三、基本操作
文章目录
- 三、基本操作
- 1.图的遍历
- 1.1 深度优先遍历DFS
- 1.1.1 DFS算法
- 1.1.2 DFS算法的性能分析
- 1.1.3 深度优先的生成树和生成森林
- 1.2 广度优先遍历BFS
- 1.2.1 BFS算法
- 1.2.2 BFS算法性能分析
- 1.2.3 广度优先的生成树和生成森林
- 1.3 图的遍历与图的连通性
1.图的遍历
图的遍历是和树的遍历类似,我们希望从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点,且使每一个顶点仅被访问一次, 这一过程就叫做图的遍历(Traversing Graph)。
对于图的遍历来,通常有两种遍历次序方案:
- 深度优先遍历
- 广度优先遍历
1.1 深度优先遍历DFS
深度优先遍历(Depth First Search),也有称为深度优先搜索,简称为DFS。
1.1.1 DFS算法
深度优先搜索类似于树的先序遍历。如其名称中所暗含的意思一样,这种搜索算法所遵循的搜索策略是尽可能“深”地搜索一个图,每次都尝试向更深的节点走。它的基本思想如下:
首先访问图中某一起始顶点v,然后由v出发,访问与v邻接且未被访问的任一顶点w1,再访问与 w1 邻接且未被访问的任一顶点…重复上述过程。当不能再继续向下访问时,依次退回到最近被访问的顶点,若它还有邻接顶点未被访问过,则从该点开始继续上述搜索过程,直至图中所有顶点均被访问过为止。
先序遍历:12563478
DFS 最显著的特征在于其 递归调用自身。同时与 BFS 类似,DFS 会对其访问过的点打上访问标记,在遍历图时跳过已打过标记的点,以确保 每个点仅访问一次。符合以上两条规则的函数,便是广义上的 DFS。算法过程如下:
bool visited[MAX_VERTEX_NUM]; //访问标记数组//从顶点出发,深度优先遍历图G
void DFS(Graph G, int v){visit(v); //访问顶点visited[v] = TRUE; //设已访问标记//FirstNeighbor(G,v):求图G中顶点v的第一个邻接点,若有则返回顶点号,否则返回-1。//NextNeighbor(G,v,w):假设图G中顶点w是顶点v的一个邻接点,返回除w外顶点vfor(int w = FirstNeighbor(G, v); w>=0; w=NextNeighor(G, v, w)){if(!visited[w]){ //w为v的尚未访问的邻接顶点DFS(G, w);//递归}}
}
但是如果是非连通图,那么就不能从一个结点遍历所有的结点。这个时候需要添加一个函数来寻找没被访问的结点。
//深度遍历算法final
bool visited[MAX_VERTEX_NUM]; //访问标记数组//从顶点出发,深度优先遍历图G
void DFS(Graph G, int v){visit(v); //访问顶点visited[v] = TRUE; //设已访问标记//FirstNeighbor(G,v):求图G中顶点v的第一个邻接点,若有则返回顶点号,否则返回-1。//NextNeighbor(G,v,w):假设图G中顶点w是顶点v的一个邻接点,返回除w外顶点vfor (int w = FirstNeighbor(G, v); w>=0; w=NextNeighor(G, v, w)){if (!visited[w]){ //w为v的尚未访问的邻接顶点DFS(G, w);//递归}}
}//对图进行深度优先遍历
void DFSTraverse(MGraph G){for (int v=0; v<G.vexnum; v++){visited[v] = FALSE; //初始化已访问标记数据}for (int v=0; v<G.vexnum; v++){ //从v=0开始遍历if(!visited[v]){DFS(G, v);}}
}
1.1.2 DFS算法的性能分析
空间复杂度:DFS算法是一个递归算法,需要借助一个递归工作栈。最坏情况是 O(|V|)。
时间复杂度:
- 邻接矩阵:需要访问|V|个结点,然后查找|V|个结点的邻接点|V|个,那么时间复杂度为 O(|V|+|V|2)。
O(|V|2) - 邻接表:需要访问|V|个结点,然后查找每个结点的邻接点总共需要O(2|E|)时间,那么时间复杂度为 O(|V|+2|E|)。
O(|V|+|E|)
1.1.3 深度优先的生成树和生成森林
对一个图进行所有结点的遍历,那么在这个遍历过程中不是所有的边都被用到:
**【注意】**1. 从不同的点出发,得到的遍历序列不一样;即使从同一个点出发,也可能得到不同的遍历序列。
- 因为邻接矩阵的表示方式是唯一的,所以DFS算法得到的遍历序列是唯一的。但是因为单链表的表示方式不是唯一的,所以DFS算法得到的遍历序列不是唯一的。
当图里面有多个连通分量,那么就会有多个生成树,这时候这些树就组成一个生成森林。
1.2 广度优先遍历BFS
广度优先遍历(Breadth First Search),又称为广度优先搜索,简称BFS。
1.2.1 BFS算法
如果说图的深度优先遍历类似树的前序遍历,那么图的广度优先遍历就类似于树的层序遍历了。
广度优先搜索是一种分层的查找过程,每向前走一步可能访问一批顶点,不像深度优先搜索那样有往回退的情况,因此它不是一个递归的算法。为了实现逐层的访问,算法必须借助一个辅助队列,以记忆正在访问的顶点的下一层顶点。
以下是广度优先遍历的代码:
从结点v出发遍历:
//邻接矩阵的广度遍历算法。从结点v出发遍历
void BFS(MGraph G, int v){Queue Q;//把所有结点全部标记为false,表示没有访问过for(int i = 0; i<G.numVertexes; i++){visited[i] = FALSE;}InitQueue(&Q); //初始化一辅助用的队列visit(v); //访问顶点vivited[v] = TRUE; //设置当前访问过EnQueue(&Q, v); //将此顶点入队列//若当前队列不为空while(!QueueEmpty(Q)){DeQueue(&Q, &v); //顶点v出队列//FirstNeighbor(G,v):求图G中顶点v的第一个邻接点,若有则返回顶点号,否则返回-1。//NextNeighbor(G,v,w):假设图G中顶点w是顶点v的一个邻接点,返回除w外顶点v//把出队结点的相邻的所有结点入队for(int w=FirstNeighbor(G, v); w>=0; w=NextNeighbor(G, v, w)){//检验v的所有邻接点if(!visited[w]){visit(w); //访问顶点wvisited[w] = TRUE; //访问标记EnQueue(&Q, w); //顶点w入队列}//if}//for}//while
}
但是如果是非连通图,那么就不能从一个结点遍历所有的结点。这个时候需要添加一个函数来寻找没被访问的结点。
//邻接矩阵的广度遍历算法final
void BFSTraverse(MGraph G){int i, j;Queue Q;//把所有结点全部标记为false,表示没有访问过for(i = 0; i<G.numVertexes; i++){visited[i] = FALSE;}InitQueue(&Q); //初始化一辅助用的队列for(i=0; i<G.numVertexes; i++){ //这里是从0开始//若是未访问过就处理if(!visited[i]){//下面的部分相当于前面写的BFS(G, v);visit(i); //访问顶点vivited[i] = TRUE; //设置当前访问过EnQueue(&Q, i); //将此顶点入队列//若当前队列不为空while(!QueueEmpty(Q)){DeQueue(&Q, &i); //顶点i出队列//FirstNeighbor(G,v):求图G中顶点v的第一个邻接点,若有则返回顶点号,否则返回-1。//NextNeighbor(G,v,w):假设图G中顶点w是顶点v的一个邻接点,返回除w外顶点v//把出队结点的相邻的所有结点入队for(j=FirstNeighbor(G, i); j>=0; j=NextNeighbor(G, i, j)){//检验v的所有邻接点if(!visited[j]){visit(j); //访问顶点jvisited[j] = TRUE; //访问标记EnQueue(Q, j); //顶点j入队列}//if}//for}//while}//if}//for
}
下面的部分相当于前面写的BFS(G, v);,所以还有一种写法是把BFSTraverse 和 BFS分开。
//对非连通图的广度遍历算法final
void BFSTraverse(MGraph G){Queue Q;InitQueue(&Q); //初始化一辅助用的队列int i;//把所有结点全部标记为false,表示没有访问过for(i=0; i<G.numVertexes; i++){visited[i] = FALSE;}for(i=0; i<G.numVertexes; i++){ //这里是从0开始//若是未访问过就处理if(!visited[i]){BFS(G, i); //调用BFS函数}//if}//for
}void BFS(MGraph G, int v){visit(v); //访问顶点vivited[v] = TRUE; //设置当前访问过EnQueue(&Q, v); //将此顶点入队列//若当前队列不为空while(!QueueEmpty(Q)){DeQueue(&Q, &v); //顶点i出队列//FirstNeighbor(G,v):求图G中顶点v的第一个邻接点,若有则返回顶点号,否则返回-1。//NextNeighbor(G,v,w):假设图G中顶点w是顶点v的一个邻接点,返回除w外顶点v//把出队结点的相邻的所有结点入队for(w=FirstNeighbor(G, v); w>=0; w=NextNeighbor(G, v, w)){//检验v的所有邻接点if(!visited[w]){visit(w); //访问顶点wvisited[w] = TRUE; //访问标记EnQueue(Q, w); //顶点w入队列}//if}//for}//while
}
对于无向图,调用BFS函数的次数 = 连通分量。
1.2.2 BFS算法性能分析
空间复杂度:最坏情况是当所有结点都连在第一个结点上,辅助队列大小为 O(|V|)。
时间复杂度:
- 邻接矩阵:需要访问|V|个结点,然后查找|V|个结点的邻接点|V|个,那么时间复杂度为 O(|V|+|V|2)。
O(|V|2) - 邻接表:需要访问|V|个结点,然后查找每个结点的邻接点总共需要O(2|E|)时间,那么时间复杂度为 O(|V|+2|E|)。
O(|V|+|E|)
1.2.3 广度优先的生成树和生成森林
对一个图进行所有结点的遍历,那么在这个遍历过程中不是所有的边都被用到:
【注意】因为邻接矩阵的表示方式是唯一的,所以BFS算法得到的遍历序列是唯一的。但是因为单链表的表示方式不是唯一的,所以BFS算法得到的遍历序列不是唯一的。
当图里面有多个连通分量,那么就会有多个生成树,这时候这些树就组成一个生成森林。
1.3 图的遍历与图的连通性
图的遍历算法可以用来判断图的连通性。
-
对于无向图进行BFS/DFS遍历。
调用BFS/DFS函数的次数 = 连通分量数。
- 若是连通图的,则从任一结点出发, 仅需一次遍历就能够访问图中的所有顶点,只需调用1次BFS/DFS。
- 若是非连通的,则从某一个顶点出发,一次遍历只能访问到该顶点所在连通分量的所有顶点,而对于图中其他连通分量的顶点,则无法通过这次遍历访问。
-
对于有向图进行BFS/DFS遍历。
调用BFS/DFS函数的次数要具体问题具体分析- 若起始顶点到其他各顶点都有路径,则只需调用1次BFS/DFS函数,对于强连通图,从任一结点出发都只需调用1次BFS/DFS。
- 但是从起始顶点不能到达所有结点,那么需要调用多次BFS/DFS。