回顾

• 结点的度：结点所拥有子树的个数。
• 树的度：树中所有结点的度的最大值。
• 叶结点：度为零的结点。
• 分支结点：度不为零的结点。
• 树的深度：树中所有结点层次的最大值，也称为树的高度。

二叉树：每个结点最多有两棵子树的有序树。注意：

• 二叉树的度只能是0、1或2。
• 二叉树是有序树，左、右子树有次序。

二叉树的五个重要性质

1. 非空二叉树上的叶结点数等于双分支结点数加1，即：[ n_0 = n_2 + 1 ]
2. 非空二叉树的第( i )（( i \geq 1 )）层上最多有( 2^i - 1 )个结点。
3. 深度为( h )（( h \geq 1 )）的非空二叉树最多有( 2^h - 1 )个结点。
4. 具有( n )（( n > 0 )）个结点的完全二叉树的深度。
5. ( n )个结点的完全二叉树，按从上至下，从左至右的次序对结点编号，则编号为( i )的结点有以下性质：
   • 若编号为( i )的结点满足：( \lfloor n/2 \rfloor \leq i \leq n )，则该结点为分支结点；否则为叶子结点。
   • 若( n )为奇数，则每个分支结点既有左孩子又有右孩子；若( n )为偶数，则编号最大的分支结点（编号为( n/2 )）只有左孩子，没有右孩子，其余分支结点都有左、右孩子。

提要

• 二叉树的遍历顺序。
• 二叉树的遍历算法。
• 二叉树的创建。
• 二叉树遍历的应用。

二叉树的遍历

• 遍历：按一定次序访问二叉树中的每个结点，且每个结点仅被访问一次。不要将整棵树看成是由多个结点组成，而要看成是由根、左子树、右子树组成。
• 遍历的顺序：
  • 前序遍历（根 -> 左子树 -> 右子树）
  • 中序遍历（左子树 -> 根 -> 右子树）
  • 后序遍历（左子树 -> 右子树 -> 根）
  • 层次遍历：从上至下，每层从左至右的顺序进行遍历（不常用）。

二叉树遍历流程图

前序遍历流程图（根左右）

中序遍历流程图（左根右）

后序遍历流程图（左右根）

二叉树遍历的示例

以下是使用Mermaid表示法表示的二叉树结构：

遍历序列：

• 前序：ABDFCEH
• 中序：BFDGAEHC
• 后序：FDGBEHCA

根据遍历序列确定二叉树的形态

• 由任意一个遍历序列均不能唯一确定一颗二叉树。
• 只有知道中序和后序，或中序和前序遍历序列才能唯一确定一颗二叉树。

确定方法

由前序（或后序）遍历序列确定树或子树的根；
再由中序遍历序列确定根的左子树和右子树的范围。

二叉树遍历算法

以下是前序遍历的遍历过程和代码示例：
若二叉树非空，则按以下次序进行（递归）遍历：
访问根结点；
前序遍历根结点的左子树；
前序遍历根结点的右子树。

void PreOrder(BTNode *root) {if (root != NULL) {cout << root->data; // 访问根PreOrder(root->left);  // 前序遍历左子树PreOrder(root->right); // 前序遍历右子树}
}

类似地，中序遍历和后序遍历的代码分别为：
中序遍历
若二叉树非空，则按以下次序进行（递归）遍历：
中序遍历根结点的左子树；
访问根结点；
中序遍历根结点的右子树。

后序遍历
若二叉树非空，则按以下次序进行（递归）遍历：
后序遍历根结点的左子树；
后序遍历根结点的右子树；
访问根结点。

void InOrder(BTNode *root) {if (root != NULL) {InOrder(root->left);   // 中序遍历左子树cout << root->data;   // 访问根InOrder(root->right);  // 中序遍历右子树}
}void PostOrder(BTNode *root) {if (root != NULL) {PostOrder(root->left);  // 后序遍历左子树PostOrder(root->right); // 后序遍历右子树cout << root->data;    // 访问根}
}

二叉树遍历的应用

• 建立二叉树

  • 以二叉树的前序遍历序列建立二叉树
  • 如果遍历序列中没有指明空指针的位置，则需要“前序遍历序列+中序遍历序列”或“中序遍历序列+后序遍历序列”才能建立一棵树。
  • 如果在前序遍历序列中以 # 号表明空指针的位置，则只需要一个前序遍历序列就可以建立这棵树。
  • 
  • 根据前序遍历序列：ABC##DE#G##F###创建二叉树的过程。
  • 

• 统计二叉树中结点总数

• 计算二叉树深度

• 查找二叉树中值为item的结点

• 清空二叉树

二叉树遍历的应用代码示例

统计二叉树中结点总数

左子树结点数 + 右子树结点数 + 1（根结点）

struct BTNode {char data;BTNode *left, *right;
};int BTreeCount(BTNode *root) {if (root == NULL) return 0;return 1 + BTreeCount(root->left) + BTreeCount(root->right);
}

计算二叉树深度

左、右子树中深度较大的子树深度 + 1（根结点）

int BTreeDepth(BTNode *root) {if (root == NULL) return 0;int leftDepth = BTreeDepth(root->left);int rightDepth = BTreeDepth(root->right);return (leftDepth > rightDepth ? leftDepth : rightDepth) + 1;
}

查找二叉树中值为item的结点

先找根，再找左子树，最后找右子树。

BTNode* FindBTree(BTNode *root, char item) {if (root == NULL || root->data == item) return root;if (item < root->data) return FindBTree(root->left, item);else return FindBTree(root->right, item);
}

清空二叉树

释放二叉树中所有结点

void ClearBTree(BTNode *&root) {if (root != NULL) {ClearBTree(root->left);ClearBTree(root->right);delete root;root = NULL;}
}

根据前序遍历序列（带空指针）创建二叉树的过程

void CreateBTree_Pre(BTNode *&root) {char item;cin >> item;if (item == '#') {root = NULL;} else {root = new BTNode;root->data = item;CreateBTree_Pre(root->left);CreateBTree_Pre(root->right);}
}

总结

• 二叉树的三种遍历算法。
• 根据前序（后序）+ 中序遍历序列确定二叉树的形态。
• 根据前序遍历序列（带空指针）创建二叉树的过程。
• 结合二叉树的遍历，求解实际问题。