Hi，大家好，我是半亩花海。本项目展示了欧氏距离、城市街区距离和棋盘距离变换的实现方法。通过定义一个距离变换类，对输入图像进行距离变换操作，并生成对应的距离矩阵。在示例中，展示了在一个480x480的全黑背景图像上设置三个前景像素点的距离变换结果。

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一、距离的定义及分类

距离是描述图像两点像素之间的远近关系的度量，常见的度量距离有欧式距离、城市街区距离、棋盘距离。以下以两坐标点 $a=(i,j)$ 和 $b=(k,l)$ 的距离为例，来说明各种距离的定义方式：

（1）欧式距离 $D_e$： 欧式距离的定义源于经典的几何学，与我们数学中所学的简单几何的两点之间的距离一致，为两个像素点坐标值的平方根。欧式距离的优点在于其定义非常地直观，是显而易见的，但缺点在于平方根的计算是非常耗时的。

$$D_e(a,b)=\sqrt{\left((i-k{)}^2\right)+(j-l{)}^2}$$

（2）城市街区距离 $D_4$： 距离描述的是只允许像素坐标系平面中横向和纵向的移动距离，4表示在这种定义下，像素点是 4 邻接的，即每个点只与它的上、下、左、右相邻的 4 个点之间的距离为 1。

$$D_4(a,b)=|i-k|+|j-l|$$

（3）棋盘距离 $D_8$： 如果允许在图像坐标系中像素点的对角线方向的移动，就可以得到棋盘距离，8 表示在这种定义下，像素点是 8 邻接的，即每个点只与它的上、下、左、右、四个对角线方向相邻的 8 个点之间的距离为 1。

D 8 ( a , b ) = max ⁡ { ∣ i − k ∣ , ∣ j − l ∣ } D_8(a, b)=\max \{|i-k|,|j-l|\} D8​(a,b)=max{∣i−k∣,∣j−l∣}

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二、导入必要库

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 设置字体样式以正常显示中文标签
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

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三、距离变换算法

• 距离变换是图像中像素点与某个区域块的距离。区域块中的像素点值为 0，临近区域块的像素点有较小的值，离它越远值越大。

以二值图像为例，其中区域块内部的像素值为 1，其他像素值为 0。距离变换给出每个像素点到最近的区域块边界的距离，区域块内部的距离变换结果为0。输入图像如图 1 所示， $D_4$ 距离的距离变换结果如图 2 所示。

• 距离变换算法核心是利用两个小的局部掩膜对图像进行遍历。第一遍利用掩模1，左上角开始，从左往右，从上往下；第二遍利用第二个掩模，右下角开始，从右往左，从下往上。掩模形状如下图所示：

按照某种距离（如：$D_4$ 距离或 $D_8$ 距离）对大小为 $M\times N$ 的图像中的区域块作距离变换，算法过程如下：

（1） 建立一个大小为 $M\times N$ 的数组 $F$，作如下的初始化：将区域块中的元素设置为 0，其余元素设置为无穷；

（2） 利用掩模1（mask1），左上角开始，从左往右，从上往下遍历数组，将掩模中P点对应的元素的值作如下更新：

F ( P ) = min ⁡ q ∈ mask1 ⁡ { F ( P ) , D ( P , q ) + F ( q ) } F(P)=\min _{q \in \operatorname{mask1}}\{F(P), D(P, q)+F(q)\} F(P)=q∈mask1min​{F(P),D(P,q)+F(q)}

（3） 利用掩模2（mask2），右下角开始，从右往左，从下往上遍历数组，将掩模中P点对应的元素的值作如下更新：

F ( P ) = min ⁡ q ∈ mask2 ⁡ { F ( P ) , D ( P , q ) + F ( q ) } F(P)=\min _{q \in \operatorname{mask2}}\{F(P), D(P, q)+F(q)\} F(P)=q∈mask2min​{F(P),D(P,q)+F(q)}

最终得到的更新后的数组即为距离变换的结果。

因在边界处掩模不能全部覆盖图像，可以将掩模中没有对应元素的位置的值当作 0 来处理，以此对图像边界处做出调整，即maskSize=0。

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四、定义距离变换类

在距离变换类当中分别初始化距离变换类、定义欧氏距离和城市街区距离及棋盘距离的函数。

# 定义距离变换类
class DistanceTransform:# 初始化距离变换类def __init__(self, image):self.image = imageself.height, self.width = image.shape# 定义欧氏距离变换def Euclidean_distance_transform(self):distance_matrix = np.zeros_like(self.image, dtype=float)# 获取前景像素点的坐标yy, xx = np.argwhere(self.image == 1).Tfor y in range(self.height):for x in range(self.width):if self.image[y, x] == 1:distance_matrix[y, x] = 0else:# 计算当前像素到前景像素点的欧氏距离distances = np.sqrt((y - yy) ** 2 + (x - xx) ** 2)# 取最小值作为当前像素的距离值distance_matrix[y, x] = np.min(distances)return distance_matrix# 定义城市街区距离变换def D4_distance_transform(self):distance_matrix = np.zeros_like(self.image, dtype=float)yy, xx = np.argwhere(self.image == 1).Tfor y in range(self.height):for x in range(self.width):if self.image[y, x] == 1:distance_matrix[y, x] = 0else:# 计算当前像素到前景像素点的曼哈顿距离distances = np.abs(y - yy) + np.abs(x - xx)# 取最小值作为当前像素的距离值distance_matrix[y, x] = np.min(distances)return distance_matrix# 定义棋盘距离变换def D8_distance_transform(self):distance_matrix = np.zeros_like(self.image, dtype=float)yy, xx = np.argwhere(self.image == 1).Tfor y in range(self.height):for x in range(self.width):if self.image[y, x] == 1:distance_matrix[y, x] = 0else:# 计算当前像素到前景像素点的棋盘距离distances = np.maximum(np.abs(y - yy), np.abs(x - xx))# 取最小值作为当前像素的距离值distance_matrix[y, x] = np.min(distances)return distance_matrix

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五、显示原始图像

# 初始化输入图像：480x480的全黑背景
image = np.zeros((480, 480), dtype=np.uint8)
# 取三个前景像素点
image[100, 200] = 1
image[200, 100] = 1
image[300, 300] = 1# 显示原始图像
plt.figure(figsize=(5, 5))
plt.scatter([100, 200, 300], [200, 100, 300], color='white', marker='o')
plt.imshow(image, cmap='gray')
plt.title('原始图像', fontsize=15)

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六、计算并输出距离变换矩阵

# 计算距离变换矩阵
dt = DistanceTransform(image)
euclidean_distance_matrix = dt.Euclidean_distance_transform()
manhattan_distance_matrix = dt.D4_distance_transform()
chessboard_distance_matrix = dt.D8_distance_transform()# 输出欧氏、城区和棋盘的距离矩阵
print("欧氏距离的变换矩阵:\n", euclidean_distance_matrix)
print("城区距离的变换矩阵:\n", manhattan_distance_matrix)
print("棋盘距离的变换矩阵:\n", chessboard_distance_matrix)

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七、可视化距离变换结果

# 可视化距离变换结果
plt.figure(figsize=(15, 5))# 欧氏距离变换
plt.subplot(1, 3, 1)
plt.imshow(euclidean_distance_matrix, cmap='gray')
plt.colorbar(shrink=0.8)
plt.title('欧氏距离', fontsize=15)
plt.axis('off')# 城区距离变换
plt.subplot(1, 3, 2)
plt.imshow(manhattan_distance_matrix, cmap='gray')
plt.colorbar(shrink=0.8)
plt.title('城区距离', fontsize=15)
plt.axis('off')# 棋盘距离变换
plt.subplot(1, 3, 3)
plt.imshow(chessboard_distance_matrix, cmap='gray')
plt.colorbar(shrink=0.8)
plt.title('棋盘距离', fontsize=15)
plt.axis('off')plt.tight_layout()
plt.show()

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八、完整代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 设置字体样式以正常显示中文标签
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False# 定义距离变换类
class DistanceTransform:# 初始化距离变换类def __init__(self, image):self.image = imageself.height, self.width = image.shape# 定义欧氏距离变换def Euclidean_distance_transform(self):distance_matrix = np.zeros_like(self.image, dtype=float)# 获取前景像素点的坐标yy, xx = np.argwhere(self.image == 1).Tfor y in range(self.height):for x in range(self.width):if self.image[y, x] == 1:distance_matrix[y, x] = 0else:# 计算当前像素到前景像素点的欧氏距离distances = np.sqrt((y - yy) ** 2 + (x - xx) ** 2)# 取最小值作为当前像素的距离值distance_matrix[y, x] = np.min(distances)return distance_matrix# 定义城市街区距离变换def D4_distance_transform(self):distance_matrix = np.zeros_like(self.image, dtype=float)yy, xx = np.argwhere(self.image == 1).Tfor y in range(self.height):for x in range(self.width):if self.image[y, x] == 1:distance_matrix[y, x] = 0else:# 计算当前像素到前景像素点的曼哈顿距离distances = np.abs(y - yy) + np.abs(x - xx)# 取最小值作为当前像素的距离值distance_matrix[y, x] = np.min(distances)return distance_matrix# 定义棋盘距离变换def D8_distance_transform(self):distance_matrix = np.zeros_like(self.image, dtype=float)yy, xx = np.argwhere(self.image == 1).Tfor y in range(self.height):for x in range(self.width):if self.image[y, x] == 1:distance_matrix[y, x] = 0else:# 计算当前像素到前景像素点的棋盘距离distances = np.maximum(np.abs(y - yy), np.abs(x - xx))# 取最小值作为当前像素的距离值distance_matrix[y, x] = np.min(distances)return distance_matrix# 初始化输入图像：480x480的全黑背景
image = np.zeros((480, 480), dtype=np.uint8)
# 取三个前景像素点
image[100, 200] = 1
image[200, 100] = 1
image[300, 300] = 1# 显示原始图像
plt.figure(figsize=(5, 5))
plt.scatter([100, 200, 300], [200, 100, 300], color='white', marker='o')
plt.imshow(image, cmap='gray')
plt.title('原始图像', fontsize=15)# 计算距离变换矩阵
dt = DistanceTransform(image)
euclidean_distance_matrix = dt.Euclidean_distance_transform()
manhattan_distance_matrix = dt.D4_distance_transform()
chessboard_distance_matrix = dt.D8_distance_transform()# 输出欧氏、城区和棋盘的距离矩阵
print("欧氏距离的变换矩阵:\n", euclidean_distance_matrix)
print("城区距离的变换矩阵:\n", manhattan_distance_matrix)
print("棋盘距离的变换矩阵:\n", chessboard_distance_matrix)# 可视化距离变换结果
plt.figure(figsize=(15, 5))# 欧氏距离变换
plt.subplot(1, 3, 1)
plt.imshow(euclidean_distance_matrix, cmap='gray')
plt.colorbar(shrink=0.8)
plt.title('欧氏距离', fontsize=15)
plt.axis('off')# 城区距离变换
plt.subplot(1, 3, 2)
plt.imshow(manhattan_distance_matrix, cmap='gray')
plt.colorbar(shrink=0.8)
plt.title('城区距离', fontsize=15)
plt.axis('off')# 棋盘距离变换
plt.subplot(1, 3, 3)
plt.imshow(chessboard_distance_matrix, cmap='gray')
plt.colorbar(shrink=0.8)
plt.title('棋盘距离', fontsize=15)
plt.axis('off')plt.tight_layout()
plt.show()