三种常见的移动底盘运动学模型分析

前言

一、四轮差速运动模型

二、麦克纳姆轮运动学模型

三、两轮差速运动学模型

总结

前言

现在大三暑假，开学就要着手准备毕设了，接手了实验室师兄的激光SLAM小车项目，先从下位机学起，争取把整个项目接受下来，有所收获有所创新。

这篇是在学习代码过程中，对四轮差速小车、麦克纳姆轮小车以及两轮差速小车运动学模型的学习总结。

一、四轮差速运动模型

符号说明：

在四轮差速模型中，前轮和后轮的速度是同步的，这里以底盘几何中心COG沿y轴方向上的点ICR作为整个底盘进行圆周运动时的圆心，ICR和COG的距离大小与圆周运动角速度大小有关。

公式推导：

绕圆心做圆周运动的物体，其线速度v、角速度w和圆周半径d满足w=v/d。因此可以建立底盘中的约束关系：

$\omega _c=\frac{v_c}{d_c}$

假设线 $d_{c}$ 与y轴的夹角为,可以对上式进行变形，结果如下所示：

$\omega _c=\frac{v_c}{d_c}=\frac{v_c\cos \alpha _c}{d_c\cos \alpha _c}=\frac{v_{cx}}{d_{cy}}$

$\omega _c=\frac{v_c}{d_c}=\frac{v_c\sin \alpha _c}{d_c\sin \alpha _c}=\frac{v_{cy}}{d_{cx}}$

刚体旋转时，各个位置的角速度与质心处的角速度是一样的，即四个轮子绕ICR旋转的角速度也是 $\omega _{c}$ 。按照上式推理，同样可以得到以下约束关系式：

$\omega _c=\frac{v_i}{d_i}=\frac{v_i\cos \alpha _i}{d_i\cos \alpha _i}=\frac{v_{ix}}{d_{ix}}$

$\omega _c=\frac{v_i}{d_i}=\frac{v_i\sin \alpha _i}{d_i\sin \alpha _i}=\frac{v_{iy}}{d_{iy}}$

同时， $d_{i}$ 与 $d_{c}$ 在x轴和y轴上的投影长度满足下式关系：

$d_{1y}=d_{2y}=d_{cy}-\frac{c}{2}$

$d_{3y}=d_{4y}=d_{cy}+\frac{c}{2}$

当四轮差速底盘设定的左轮、游轮速度分别为 $v_{l}$ 和 $v_{r}$ ，且前轮、后轮速度严格同步时，有下式所示关系:

$v_l=v_{1x}=v_{2x}$

$v_r=v_{3x}=v_{4x}$

综合上式可以得到以下结果：

$v_l=v_{1x}=v_{2x}=\omega _c\left( d_{cy}-\frac{c}{2} \right) =v_{cx}-\omega _c\cdot \frac{c}{2}$

$v_r=v_{3x}=v_{4x}=\omega _c\left( d_{cy}+\frac{c}{2} \right) =v_{cx}+\omega _c\cdot \frac{c}{2}$

将上式整理后，得到四轮差速底盘的前向运动学关系：

$\left[ \begin{array}{c} v_{cx}\\ \omega _z\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{c}& \frac{1}{c}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} v_l\\ v_r\\ \end{array} \right]$

参考博客：移动机器人运动模型（两轮、四轮、麦克纳姆轮和概率运动）_anthony-36的博客-CSDN博客_移动机器人运动模型

二、麦克纳姆轮运动学模型

已知车中心的xy方向线速度 $v_{tx}$ 、 $v_{ty}$ 和角速度 $\omega$ ，可以计算出每个轮子的中心速度：

$\vec{v}=\vec{v}_t+\vec{v}_r=\vec{v}_t+\vec{\omega}\times \vec{r}$

那么轮子中心的xy方向速度分量为：

$v_x=v_{tx}-v_{rx}=v_{tx}-v_r\cos \theta =v_{tx}-v_r\frac{r_y}{r}=v_{tx}-\omega r_y$

$v_y=v_{ty}+v_{ry}=v_{ty}+v_r\sin \theta =v_{ty}+v_r\frac{r_x}{r}=v_{ty}+\omega r_x$

根据轮子中心的速度，可以分解为沿辊子方向速度和垂直辊子方向速度，垂直辊子方向速度可以不记， $\underset{u}{\rightarrow}$ 是沿辊子方向的单位向量（投影），可以得到：

$\vec{v}_{||}=\vec{v}\cdot \vec{u}$

辊子方向与x轴方向夹角为45°，则单位向量可以表示为：

$\vec{u}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{i}+\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{j}$

则有：

$v_{||}=\vec{v}\cdot \vec{u}=\left( \vec{v}_x\vec{i}+\vec{v}_y\vec{j} \right) \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{i}+\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{j} \right)$

化简后得到：

$\vec{v}_{||}=-\frac{1}{\sqrt{2}}v_x+\frac{1}{\sqrt{2}}v_y$

然后从与地面接触的辊子速度到轮子线转速：

$v_v=v_{||}\cdot \sqrt{2}=-v_x+v_y$

代入上述 $v_{x}$ 、 $v_{y}$ 计算公式得：

$v_v=-\left( v_{tx}-\omega r_y \right) +\left( v_{ty}+\omega r_x \right) =v_{ty}-v_{tx}+\omega \left( r_x+r_y \right)$

依次可得四个轮子的计算公式：

$\left\{ \begin{array}{l} v_{v1}=v_{ty}-v_{tx}+\omega \left( r_x+r_b \right)\\ v_{v2}=v_{ty}+v_{tx}-\omega \left( r_x+r_b \right)\\ v_{v3}=v_{ty}-v_{tx}-\omega \left( r_x+r_b \right)\\ v_{v4}=v_{ty}+v_{tx}+\omega \left( r_x+r_b \right)\\ \end{array} \right.$