从零开始傅里叶变换

从零开始傅里叶变换

1 Overview

Motivation:从时域转换到频域。相当于提取了信号的频率特征,可以做进一步的处理和分析。
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对于时域内的一个信号 f ( t ) f(t) f(t) ,可以通过傅里叶变换得到频域函数 F ( ω ) F(\omega) F(ω),同样也可以从频域转化为时域。

傅里叶变换:
F ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) ⋅ e − i ω t d t F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cdot e^{-i\omega t}\text{ d}t F(ω)=f(t)et dt
傅里叶逆变换:
f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e i ω t d ω f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{i\omega t} \text{ d} \omega f(t)=2π1F(ω)et dω

2 傅里叶级数

傅里叶级数:任意周期性函数(波形)都可以表示成多个正余弦函数的线性组合。
f ( t ) = a 0 2 + a 1 cos ⁡ ( ω t ) + b 1 sin ⁡ ( ω t ) + a 2 cos ⁡ ( ω t ) + b 2 sin ⁡ ( ω t ) + ⋯ = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ ( n ω t ) + b n sin ⁡ ( n ω t ) ) \begin{align*} f(t)&=\frac{a_0}{2}+a_1\cos(\omega t)+b_1\sin(\omega t)+a_2\cos(\omega t)+b_2\sin(\omega t)+\cdots\\ &=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(n\omega t)+b_n \sin(n\omega t))\\ \end{align*} f(t)=2a0+a1cos(ωt)+b1sin(ωt)+a2cos(ωt)+b2sin(ωt)+=2a0+n=1(ancos(t)+bnsin(t))
其中
a n = 2 T ∫ t 0 t o + T f ( t ) cos ⁡ ( n ω t ) d t b n = 2 T ∫ t 0 t o + T f ( t ) sin ⁡ ( n ω t ) d t a_n = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_o+T}f(t)\cos(n\omega t)\text{d}t\\ b_n = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_o+T}f(t)\sin(n\omega t)\text{d}t\\ an=T2t0to+Tf(t)cos(t)dtbn=T2t0to+Tf(t)sin(t)dt

2.1 基向量

为什么一个周期性函数(波形)可以表示成多个正余弦函数的线性组合?

  • Recall 空间中的基向量

    • M M M 维空间的任意一个向量都可以表示为该空间的基向量 Q = { q 1 , q 2 , ⋯ , q M } \mathbf Q=\{\mathbf q_1,\mathbf q_2,\cdots,\mathbf q_M\} Q={q1,q2,,qM} 的线性组合: v = x 1 q 1 + x 2 q 2 + ⋯ + x M q M \mathbf v=x_1\mathbf q_1+x_2\mathbf q_2 + \cdots +x_M \mathbf q_M v=x1q1+x2q2++xMqM
    • M M M 个基向量两两正交: q i ⊤ q j = 0 , ( i ≠ j ) \mathbf q_i^\top\mathbf q_j=0,\ \ (i\ne j) qiqj=0,  (i=j)
  • Recall 正交函数

    • 将函数看作向量,连续函数也就是一个维度 M = ∞ M=\infty M= 的向量。即一个在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上有定义的实函数 f ( x ) f(x) f(x) 可以表示为一个 M M M 维的向量 f \mathbf f f f ( x ) = f = ( f ( a ) , f ( a + Δ x ) , f ( a + 2 Δ x ) , ⋯ , f ( a + ( M − 1 ) Δ x ) ) f(x)=\mathbf f = (f(a),f(a+\Delta x),f(a+2\Delta x),\cdots,f(a+(M-1)\Delta x)) f(x)=f=(f(a),f(a+Δx),f(a+x),,f(a+(M1)Δx))。其中 Δ x → 0 \Delta x\to 0 Δx0 b = a + ( M − 1 ) Δ x b=a+(M-1)\Delta x b=a+(M1)Δx

    • 根据上文中提到的

      M M M 维空间的任意一个向量都可以表示为该空间的基向量 Q = { q 1 , q 2 , ⋯ , q M } \mathbf Q=\{\mathbf q_1,\mathbf q_2,\cdots,\mathbf q_M\} Q={q1,q2,,qM} 的线性组合

      那么 f \mathbf f f 可以由 M M M M M M 维的正交向量表示(基向量),找到基向量 g 0 , g 1 , ⋯ , g M − 1 \mathbf g_0, \mathbf g_1,\cdots,\mathbf g_{M-1} g0,g1,,gM1 表示为函数 g 0 , g 1 , ⋯ , g M − 1 g_0,g_1,\cdots,g_{M-1} g0,g1,,gM1
      g 0 = g 0 ( x ) = ( g 0 ( a ) , g 0 ( a + Δ x ) , g 0 ( a + 2 Δ x ) , ⋯ , g 0 ( a + ( M − 1 ) Δ x ) ) g 1 = g 1 ( x ) = ( g 1 ( a ) , g 1 ( a + Δ x ) , g 1 ( a + 2 Δ x ) , ⋯ , g 1 ( a + ( M − 1 ) Δ x ) ) ⋯ g M − 1 = g M − 1 ( x ) = ( g M − 1 ( a ) , g M − 1 ( a + Δ x ) , g M − 1 ( a + 2 Δ x ) , ⋯ , g M − 1 ( a + ( M − 1 ) Δ x ) ) \begin{align*} \mathbf g_0 &= g_0(x)=(g_0(a),g_0(a+\Delta x),g_0(a+2\Delta x),\cdots,g_0(a+(M-1)\Delta x))\\ \mathbf g_1 &= g_1(x)=(g_1(a),g_1(a+\Delta x),g_1(a+2\Delta x),\cdots,g_1(a+(M-1)\Delta x))\\ & \cdots\\ \mathbf g_{M-1} &= g_{M-1}(x)=(g_{M-1}(a),g_{M-1}(a+\Delta x),g_{M-1}(a+2\Delta x),\cdots,g_{M-1}(a+(M-1)\Delta x))\\ \end{align*} g0g1gM1=g0(x)=(g0(a),g0(a+Δx),g0(a+x),,g0(a+(M1)Δx))=g1(x)=(g1(a),g1(a+Δx),g1(a+x),,g1(a+(M1)Δx))=gM1(x)=(gM1(a),gM1(a+Δx),gM1(a+x),,gM1(a+(M1)Δx))
      可以得出 g 0 , g 1 , ⋯ , g M − 1 g_0,g_1,\cdots,g_{M-1} g0,g1,,gM1 是两两正交的函数,也就是: ∫ a b g i ( x ) g j ( x ) d x = 0 , ( i ≠ j ) \int_a^b g_i(x)g_j(x)\text{d}x=0,\ \ (i\ne j) abgi(x)gj(x)dx=0,  (i=j)

      那么 f \mathbf f f 可以由 g 0 , g 1 , ⋯ , g M − 1 g_0,g_1,\cdots,g_{M-1} g0,g1,,gM1 的线性组合来表示:
      f ( x ) = f = a 0 g 0 ( x ) + a 1 g 1 ( x ) + ⋯ + a M − 1 g M − 1 ( x ) f(x)=\mathbf f=a_0g_0(x)+a_1g_1(x)+\cdots+a_{M-1}g_{M-1}(x) f(x)=f=a0g0(x)+a1g1(x)++aM1gM1(x)
      为了求系数 a n a_n an,其中 n = 0 , ⋯ M − 1 n=0,\cdots M-1 n=0,M1,先在两边同时乘上 g n ( x ) g_n(x) gn(x),然后再对 x x x 积分
      ∫ a b f ( x ) g n ( x ) d x = ∫ a b ( a 0 g 0 ( x ) + a 1 g 1 ( x ) + ⋯ + a M − 1 g M − 1 ( x ) ) g n ( x ) d x = ∫ a b a 0 g 0 ( x ) g n ( x ) + a 1 g 1 ( x ) g n ( x ) + ⋯ a n g n ( x ) g n ( x ) + ⋯ + a M − 1 g M − 1 ( x ) g n ( x ) d x = ∫ a b 0 + 0 + ⋯ + a n g n ( x ) g n ( x ) + ⋯ + 0 d x = ∫ a b a n g n ( x ) g n ( x ) d x a n = ∫ a b f ( x ) g n ( x ) d x ∫ a b g n ( x ) g n ( x ) d x \begin{align*} \int_a^b f(x)g_n(x)\text{d} x&=\int_a^b (a_0g_0(x)+a_1g_1(x)+\cdots+a_{M-1}g_{M-1}(x))g_n(x) \text { d} x\\ &=\int_a^ba_0g_0(x)g_n(x)+a_1g_1(x)g_n(x)+\cdots a_ng_n(x)g_n(x)+\cdots+a_{M-1}g_{M-1}(x)g_n(x) \text { d} x\\ &=\int_a^b 0+0+\cdots +a_ng_n(x)g_n(x)+\cdots +0 \text { d} x\\ &=\int_a^b a_n g_n(x)g_n(x)\text { d} x\\ a_n&=\frac{\int_a^b f(x)g_n(x)\text d x}{\int_a^b g_n(x)g_n(x)\text { d} x} \end{align*} abf(x)gn(x)dxan=ab(a0g0(x)+a1g1(x)++aM1gM1(x))gn(x) dx=aba0g0(x)gn(x)+a1g1(x)gn(x)+angn(x)gn(x)++aM1gM1(x)gn(x) dx=ab0+0++angn(x)gn(x)++0 dx=abangn(x)gn(x) dx=abgn(x)gn(x) dxabf(x)gn(x)dx

2.2 三角函数系表示 f ( t ) f(t) f(t)

2.2.1 三角函数系的正交性

  • 三角函数系 1 , cos ⁡ ( ω t ) , sin ⁡ ( ω t ) , cos ⁡ ( 2 ω t ) , sin ⁡ ( 2 ω t ) , ⋯ ⋯ , cos ⁡ ( n ω t ) , sin ⁡ ( n ω t ) , ⋯ ⋯ 1,\cos (\omega t),\sin (\omega t),\cos (2 \omega t),\sin (2 \omega t), \cdots \ \cdots,\cos (n\omega t), \sin (n\omega t), \cdots\ \cdots 1,cos(ωt),sin(ωt),cos(2ωt),sin(2ωt), ,cos(t),sin(t),  就是这样的一组在区间 [ t 1 , t 2 ] [t_1,t_2] [t1,t2] 内两两正交的函数,即上文中的 g 0 ( t ) , g 1 ( t ) , ⋯ , g M − 1 ( t ) g_0(t),g_1(t),\cdots,g_{M-1}(t) g0(t),g1(t),,gM1(t)。这里 ω = 2 π t 2 − t 1 \omega = \frac{2\pi}{t_2-t_1} ω=t2t12π

  • 证明三角函数系确实是两两正交的,这些三角函数可以分为五类: 1 , cos ⁡ ( n ω t ) , cos ⁡ ( m ω t ) , sin ⁡ ( n ω t ) , sin ⁡ ( m ω t ) 1,\cos (n\omega t), \cos (m\omega t),\sin (n\omega t), \sin (m\omega t) 1,cos(t),cos(t),sin(t),sin(t)。这里 n ≠ m n\ne m n=m n , m = 1 , 2 , 3 ⋯ n,m=1,2,3\cdots n,m=1,2,3 即正整数。证明这五类两两正交即可

    • 1 ⊥ cos ⁡ ( n ω t ) : ∫ t 1 t 2 cos ⁡ ( n ω t ) d t = 0 1 \ \ \bot \ \ \cos (n\omega t): \int_{t_1}^{t_2} \cos (n\omega t) \text { d} t=0 1    cos(t):t1t2cos(t) dt=0

      由于 ω = 2 π t 2 − t 1 \omega = \frac{2\pi}{t_2-t_1} ω=t2t12π ,第 n n n 项三角函数 f trg n ( t ) = cos ⁡ ( n ω t ) f^{n}_{\text{trg}}(t)=\cos(n\omega t) ftrgn(t)=cos(t) 的周期 T n = 2 π n ω = t 2 − t 1 n T_n=\frac{2\pi}{n\omega}=\frac{t_2-t_1}{n} Tn=2π=nt2t1,可以得出 t 2 − t 1 = n T n t_2-t_1=nT_n t2t1=nTn,即区间 [ t 1 , t 2 ] [t_1,t_2] [t1,t2] cos ⁡ ( n ω t ) \cos (n\omega t) cos(t) 的周期的整数倍,即 [ t 2 , t 1 ] [t_2,t_1] [t2,t1] 一定是 cos ⁡ ( n ω t ) \cos (n\omega t) cos(t) 的一个周期,即可得出 ∫ t 1 t 2 cos ⁡ ( n ω t ) d t = 0 \int_{t_1}^{t_2} \cos (n\omega t) \text { d} t=0 t1t2cos(t) dt=0

    • 1 ⊥ sin ⁡ ( n ω t ) : ∫ t 1 t 2 sin ⁡ ( n ω t ) d t = 0 1 \ \ \bot \ \ \sin (n\omega t): \int_{t_1}^{t_2} \sin (n\omega t) \text { d} t=0 1    sin(t):t1t2sin(t) dt=0

      类似的,通过区间 [ t 2 , t 1 ] [t_2,t_1] [t2,t1] sin ⁡ ( n ω t ) \sin (n\omega t) sin(t) 的一个周期,可以证明 ∫ t 1 t 2 sin ⁡ ( n ω t ) d t = 0 \int_{t_1}^{t_2} \sin (n\omega t) \text { d} t=0 t1t2sin(t) dt=0

    • sin ⁡ ( n ω t ) ⊥ sin ⁡ ( m ω t ) : ∫ t 1 t 2 sin ⁡ ( n ω t ) sin ⁡ ( m ω t ) d t = 0 \sin (n\omega t) \bot \sin (m\omega t): \int_{t_1}^{t_2}\sin (n \omega t) \sin (m\omega t) \text{ d}t=0 sin(t)sin(t):t1t2sin(t)sin(t) dt=0

      根据积化和差:
      ∫ t 1 t 2 sin ⁡ ( n ω t ) sin ⁡ ( m ω t ) d t = ∫ t 1 t 2 − 1 2 ( cos ⁡ ( n + m ) ω t − cos ⁡ ( n − m ) ω t ) d t = − 1 2 ∫ t 1 t 2 cos ⁡ ( n ′ ω t ) − cos ⁡ ( m ′ ω t d t ) = − 1 2 ( ∫ t 1 t 2 cos ⁡ ( n ′ ω t ) d t − ∫ t 1 t 2 cos ⁡ ( m ′ ω t ) d t ) = 0 \begin{align*} \int_{t_1}^{t_2} \sin (n \omega t) \sin (m\omega t) \text{ d}t&=\int_{t_1}^{t_2} -\frac{1}{2}(\cos(n+m)\omega t-\cos(n-m)\omega t)\text{ d} t\\ &=-\frac{1}{2}\int_{t_1}^{t_2} \cos (n'\omega t)-\cos (m' \omega t \text{ d} t)\\ &=-\frac{1}{2} \left ( \int_{t_1}^{t_2} \cos (n'\omega t)\text{ d} t-\int_{t_1}^{t_2}\cos (m' \omega t) \text{ d} t\right )\\ &=0 \end{align*} t1t2sin(t)sin(t) dt=t1t221(cos(n+m)ωtcos(nm)ωt) dt=21t1t2cos(nωt)cos(mωt dt)=21(t1t2cos(nωt) dtt1t2cos(mωt) dt)=0

    • cos ⁡ ( n ω t ) ⊥ cos ⁡ ( m ω t ) : ∫ t 1 t 2 cos ⁡ ( n ω t ) cos ⁡ ( m ω t ) d t = 0 \cos (n \omega t) \bot \cos (m\omega t): \int_{t_1}^{t_2}\cos (n \omega t) \cos (m\omega t) \text{ d}t=0 cos(t)cos(t):t1t2cos(t)cos(t) dt=0

      类似地,根据积化和差:
      ∫ t 1 t 2 cos ⁡ ( n ω t ) cos ⁡ ( m ω t ) d t = ∫ t 1 t 2 1 2 ( cos ⁡ ( n + m ) ω t + cos ⁡ ( n − m ) ω t ) d t = 1 2 ∫ t 1 t 2 cos ⁡ ( n ′ ω t ) + cos ⁡ ( m ′ ω t ) d t = 1 2 ( ∫ t 1 t 2 cos ⁡ ( n ′ ω t ) d t + ∫ t 1 t 2 cos ⁡ ( m ′ ω t ) d t ) = 0 \begin{align*} \int_{t_1}^{t_2} \cos (n \omega t) \cos (m\omega t) \text{ d}t&=\int_{t_1}^{t_2} \frac{1}{2}(\cos(n+m)\omega t+\cos(n-m)\omega t)\text{ d} t\\ &=\frac{1}{2}\int_{t_1}^{t_2} \cos (n'\omega t)+\cos( m' \omega t) \text{ d} t\\ &=\frac{1}{2} \left ( \int_{t_1}^{t_2} \cos (n'\omega t)\text{ d} t+\int_{t_1}^{t_2}\cos (m' \omega t) \text{ d} t\right )\\ &=0 \end{align*} t1t2cos(t)cos(t) dt=t1t221(cos(n+m)ωt+cos(nm)ωt) dt=21t1t2cos(nωt)+cos(mωt) dt=21(t1t2cos(nωt) dt+t1t2cos(mωt) dt)=0

    • sin ⁡ ( n ω t ) ⊥ cos ⁡ ( m ω t ) : ∫ t 1 t 2 sin ⁡ ( n ω t ) cos ⁡ ( m ω t ) d t = 0 \sin (n \omega t) \bot \cos (m\omega t): \int_{t_1}^{t_2}\sin (n \omega t) \cos (m\omega t) \text{ d}t=0 sin(t)cos(t):t1t2sin(t)cos(t) dt=0 ,此时无需 m ≠ n m\ne n m=n

      由积化和差:
      ∫ t 1 t 2 sin ⁡ ( n ω t ) cos ⁡ ( m ω t ) d t = ∫ t 1 t 2 1 2 ( sin ⁡ ( n + m ) ω t + sin ⁡ ( n − m ) ω t ) d t = 1 2 ∫ t 1 t 2 sin ⁡ ( n ′ ω t ) + sin ⁡ ( m ′ ω t ) d t = 1 2 ( ∫ t 1 t 2 sin ⁡ ( n ′ ω t ) d t + ∫ t 1 t 2 sin ⁡ ( m ′ ω t ) d t ) = 0 \begin{align*} \int_{t_1}^{t_2} \sin (n \omega t) \cos (m\omega t) \text{ d}t&=\int_{t_1}^{t_2} \frac{1}{2}(\sin(n+m)\omega t+\sin(n-m)\omega t)\text{ d} t\\ &=\frac{1}{2}\int_{t_1}^{t_2} \sin (n'\omega t)+\sin (m' \omega t) \text{ d} t\\ &=\frac{1}{2} \left ( \int_{t_1}^{t_2} \sin (n'\omega t)\text{ d} t+\int_{t_1}^{t_2}\sin (m' \omega t) \text{ d} t\right )\\ &=0 \end{align*} t1t2sin(t)cos(t) dt=t1t221(sin(n+m)ωt+sin(nm)ωt) dt=21t1t2sin(nωt)+sin(mωt) dt=21(t1t2sin(nωt) dt+t1t2sin(mωt) dt)=0

  • 也就是说三角函数系有正交性,也就是一个在 [ t 1 , t 2 ] [t_1,t_2] [t1,t2] 有定义的 f ( t ) f(t) f(t),可以表示为
    f ( t ) = a 0 + a 1 cos ⁡ ( ω t ) + b 1 sin ⁡ ( ω t ) + ⋯ + a n cos ⁡ ( n ω t ) + b n sin ⁡ ( n ω t ) + ⋯ = a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ ( n ω t ) + b n sin ⁡ ( n ω t ) ) \begin{align*} f(t)&=a_0+a_1\cos (\omega t)+b_1\sin(\omega t)+\cdots+a_n\cos (n \omega t)+b_n\sin (n\omega t)+\cdots \\ &=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos (n\omega t)+b_n\sin (n\omega t)) \end{align*} f(t)=a0+a1cos(ωt)+b1sin(ωt)++ancos(t)+bnsin(t)+=a0+n=1(ancos(t)+bnsin(t))

2.2.2 三角函数系的系数

如何求得表示 f ( t ) f(t) f(t) 的三角函数系的系数?

  • 那么接下来需要求得 f ( t ) f(t) f(t) 函数的系数。与上文的正交函数类似,与正交函数中的系数 a n a_n an 相比,此处有三处系数 a 0 , a n a_0,a_n a0,an b n b_n bn (此时 n > 0 n>0 n>0

    • 首先求 a 0 a_0 a0 的值,对 t t t 求积分:
      ∫ t 1 t 2 f ( t ) d t = ∫ t 1 t 2 ( a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ ( n ω ) t + b n sin ⁡ ( n ω t ) ) d t ) d t = ∫ t 1 t 2 a 0 d t + 0 = ( t 2 − t 1 ) a 0 a 0 = 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) d t = 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ cos ⁡ ( 0 ω t ) d t \begin{align*} \int_{t_1}^{t_2}f(t)\text{ d}t&=\int_{t_1}^{t_2}\left (a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos (n\omega )t+b_n\sin (n\omega t))\text{ d}t\right )\text{ d}t\\ &=\int_{t_1}^{t_2}a_0\text{ d}t+0\\ &=(t_2-t_1)a_0\\ a_0 &=\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\text{ d}t\\ &=\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \cos (0\omega t) \text{ d}t \end{align*} t1t2f(t) dta0=t1t2(a0+n=1(ancos()t+bnsin(t)) dt) dt=t1t2a0 dt+0=(t2t1)a0=t2t11t1t2f(t) dt=t2t11t1t2f(t)cos(0ωt) dt

    • 为了求系数 a n / b n a_n/b_n an/bn,为等式两边乘上 a n / b n a_n/b_n an/bn 的对应项 cos ⁡ n ω t / sin ⁡ n ω t \cos n\omega t/\sin n\omega t cost/sint 再求积分,去掉值为0的正交项,只留下 m = n m=n m=n 时的 cos ⁡ / sin ⁡ ) \cos/\sin) cos/sin) 项。为区分符号设定此时 ω = 2 π t 2 − t 1 \omega=\frac{2\pi}{t_2-t_1} ω=t2t12π
      ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ cos ⁡ ( m ω t ) d t = a 0 ∫ t 1 t 2 cos ⁡ ( m ω t ) d t + ∑ n = 1 ∞ ( a n ∫ t 1 t 2 cos ⁡ ( m ω t ) ⋅ cos ⁡ ( n ω t ) d t + b n ∫ t 1 t 2 cos ⁡ ( m ω t ) ⋅ sin ⁡ ( n ω t ) d t ) = 0 + a n ∫ t 1 t 2 cos ⁡ 2 ( n ω t ) d t + 0 \begin{align*} \int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \cos (m\omega t) \text{ d}t&=a_0\int_{t_1}^{t_2} \cos (m\omega t) \text{ d}t + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\int_{t_1}^{t_2} \cos (m\omega t)\cdot \cos (n\omega t)\text{ d} t+b_n \int_{t_1}^{t_2} \cos (m\omega t)\cdot\sin (n\omega t)\text{ d}t\right )\\ &= 0 + a_n \int_{t_1}^{t_2} \cos^2 (n\omega t)\text{ d}t + 0 \end{align*} t1t2f(t)cos(t) dt=a0t1t2cos(t) dt+n=1(ant1t2cos(t)cos(t) dt+bnt1t2cos(t)sin(t) dt)=0+ant1t2cos2(t) dt+0
      利用倍角公式 cos ⁡ 2 α = 2 cos ⁡ 2 α − 1 \cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1 cos2α=2cos2α1,得到:
      ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ cos ⁡ ( n ω t ) d t = a n ∫ t 1 t 2 cos ⁡ 2 ( n ω t ) d t = a n 2 ∫ t 1 t 2 ( 1 + cos ⁡ ( 2 n ω t ) ) d t = a n 2 ( ∫ t 1 t 2 1 d t + ∫ t 1 t 2 cos ⁡ ( n ′ ω t ) d t ) = a n ( t 2 − t 1 ) 2 a n = 2 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ cos ⁡ ( n ω t ) d t \begin{align*} \int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \cos (n\omega t) \text{ d}t &= a_n \int_{t_1}^{t_2} \cos^2 (n\omega t)\text{ d}t\\ &=\frac{a_n}{2}\int_{t_1}^{t_2}(1+\cos (2n\omega t))\text{ d}t\\ &=\frac{a_n}{2}\left(\int_{t_1}^{t_2}1\text{ d}t+\int_{t_1}^{t_2}\cos (n'\omega t) \text{ d}t\right)\\ &=\frac{a_n(t_2-t_1)}{2}\\ a_n&=\frac{2}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \cos (n\omega t) \text{ d}t \end{align*} t1t2f(t)cos(t) dtan=ant1t2cos2(t) dt=2ant1t2(1+cos(2t)) dt=2an(t1t21 dt+t1t2cos(nωt) dt)=2an(t2t1)=t2t12t1t2f(t)cos(t) dt

    • 同理,利用倍角公式 cos ⁡ 2 α = 1 − 2 sin ⁡ 2 α \cos 2\alpha = 1-2\sin^2\alpha cos2α=12sin2α,可得
      ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ sin ⁡ ( m ω t ) d t = a 0 ∫ t 1 t 2 sin ⁡ ( m ω t ) d t + ∑ n = 1 ∞ ( a n ∫ t 1 t 2 sin ⁡ ( m ω t ) ⋅ cos ⁡ ( n ω t ) d t + b n ∫ t 1 t 2 sin ⁡ ( m ω t ) ⋅ sin ⁡ ( n ω t ) d t ) = 0 + b n ∫ t 1 t 2 sin ⁡ 2 ( n ω t ) d t + 0 = b n 2 ∫ t 1 t 2 ( 1 − cos ⁡ ( 2 n ω t ) ) d t = b n 2 ( ∫ t 1 t 2 1 d t − ∫ t 1 t 2 cos ⁡ ( n ′ ω t ) d t ) = b n ( t 2 − t 1 ) 2 b n = 2 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ sin ⁡ ( n ω t ) d t \begin{align*} \int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \sin (m\omega t) \text{ d}t&=a_0\int_{t_1}^{t_2} \sin (m\omega t) \text{ d}t + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\int_{t_1}^{t_2} \sin (m\omega t)\cdot \cos (n\omega t)\text{ d} t+b_n \int_{t_1}^{t_2} \sin (m\omega t)\cdot\sin (n\omega t)\text{ d}t\right )\\ &= 0 + b_n \int_{t_1}^{t_2} \sin^2 (n\omega t)\text{ d}t + 0\\ &=\frac{b_n}{2}\int_{t_1}^{t_2}(1-\cos (2n\omega t))\text{ d}t\\ &=\frac{b_n}{2}\left(\int_{t_1}^{t_2}1\text{ d}t-\int_{t_1}^{t_2}\cos (n'\omega t) \text{ d}t\right)\\ &=\frac{b_n(t_2-t_1)}{2}\\ b_n&=\frac{2}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \sin (n\omega t) \text{ d}t \end{align*} t1t2f(t)sin(t) dtbn=a0t1t2sin(t) dt+n=1(ant1t2sin(t)cos(t) dt+bnt1t2sin(t)sin(t) dt)=0+bnt1t2sin2(t) dt+0=2bnt1t2(1cos(2t)) dt=2bn(t1t21 dtt1t2cos(nωt) dt)=2bn(t2t1)=t2t12t1t2f(t)sin(t) dt
      对比 a 0 , a n a_0,a_n a0,an b n b_n bn ,为了能使 n n n 也能表示 n = 0 n=0 n=0 的情况,令 a 0 = 2 a 0 a_0=2a_0 a0=2a0。此时我们可以得到
      f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ ( n ω t ) + b n sin ⁡ ( n ω t ) ) a 0 = 2 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) d t a n = 2 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ cos ⁡ ( n ω t ) d t b n = 2 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ sin ⁡ ( n ω t ) d t \begin{align*} f(t)&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left (a_n\cos(n\omega t)+b_n \sin(n\omega t)\right )\\ a_0&=\frac{2}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t) \text{ d}t\\ a_n&=\frac{2}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \cos (n\omega t) \text{ d}t \\ b_n&=\frac{2}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \sin (n\omega t) \text{ d}t \end{align*} f(t)a0anbn=2a0+n=1(ancos(t)+bnsin(t))=t2t12t1t2f(t) dt=t2t12t1t2f(t)cos(t) dt=t2t12t1t2f(t)sin(t) dt

至此傅里叶级数可以将任意一个周期函数 f ( t ) f(t) f(t) 分解为多个三角函数的组合,从而完成时域到频域的转换。而傅里叶级数是处理周期函数的,为了处理非周期的普通函数,需要把周期 T T T 2 π 2\pi 2π 趋向于无穷,也就是傅里叶变换。

2.3 复指数函数系表示 f ( t ) f(t) f(t)

2.3.1 复指数函数系的系数

在傅里叶变换之前,我们使用一个更加简单直观的表示,将傅里叶的三角函数形式转化为傅里叶的复指数形式。由欧拉公式 e i θ = cos ⁡ ( θ ) + i sin ⁡ ( θ ) e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta) eiθ=cos(θ)+isin(θ) 可得:
cos ⁡ ( n ω t ) = 1 2 ( e i n ω t + e − i n ω t ) sin ⁡ ( n ω t ) = 1 2 i ( e i n ω t − e − i n ω t ) = − i 2 ( e i n ω t − e − i n ω t ) \begin{align*} \cos(n\omega t)&=\frac{1}{2}(e^{in\omega t}+e^{-in\omega t})\\ \sin(n\omega t)&=\frac{1}{2i}(e^{in\omega t}-e^{-in\omega t})=-\frac{i}{2}(e^{in\omega t}-e^{-in\omega t}) \end{align*} cos(t)sin(t)=21(einωt+einωt)=2i1(einωteinωt)=2i(einωteinωt)
代入 f ( x ) f(x) f(x)
f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n 2 ( e i n ω t + e − i n ω t ) − i b n 2 ( e i n ω t − e − i n ω t ) ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n − i b n 2 e i n ω t + a n + i b n 2 e − i n ω t ) \begin{align*} f(t)&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left (\frac{a_n}{2}(e^{in\omega t}+e^{-in\omega t})-\frac{ib_n}{2} (e^{in\omega t}-e^{-in\omega t})\right )\\ &=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega t} +\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-in\omega t}\right) \end{align*} f(t)=2a0+n=1(2an(einωt+einωt)2ibn(einωteinωt))=2a0+n=1(2anibneinωt+2an+ibneinωt)
重新求系数:
a n − i b n 2 = 1 t 2 − t 1 ( ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ cos ⁡ ( n ω t ) d t − i ⋅ ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ sin ⁡ ( n ω t ) d t ) = 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ ( cos ⁡ ( n ω t ) − i ⋅ sin ⁡ ( n ω t ) ) d t = 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ ( 1 2 ( e i n ω t + e − i n ω t ) − i ⋅ 1 2 i ( e i n ω t − e − i n ω t ) ) d t = 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ e − i n ω t d t a n + i b n 2 = 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ e i n ω t d t \begin{align*} \frac{a_n-ib_n}{2}&=\frac{1}{t_2-t_1}\left (\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \cos (n\omega t) \text{ d}t-i\cdot \int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \sin (n\omega t) \text{ d}t\right )\\ &=\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot(\cos (n\omega t)-i\cdot\sin(n\omega t))\text{ d}t\\ &=\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot\left (\frac{1}{2}(e^{in\omega t}+e^{-in\omega t})-i\cdot\frac{1}{2i}(e^{in\omega t}-e^{-in\omega t})\right)\text{ d}t\\ &=\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot e^{-in\omega t}\text{ d}t\\ \frac{a_n+ib_n}{2}&=\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot e^{in\omega t}\text{ d}t \end{align*} 2anibn2an+ibn=t2t11(t1t2f(t)cos(t) dtit1t2f(t)sin(t) dt)=t2t11t1t2f(t)(cos(t)isin(t)) dt=t2t11t1t2f(t)(21(einωt+einωt)i2i1(einωteinωt)) dt=t2t11t1t2f(t)einωt dt=t2t11t1t2f(t)einωt dt
代入 f ( t ) f(t) f(t) ,为了区分,将原系数 a 0 , a n a_0,a_n a0,an b n b_n bn 中的 t t t 表示为 τ \tau τ 。可得:
f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( ( 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( τ ) ⋅ e − i n ω τ d τ ) e i n ω t + ( 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( τ ) ⋅ e i n ω τ d τ ) e − i n ω t ) = a 0 2 + 1 t 2 − t 1 ∑ n = 1 ∞ ( ∫ t 1 t 2 f ( τ ) ⋅ e − i n ω τ d τ ) e i n ω t + 1 t 2 − t 1 ∑ n = 1 ∞ ( ∫ t 1 t 2 f ( τ ) ⋅ e i n ω τ d τ ) e − i n ω t = 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( τ ) d τ + 1 t 2 − t 1 ∑ n = 1 ∞ ( ∫ t 1 t 2 f ( τ ) ⋅ e − i n ω τ d τ ) e i n ω t + 1 t 2 − t 1 ∑ n = − ∞ − 1 ( ∫ t 1 t 2 f ( τ ) ⋅ e − i n ω τ d τ ) e i n ω t = 1 t 2 − t 1 ∑ n = − ∞ ∞ ( ∫ t 1 t 2 f ( τ ) ⋅ e − i n ω τ d τ ) e i n ω t = ∑ n = − ∞ ∞ c n e i n ω t c n = 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( τ ) ⋅ e − i n ω τ d τ \begin{align*} f(t)&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left(\left(\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(\tau)\cdot e^{-in\omega \tau}\text{ d}\tau\right)e^{in\omega t} +\left(\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(\tau)\cdot e^{in\omega \tau}\text{ d}\tau\right)e^{-in\omega t}\right)\\ &=\frac{a_0}{2}+\frac{1}{t_2-t_1}\sum_{n=1}^\infty \left(\int_{t_1}^{t_2}f(\tau)\cdot e^{-in\omega \tau}\text{ d}\tau \right)e^{in\omega t}+\frac{1}{t_2-t_1}\sum_{n=1}^\infty \left(\int_{t_1}^{t_2}f(\tau)\cdot e^{in\omega \tau}\text{ d}\tau \right)e^{-in\omega t}\\ &=\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(\tau) \text{ d}\tau+\frac{1}{t_2-t_1}\sum_{n=1}^\infty \left(\int_{t_1}^{t_2}f(\tau)\cdot e^{-in\omega \tau}\text{ d}\tau \right)e^{in\omega t}+\frac{1}{t_2-t_1}\sum_{n=-\infty}^{-1} \left(\int_{t_1}^{t_2}f(\tau)\cdot e^{-in\omega \tau}\text{ d}\tau \right)e^{in\omega t}\\ &=\frac{1}{t_2-t_1}\sum_{n=-\infty}^\infty \left(\int_{t_1}^{t_2}f(\tau)\cdot e^{-in\omega \tau}\text{ d}\tau \right)e^{in\omega t}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{in\omega t}\\ c_n&=\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(\tau)\cdot e^{-in\omega \tau}\text{ d}\tau \end{align*} f(t)cn=2a0+n=1((t2t11t1t2f(τ)einωτ dτ)einωt+(t2t11t1t2f(τ)einωτ dτ)einωt)=2a0+t2t11n=1(t1t2f(τ)einωτ dτ)einωt+t2t11n=1(t1t2f(τ)einωτ dτ)einωt=t2t11t1t2f(τ) dτ+t2t11n=1(t1t2f(τ)einωτ dτ)einωt+t2t11n=1(t1t2f(τ)einωτ dτ)einωt=t2t11n=(t1t2f(τ)einωτ dτ)einωt=n=cneinωt=t2t11t1t2f(τ)einωτ dτ
也就是将 f ( t ) f(t) f(t) 看作基向量 e i n ω t e^{in\omega t} einωt 的线性组合。同样,此时傅里叶级数可以将任意一个周期函数 f ( x ) f(x) f(x) 分解为多个复指数形式的组合,从而完成时域到频域的转换。

2.3.2 复指数函数系的正交性

证明 e i n ω t e^{in\omega t} einωt 确实可以作为基向量,即证明复指数函数系的正交性,即证明对于 n ≠ m n\ne m n=m ,相对应的复指数内积 ⟨ e i n ω t , e i m ω t ⟩ = 0 \left \langle e^{in\omega t},e^{im\omega t} \right \rangle=0 einωt,eimωt=0。注意两个复函数内积时要对一个求共轭,即 ⟨ f , g ⟩ : = ∫ a b f ( t ) g ( t ) ‾ d t \left \langle f,g\right \rangle:=\int_a^b f(t)\overline{g(t)}\text{ d}t f,g:=abf(t)g(t) dt
⟨ e i n ω t , e i m ω t ⟩ = ∫ t 1 t 2 e i n ω t ⋅ e − i m ω t d t = ∫ t 1 t 2 e i ω t ( n − m ) d t = 1 i ω ( n − m ) e i ω t ( n − m ) ∣ t 1 t 2 = 1 i ω ( n − m ) ( e i ω ( n − m ) t 2 − e i ω ( n − m ) t 1 ) \begin{align*} \left \langle e^{in\omega t},e^{im\omega t} \right \rangle&=\int_{t_1}^{t_2} e^{in\omega t}\cdot e^{-im\omega t} \text{ d}t\\ &=\int_{t_1}^{t_2} e^{i\omega t(n-m)} \text{ d}t\\ &=\frac{1}{i\omega(n-m)}e^{i\omega t(n-m)}\bigg|_{t_1}^{t_2}\\ &=\frac{1}{i\omega(n-m)}\left (e^{i\omega (n-m)t_2}-e^{i\omega (n-m)t_1}\right) \end{align*} einωt,eimωt=t1t2einωteimωt dt=t1t2et(nm) dt=(nm)1et(nm) t1t2=(nm)1(e(nm)t2e(nm)t1)
由于 f cplx n ( t ) = e i n ω t f^{n}_{\text{cplx}}(t)=e^{in\omega t} fcplxn(t)=einωt 的周期 T n = 2 π n ω = t 2 − t 1 n T_n=\frac{2\pi}{n\omega}=\frac{t_2-t_1}{n} Tn=2π=nt2t1 ,可以得出 t 2 − t 1 = n T n t_2-t_1=nT_n t2t1=nTn,即区间 [ t 1 , t 2 ] [t_1,t_2] [t1,t2] f cplx n ( t ) f^{n}_{\text{cplx}}(t) fcplxn(t) 的周期的整数倍,即 [ t 2 , t 1 ] [t_2,t_1] [t2,t1] 一定是 f cplx n ( t ) f^{n}_{\text{cplx}}(t) fcplxn(t) 的一个周期,即 f cplx n ( t 1 ) = f cplx n ( t 2 ) f^{n}_{\text{cplx}}(t_1)=f^{n}_{\text{cplx}}(t_2) fcplxn(t1)=fcplxn(t2),那么当 n = n − m = n ′ n=n-m=n' n=nm=n 时:
⟨ e i n ω t , e i m ω t ⟩ = 1 i ω ( n − m ) ( e i ω n ′ t 2 − e i ω n ′ t 1 ) = 1 i ω ( n − m ) ( f cplx n ′ ( t 2 ) − f cplx n ′ ( t 1 ) ) = 1 i ω ( n − m ) ⋅ 0 = 0 \begin{align*} \left \langle e^{in\omega t},e^{im\omega t} \right \rangle&=\frac{1}{i\omega(n-m)}\left (e^{i\omega n't_2}-e^{i\omega n't_1}\right)\\ &=\frac{1}{i\omega(n-m)}\left (f^{n'}_{\text{cplx}}(t_2)-f^{n'}_{\text{cplx}}(t_1)\right)\\ &=\frac{1}{i\omega(n-m)}\cdot 0\\ &=0 \end{align*} einωt,eimωt=(nm)1(ent2ent1)=(nm)1(fcplxn(t2)fcplxn(t1))=(nm)10=0

2.4 傅里叶级数总结

至此我们得到了周期性信号 f ( t ) f(t) f(t) 的三角函数系表示:
f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ ( n ω t ) + b n sin ⁡ ( n ω t ) ) a 0 = 2 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) d t a n = 2 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ cos ⁡ ( n ω t ) d t b n = 2 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ sin ⁡ ( n ω t ) d t \begin{align*} f(t)&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left (a_n\cos(n\omega t)+b_n \sin(n\omega t)\right )\\ a_0&=\frac{2}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t) \text{ d}t\\ a_n&=\frac{2}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \cos (n\omega t) \text{ d}t \\ b_n&=\frac{2}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \sin (n\omega t) \text{ d}t \end{align*} f(t)a0anbn=2a0+n=1(ancos(t)+bnsin(t))=t2t12t1t2f(t) dt=t2t12t1t2f(t)cos(t) dt=t2t12t1t2f(t)sin(t) dt
和复指数函数系表示:
f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n e i n ω t c n = 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 f ( τ ) ⋅ e − i n ω τ d τ \begin{align*} f(t) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{in\omega t}\\ c_n&=\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(\tau)\cdot e^{-in\omega \tau}\text{ d}\tau \end{align*} f(t)cn=n=cneinωt=t2t11t1t2f(τ)einωτ dτ
其中 t 2 − t 1 t_2-t_1 t2t1 f ( t ) f(t) f(t) 的一个周期, ω = 2 π t 2 − t 1 \omega=\frac{2\pi}{t_2-t_1} ω=t2t12π

3 傅里叶变换

此时的傅里叶级数只是针对周期性函数的,即转换为频域时,频率的个数是有限多个,即频域图是离散的。傅里叶变换就是将傅里叶级数推广到一般的非周期性函数。

接下来对复指数形式的傅里叶级数进行一个从离散到连续的过程,即将傅里叶级数扩展到非周期性函数(周期无限大的函数)中。这里要用到黎曼积分的定义。此时 ω = 2 π t 2 − t 1 \omega=\frac{2\pi}{t_2-t_1} ω=t2t12π, 当周期 t 2 − t 1 → ∞ t_2-t_1\to\infty t2t1 时, ω → 0 \omega \to 0 ω0。此时我们令:
ω n = n ω = 2 π n t 2 − t 1 F ( ω ) = ∫ t 1 t 2 f ( τ ) ⋅ e − i ω τ d τ \begin{align*} \omega_n&=n\omega=\frac{2\pi n}{t_2-t_1}\\ F(\omega)&=\int_{t_1}^{t_2}f(\tau)\cdot e^{-i\omega \tau}\text{ d}\tau \end{align*} ωnF(ω)==t2t12πn=t1t2f(τ)eτ dτ
那么 f ( t ) f(t) f(t) 可以写成:
f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ 1 t 2 − t 1 F ( ω n ) e i ω n t \begin{align*} f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{t_2-t_1}F(\omega_n)e^{i\omega_n t} \end{align*} f(t)=n=t2t11F(ωn)eiωnt
根据积分的黎曼和表达式 :
∫ a b f riman ( x ) d x = lim ⁡ λ → 0 ∑ n = 0 ∞ f riman ( x n ) ⋅ λ \int_a^bf_{\text{riman}}(x)\text{ d}x = \underset{\lambda\to 0}{\lim}\sum_{n=0}^{\infty}f_{\text{riman}}(x_n)\cdot \lambda abfriman(x) dx=λ0limn=0friman(xn)λ
则对于 f ( t ) f(t) f(t) 来说:
f riman ( ω ) = F ( ω ) e i ω t λ = Δ ω = ω n − ω n − 1 = 2 π n t 2 − t 1 − 2 π ( n − 1 ) t 2 − t 1 = 2 π t 2 − t 1 \begin{align*} f_{\text{riman}}(\omega)&=F(\omega)e^{i\omega t}\\ \lambda & = \Delta \omega= \omega_n-\omega_{n-1}=\frac{2\pi n}{t_2-t_1} - \frac{2\pi (n-1)}{t_2-t_1}=\frac{2\pi}{t_2-t_1} \end{align*} friman(ω)λ=F(ω)et=Δω=ωnωn1=t2t12πnt2t12π(n1)=t2t12π
因此可以将 f ( t ) f(t) f(t) 写成
f ( t ) = 1 2 π ∑ n = − ∞ ∞ 2 π t 2 − t 1 F ( ω n ) e i ω n t = 1 2 π ∑ n = − ∞ ∞ λ ⋅ f riman ( ω n ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f riman ( ω ) d ω = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e i ω t d ω \begin{align*} f(t)&=\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{2\pi}{t_2-t_1}F(\omega_n)e^{i\omega_n t}\\ &= \frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\lambda \cdot f_{\text{riman}}(\omega_n)\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f_{\text{riman}}(\omega) \text{ d} \omega\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{i\omega t} \text{ d} \omega \end{align*} f(t)=2π1n=t2t12πF(ωn)eiωnt=2π1n=λfriman(ωn)=2π1friman(ω) dω=2π1F(ω)et dω
此时周期 t 2 − t 1 → ∞ t_2-t_1\to\infty t2t1,这就是傅里叶变换:
F ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) ⋅ e − i ω t d t F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cdot e^{-i\omega t}\text{ d}t F(ω)=f(t)et dt
和傅里叶逆变换:
f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e i ω t d ω f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{i\omega t} \text{ d} \omega f(t)=2π1F(ω)et dω

参考资料:

深入理解正交函数 https://zhuanlan.zhihu.com/p/338045910

傅里叶分析之掐死教程 https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358

三角函数和 e i k x e^{ikx} eikx的正交性 https://zhuanlan.zhihu.com/p/597931378

如何理解傅里叶变换公式?https://www.zhihu.com/question/19714540/answer/1119070975

傅里叶变换 https://zhuanlan.zhihu.com/p/104079068

浅谈傅里叶变换:关于傅里叶变换的几种几何学解释 https://mp.weixin.qq.com/s/rkDrHrTJwAbGL0znvnk_pA

傅里叶系列(二)傅里叶变换的推导 https://zhuanlan.zhihu.com/p/41875010

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