)，139–144.

5. 瓦斯瓦尼，A.，沙泽尔，N.，帕尔马尔，N.，乌斯科雷特，L.，琼斯，L.，戈梅兹，Ł.，凯泽，I.，波罗斯库欣，I. (2017). 注意力即一切. 神经信息处理系统，30.

6. 何，K.，张，X.，任，S.，孙，J. (2016). 深度残差学习用于图像识别. 图像识别和模式识别会议论文集，770–778.

7. 李，H.，徐，Z.，泰勒，G.，斯特德，C.，戈德斯坦，T. (2018). 神经网络损失景观的可视化. 神经信息处理系统，31.

8. 托斯卡诺，J. D.，祖尼加-纳瓦雷特，C.，席乌，W. D. J.，塞瓜拉，L. J.，孙，H. (2023). 通过数据增强和混合 rl-gan 进行牙齿模具点云完成. 计算信息科学工程杂志，23(4)，041008.

各自讲了什么

. [11] Z. Liu, Y. Wang, S. Vaidya, F. Ruehle, J. Halverson, M. Soljačić, T.Y. Hou, M. Tegmark, KAN: Kolmogorov-Arnold networks, 2024, arXiv preprint arXiv:2404.19756.

这是 KAN 的开山之作，介绍了 KAN 的概念、架构和原理，并与 MLP 进行了比较。该论文展示了 KAN 在解决非线性问题上的潜力，并引发了后续的研究。

2. [27] S. SS, Chebyshev Polynomial-Based Kolmogorov-Arnold Networks: An Efficient Architecture for Nonlinear Function Approximation, 2024, arXiv preprint arXiv:2405.07200.

该论文提出了基于 Chebyshev 多项式的 KAN 架构，并将其应用于非线性函数逼近。实验结果表明，该架构在精度和效率方面都优于 MLP。

3. [30] D.W. Abueidda, P. Pantidis, M.E. Mobasher, DeepOKAN: Deep Operator Network Based on Kolmogorov Arnold Networks for Mechanics Problems, 2024, arXiv preprint arXiv:2405.19143.

该论文将 KAN 应用于力学问题，并提出了 DeepOKAN，一种基于 KAN 的深度算子网络。实验结果表明，DeepOKAN 在解决力学问题方面优于传统的深度算子网络。

4. [34] L. Lu, P. Jin, G. Pang, Z. Zhang, G.E. Karniadakis, Learning nonlinear operators via DeepONet based on the universal approximation theorem of operators, Nat. Mach. Intell 3 (3) (2021) 218–229.

该论文将 KAN 的思想应用于算子学习，并提出了 DeepONet，一种基于算子逼近定理的深度算子网络。该论文展示了 DeepONet 在学习非线性算子方面的潜力。

5. [40] R. Shwartz-Ziv, N. Tishby, Opening the black box of deep neural networks via information, 2017, arXiv preprint arXiv:1703.00810.

该论文介绍了信息瓶颈理论，该理论可以用于分析深度神经网络的训练过程，并解释 KAN 在解决非线性问题上的优势。

6. [42] A.F. Psaros, X. Meng, Z. Zou, L. Guo, G.E. Karniadakis, Uncertainty quantification in scientific machine learning: Methods, metrics, and comparisons, J. Comput. Phys. 477 (2023) 111902.

该论文讨论了科学机器学习中的不确定性量化方法，并比较了 PINN 和 PIKAN 在解决不确定性问题上的表现。

7. [43] S. Cai, Z. Mao, Z. Wang, M. Yin, G.E. Karniadakis, Physics-informed neural networks (PINNs) for fluid mechanics: A review, Acta Mech. Sin. 37 (12) (2021) 1727–1738.

该论文综述了 PINN 在流体力学中的应用，并讨论了 PINN 的优势和局限性。该论文还提到了 KAN 作为一种潜在的替代方案。

8. [49] Z. Zhang, Z. Zou, E. Kuhl, G.E. Karniadakis, Discovering a reaction–diffusion model for Alzheimer’s disease by combining PINNs with symbolic regression, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 419 (2024) 116647.

该论文展示了 PINN 在解决生物医学问题上的潜力，并讨论了 PINN 与符号回归的结合。该论文还提到了 KAN 作为一种潜在的替代方案。

9. [53] K. Shukla, P.C. Di Leoni, J. Blackshire, D. Sparkman, G.E. Karniadakis, Physics-informed neural network for ultrasound nondestructive quantification of surface breaking cracks, J. Nondestruct. Eval. 39 (2020) 1–20.

切比雪夫多项式有两类吗？这里存疑

该论文展示了 PINN 在解决无损检测问题上的潜力，并讨论了 PINN 的优势和局限性。该论文还提到了 KAN 作为一种潜在的替代方案。
KAN变体
1. 基于 B 样条的 KAN (Vanilla KAN):
这是 KAN 的原始版本，将 B 样条作为基函数，并将其加权组合作为激活函数。
2. 基于 RBF 的 KAN:
使用径向基函数 (RBF) 作为基函数，可以加速训练并提高精度。P4
3. 基于 Wavelet 的 KAN:
使用小波函数作为基函数，可以更好地平衡准确性和泛化性，并避免过拟合。P4
4. 基于 Chebyshev 多项式的 KAN (Chebyshev-KAN):
使用 Chebyshev 多项式作为基函数，可以提高精度并降低计算成本。P4
5. 基于 Legendre 多项式的 KAN (Legendre-KAN):
使用 Legendre 多项式作为基函数，可以与 Chebyshev 多项式类似地提高精度并降低计算成本。
6. 基于 Jacobi 多项式的 KAN (Jacobi-KAN):
使用 Jacobi 多项式作为基函数，可以进一步提高精度并降低计算成本，因为它们可以更有效地表示高阶函数。
7. 基于 Hermite 多项式的 KAN (Hermite-KAN):
使用 Hermite 多项式作为基函数，可以与 Legendre 和 Chebyshev 多项式类似地提高精度并降低计算成本。
8. 基于 Chebyshev 多项式的深度算子网络 (DeepOKAN):
将 Chebyshev-KAN 应用于 DeepONet 架构中，可以构建更强大的深度算子网络，用于解决更复杂的科学机器学习问题。
9. 基于 Chebyshev 多项式的可微贝叶斯 PIKAN (B-cPIKAN):
将 Chebyshev-KAN 与贝叶斯框架结合，可以构建可微贝叶斯 PIKAN，用于解决具有不确定性数据的问题。
10. 基于 Chebyshev 多项式的递归 PIKAN (cPIKAN®):
使用 Chebyshev 多项式的递归表示，可以解决 Chebyshev-KAN 训练过程中可能出现的数值不稳定问题。P12
11. 基于 Chebyshev 多项式的改进 PIKAN (cPIKAN(θ)):
将 Chebyshev-KAN 层与双曲正切函数组合，可以进一步提高训练稳定性。
12. 基于 KAN 的并行 PINN:
将 KAN 应用于并行 PINN 架构中，可以进一步提高解决大规模 PDE 的效率。
13. 基于 KAN 的时变 PDE 解决方案:
将 KAN 应用于时变 PDE 的解决方案，可以扩展 KAN 的应用范围。
以下列举部分参考文献中提到的 KAN 变体和创新，并标注序号：
[11]: 介绍了 KAN 的概念、架构和原理，并与其他神经网络进行了比较。该论文是 KAN 的开山之作。
[23]: 提出了一种基于 RBF 的 KAN 变体，它可以加速训练并提高精度。
[24]: 提出了一种基于 Wavelet 的 KAN 变体，它可以更好地平衡准确性和泛化性，并避免过拟合。
[26]: 提出了一种基于 Chebyshev 多项式的 KAN 变体，它可以提高精度并降低计算成本。
[27]: 进一步研究了基于 Chebyshev 多项式的 KAN 变体，并提出了更高效的架构。
[30]: 将 Chebyshev-KAN 应用于 DeepONet 架构中，构建了 DeepOKAN，一种更强大的深度算子网络。
[34]: 将 KAN 的思想应用于算子学习，并提出了 DeepONet，一种基于算子逼近定理的深度算子网络。
[35]: 探讨了不同类型的采样方法对 PINN 的影响，并提出了基于残差的自适应采样方法。
[36]: 分析了 PINN 的学习过程，并提出了信息瓶颈理论来解释 KAN 的优势。
[42]: 讨论了科学机器学习中的不确定性量化方法，并比较了 PINN 和 PIKAN 在解决不确定性问题上的表现。
[43]: 综述了 PINN 在流体力学中的应用，并讨论了 PINN 的优势和局限性。
[49]: 展示了 PINN 在解决生物医学问题上的潜力，并讨论了 PINN 与符号回归的结合。
[53]: 展示了 PINN 在解决无损检测问题上的潜力，并讨论了 PINN 的优势和局限性。
[56]: 对比了两种神经网络算子，并提出了改进方法。
[57]: 使用神经网络算子来解决大规模散射问题。
[58]: 将深度神经网络算子应用于形状优化问题。
[62]: 介绍了 Awesome-KAN 项目，收集了各种 KAN 变体。
[64]: 介绍了 Awesome-KAN 项目的一个分支，专注于正交多项式 KAN。

1. Chebyshev 第一类多项式 (Chebyshev of the first kind):

递归定义:

T_0(x) = 1

T_1(x) = x

T_n(x) = 2xT_{n-1}(x) - T_{n-2}(x) (n ≥ 2)

T_n(x) = cos(narccos(x))

2. Chebyshev 第二类多项式 (Chebyshev of the second kind):

U_0(x) = 0

U_1(x) = x

U_n(x) = 2xU_{n-1}(x) - U_{n-2}(x) (n ≥ 2)

U_n(x) = sin(narccos(x)) / sin(nπ)

请注意:

另一种表示方式:
递归定义:
另一种表示方式:
这里的 x 都是在 [-1, 1] 区间内的值。
使用递归定义计算多项式可能效率较低，建议使用数值计算库 (如 NumPy) 中的 Chebyshev 多项式函数。

期刊

为了查询特定期刊的分区，您可以使用以下三个平台：

中国科学院文献情报中心期刊分区表：这个平台对SCIE、SSCI和A&HCI全部期刊进行分区，并提供大、小类两种学科分类体系的分区数据。个人用户可以通过关注其官方微信公众号免费查询期刊分区。请注意，从2025年开始，期刊分区表的发布时间改为年初3。
科研通：这个平台收录了超过40,000条期刊信息，包括期刊排名、ISSN号、最新及历年影响因子、主题、学科分区（包括中科院分区）等。您可以通过期刊名称关键字或ISSN号进行查询1。
爱科学网：这个网站提供了SCI期刊的分类导航，可以查询期刊的影响因子(IF)、JCR分区以及中科院分区。它涵盖了多个学科领域，方便用户根据需要查询2。

您可以根据期刊的名称或ISSN号在这些平台上进行查询。由于我无法直接访问这些数据库，因此无法为您提供具体的期刊分区信息。您需要亲自在这些平台上进行查询以获取所需信息。

我刚刚的回复有误。根据最新的中科院分区表（2023年12月发布），《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》（简称CMAME）位于工程领域的中科院分区表Q1区，属于中科院TOP期刊。此外，该期刊在JCR分区中也被列为Q1区期刊。
如果您想了解更多关于该期刊的信息，可以访问Web of Science、Elsevier官网或其他相关学术数据库进行查询。

引用

是的，《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》是一本SCI（Science Citation Index）收录的期刊。

切比雪夫と爱因斯坦の约定

用户_uBiEPA

def forward(self, x): x = torch.reshape(x, (-1, self.inputdim)) # shape = (batch_size, inputdim) # Since Chebyshev polynomial is defined in [-1, 1] # We need to normalize x to [-1, 1] using tanh x = torch.tanh(x) # Initialize Chebyshev polynomial tensors cheby = torch.ones(x.shape[0], self.inputdim, self.degree + 1, device=x.device) if self.degree > 0: cheby[:, :, 1] = x for i in range(2, self.degree + 1): cheby[:, :, i] = 2 * x * cheby[:, :, i - 1].clone() - cheby[:, :, i - 2].clone() # Compute the Chebyshev interpolation y = torch.einsum('bid,iod->bo', cheby, self.cheby_coeffs) # shape = (batch_size, outdim) y = y.view(-1, self.outdim) return y 详细解释这里torch.einsum('bid,iod->bo', cheby, self.cheby_coeffs) 是什么意思

ChatGLM

torch.einsum 是 PyTorch 中的一个函数，用于计算爱因斯坦求和约定（Einstein summation convention）的运算。这个函数允许用户通过字符串表达式来指定多维数组（张量）之间的元素如何相乘和求和。

表达式 'bid,iod->bo' 是爱因斯坦求和约定的字符串表示，其中：

'bid' 和 'iod' 分别代表输入张量 cheby 和 self.cheby_coeffs 的维度标签。
'bo' 是输出张量的维度标签。

让我们分解这个表达式：

'bid' 表示 cheby 张量的维度，其中 b 是批处理大小（batch size），i 是输入维度（input dimension），d 是多项式的度数（degree of the polynomial）。
'iod' 表示 self.cheby_coeffs 张量的维度，其中 i 是输入维度（input dimension，与 cheby 中的 i 对应），o 是输出维度（output dimension），d 是多项式的度数（degree of the polynomial，与 cheby 中的 d 对应）。

'bid,iod->bo' 的含义是：

将 cheby 和 self.cheby_coeffs 的对应维度相乘。这里，i 和 d 维度在两个张量中都是对应的，所以它们会被相乘。
对所有不包含在输出标签 'bo' 中的维度进行求和。在这个例子中，i 和 d 维度都会被求和。

具体步骤如下：

对于每个批处理元素 b 和每个输出维度 o，cheby 的 i 维度（输入维度）和 self.cheby_coeffs 的 i 维度（输入维度）将被对应元素相乘。
然后，对于每个批处理元素 b 和每个输出维度 o，将所有 d 维度的元素相加。

最终结果是每个批处理元素 b 和每个输出维度 o 的一个标量值，这些值组成了形状为 (batch_size, outdim) 的输出张量 y。

在代码中，cheby 是一个形状为 (batch_size, inputdim, degree + 1) 的张量，而 self.cheby_coeffs 是一个形状为 (inputdim, outdim, degree + 1) 的张量。通过 torch.einsum 的计算，我们得到了一个形状为 (batch_size, outdim) 的张量 y。

用户_uBiEPA

表达式 `'bid,iod->bo'` 是爱因斯坦求和约定的字符串表示，其中： * `'bid'` 和 `'iod'` 分别代表输入张量 `cheby` 和 `self.cheby_coeffs` 的维度标签。 * `'bo'` 是输出张量的维度标签。