14天阅读挑战赛

前言

这篇文章是《趣学算法》的读书笔记，也对数据结构与算法的初步介绍，阅读这篇文章，我会带你改进一个算法。

一 几类时间复杂度

常见的算法时间复杂度有以下几类。

1. 常数阶。
   常数阶算法的运行次数是一个常数，如5、20、100。常数阶算法的时间复杂度通常用O(1)表示。
2. 多项式阶
   很多算法的时间复杂度是多项式，通常用O(n)、O(n²)、0(n³)等表示。
3. 指数阶
   指数阶算法的运行效率极差，程序员往往像躲“恶魔”一样避开这种算法。指数阶算法的时间复杂度通常用O(2ⁿ)、O(n!)、O(nⁿ)等表示。
4. 对数阶
   对数阶算法的运行效率较高，通常用O(logn)、O(nlogn)等表示。
   指数阶增量随着x的增加而急剧增加，而对数阶增长缓慢。它们之间的关系如下:

O(1)< O(logn)< O(n)< O(nlogn) <O(n²)< O(n³)<O(2ⁿ) <O(n!)< O(nⁿ)

在设计算法时，我们要注意算法复杂度增量的问题，尽量避免爆炸级增量。

二 兔子数列

假设第1个月有1对初生的兔子，第2个月进入成熟期，第3个月开始生育兔子，而1对成熟的兔子每月会生1对兔子，兔子永不死去… .那么，由1对初生的兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢?

兔子数列即斐波那契数列，它的发明者是意大利数学家莱奥纳尔多斐波那契(Leonardo Fibonacci, 1170-1250) 。1202年， 莱奥纳尔多撰写了《算盘全书》 (Liber Abaci) ,该书是一部较全面的初等数学著作。书中系统地介绍了印度一阿拉伯数码及 其演算法则，以及中国的“盈不足术”;此外还引入了负数，并研究了一些简单的一次同余式组。

1.问题分析

• 不妨拿新出生的1对小兔子分析。
  第1个月，小兔子①没有繁殖能力，所以还是1对。
  第2个月，小兔子①进入成熟期，仍然是1对。
  第3个月，兔子①生了1对小兔子②,于是这个共有2 (1+1=2) 对兔子。
  第4个月，兔子①又生了1对小兔子③，因此共有3 (1+2=3) 对兔子。
  第5个月，兔子①又生了1对小兔子④，而在第3个月出生的兔子②也生下了1对小兔子⑤，因此共有5 (2+3=5) 对兔子。
  第6个月，兔子①②③各生下了1对小兔子，新生的3对兔子加上原有的5对兔子，这个月共有8 (3+5=8) 对兔子。

• 可以画图理解一下
  

• 如此一来，我们可以设计第一种算法

2.方法1

//算法1
int Fib1(int n){if(n==1||n==2)   return 1;return Fib1(n-1)+Fib1(n-2);
}

• 但是，这个算法的时间复杂度是指数阶的，需要进行改进

3.方法2

• 要计算第n个数，我们需要知道前两项的值，不妨用数组试试。将n前面的数据都记录在数组里

int Fib2(int n){  int *F=new int[n+1];//定义一个长度为n+1的数组，空间尚未使用F[1]=1；F[2]=1;for(int i=3;i<=n;i++)F[i]=F[i-1]+F[i-2];return F[n];
}

• 如此一来，算法的时间复杂度变成了O(N)，空间复杂度也是O(N)。
  还能改进么？

4.方法3

• 其实我们只需要记录n前面的两项就可以了，为什么不用替换的方法呢？只需要定义三个变量，让他们不停的互换、相加不就行么

int Fib3(int n){if(n==1||n==2)   return 1;int s1=1; //用s1和s2记录前面的两项int s2=1;for(int i=3;i<=n;i++){int tmp=s1+s2;s1=s2;s2=tmp;}return s2;
}

• 如此一来，空间复杂度还是O(N)，但是空间复杂度变成了O(1).

最后

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