本论文解决的问题

1. 量化数据价值（机器学习模型训练中各个数据点的贡献）

2. 避免数据价值受到其所处数据集的影响，使数据点的估值更加稳定、一致

变量假设

假设 D 表示一个在全集 Z 上的数据分布。对于监督学习问题，我们通常认为 Z = X × Y，其中 X 是特征空间的一个子集，Y 是输出，它可以是离散的或连续的。

S 是从 D 中独立同分布抽取的 k 个数据点的集合。

简写：[m]={1, …, m}，k ∼ [m] 表示从 [m] 中均匀随机抽取的样本。

U 表示一个取值在 [0, 1] 上的潜在函数（potential function）或性能度量（performance metric）。在本文的背景下，认为 U 表示学习算法（learning algorithm）和评估指标（evaluation metric）。对于任何 S ⊆ Z，U(S) 表示集合 S 的价值。

Data Shapley

ϕ ( z ; U , B ) = 1 m ∑ k = 1 m ( m − 1 k − 1 ) − 1 ∑ S ⊆ B \ { z } ∣ S ∣ = k − 1 ( U ( S ∪ { z } ) − U ( S ) ) \phi(z ; U, B)=\frac{1}{m} \sum_{k=1}^m\binom{m-1}{k-1}^{-1} \sum_{\substack{S \subseteq B \backslash\{z\} \\|S|=k-1}}(U(S \cup\{z\})-U(S)) ϕ(z;U,B)=m1​k=1∑m​(k−1m−1​)−1S⊆B\{z}∣S∣=k−1​∑​(U(S∪{z})−U(S))

解释如下：

• $\varphi (z;U,B)$ ：表示数据点 $z$ 在数据集 $B$ 中的 data Shapley 值。
• $m$ ：数据集 $B$ 中数据点的总数。
• $U$ ：势函数或性能度量，用于评估数据集的价值或模型的性能。
• $S$ ：数据集 $B$ 的任意子集，不包含点 $z$。
• $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-1}{k-1}\right)$ : 是从 $m-1$ 个数据点中选择 $k-1$ 个数据点的组合数，作为权重。
• ∑ S ⊆ B \ { z } ∣ S ∣ = k − 1 \sum_{\substack{S \subseteq B \backslash\{z\} \\|S|=k-1}} ∑S⊆B\{z}∣S∣=k−1​​ ：求和符号，表示遍历所有可能的子集 $S$ ，这些子集是从 $B$ 中除去 $z$ 后剩余的数据点中选取 $k-1$ 个数据点形成的。

上式为 Data Shapley 值的定义，只是改变 Data Shapley: Equitable Valuation of Data for Machine Learning 中公式的形式。
ϕ i = C ∑ S ⊆ D − { i } V ( S ∪ { i } ) − V ( S ) ( n − 1 ∣ S ∣ ) \phi_i=C \sum_{S \subseteq D-\{i\}} \frac{V(S \cup\{i\})-V(S)}{\left(\begin{array}{c}n-1 \\ |S|\end{array}\right)} ϕi​=CS⊆D−{i}∑​(n−1∣S∣​)V(S∪{i})−V(S)​
计算差别体现在：D-Shapley 论文中每种 |S| 集合情况下，因为权重相同，所以先求和再乘上权重 $C_{n-1}^{k-1}$，然后求和，最后乘上 $1/m$​​ 权重。Data Shapley 论文中，是对于每种 |S| 情况，计算边际贡献后，就乘上对应的两个权重。

Distributional Shapley Value

Distributional Shapley Value 中数据点 $z$ 的数据价值为：

ν ( z ; U , D , m ) ≜ E B ∼ D m − 1 [ ϕ ( z ; U , B ∪ { z } ) ] \nu(z ; U, \mathcal{D}, m) \triangleq \underset{B \sim \mathcal{D}^{m-1}}{\mathbf{E}}[\phi(z ; U, B \cup\{z\})] ν(z;U,D,m)≜B∼Dm−1E​[ϕ(z;U,B∪{z})]​

上式中的 ϕ ( z ; U , B ∪ { z } ) \phi(z ; U, B \cup\{z\}) ϕ(z;U,B∪{z}) 可视为一个随机变量。其中，数据集 $B$ 为从分布 $D$ 中随机抽取的，包含 𝑚−1 个数据点的数据集。因为每次抽样会得到不同的数据集 $B$，从而导致 Data Shapley 值的不同结果，但是通过期望就能考虑所有可能的数据集的平均情况，求出数据点的价值。

下面的公式提供了 D-Shapley 值的一个等价表述。
ν ( z ; U , D , m ) = E D ∼ D m − 1 [ ϕ ( z ; U , D ∪ { z } ) ] = E D ∼ D m − 1 [ 1 m ∑ k = 1 m 1 ( m − 1 k − 1 ) ∑ S ⊆ D : ∣ S ∣ = k − 1 ( U ( S ∪ { z } ) − U ( S ) ) ] = 1 m ∑ k = 1 m 1 ( m − 1 k − 1 ) E D ∼ D m − 1 [ ∑ S ⊆ D : ∣ S ∣ = k − 1 ( U ( S ∪ { z } ) − U ( S ) ) ] = 1 m ∑ k = 1 m E S ∼ D k − 1 [ U ( S ∪ { z } ) − U ( S ) ] = E k ∼ [ m ] S ∼ D k − 1 [ U ( S ∪ { z } ) − U ( S ) ] \begin{aligned} & \nu(z ; U, \mathcal{D}, m)=\underset{D \sim \mathcal{D}^{m-1}}{\mathbf{E}}[\phi(z ; U, D \cup\{z\})] \\ & =\underset{D \sim \mathcal{D}^{m-1}}{\mathbf{E}}\left[\frac{1}{m} \sum_{k=1}^m \frac{1}{\binom{m-1}{k-1}} \sum_{\substack{S \subseteq D: \\ |S|=k-1}}(U(S \cup\{z\})-U(S))\right] \\ & =\frac{1}{m} \sum_{k=1}^m \frac{1}{\binom{m-1}{k-1}} \underset{D \sim \mathcal{D}^{m-1}}{\mathbf{E}}\left[\sum_{\substack{S \subseteq D: \\ |S|=k-1}}(U(S \cup\{z\})-U(S))\right] \\ & =\frac{1}{m} \sum_{k=1}^m \underset{S \sim \mathcal{D}^{k-1}}{\mathbf{E}}[U(S \cup\{z\})-U(S)] \\ & =\underset{\substack{k \sim[m] \\ S \sim \mathcal{D}^{k-1}}}{\mathbf{E}}[U(S \cup\{z\})-U(S)] \\ & \end{aligned} ​ν(z;U,D,m)=D∼Dm−1E​[ϕ(z;U,D∪{z})]=D∼Dm−1E​ ​m1​k=1∑m​(k−1m−1​)1​S⊆D:∣S∣=k−1​∑​(U(S∪{z})−U(S)) ​=m1​k=1∑m​(k−1m−1​)1​D∼Dm−1E​ ​S⊆D:∣S∣=k−1​∑​(U(S∪{z})−U(S)) ​=m1​k=1∑m​S∼Dk−1E​[U(S∪{z})−U(S)]=k∼[m]S∼Dk−1​E​[U(S∪{z})−U(S)]​

首先 $k$ 是从集合 $[m]$ 中进行均匀随机抽样，然后对从分布 $D$ 中随机抽取的 $k-1$ 个数据点构成的数据集 $S$，进行期望计算，最后得到的是添加数据点 $z$ 到 $S$ 后性能度量函数 $U$​ 变化量的期望。