1.不定积分
常见不定积分公式
1.不定积分2大类题型:
1.不定积分计算
2.不定积分杂例
若 f f f在区间 I I I上连续,则 f f f在区间 I I I上一定有原函数。
若 f f f在区间 I I I上有第一类间断点,则 f f f在 I I I上没有原函数。
2.不定积分性质:
3.不定积分计算方法:
1.第一类换元
2.第二类换元(三角代换)
3.分部积分法
无法进行积分的积分:
∫ e − x 2 d x \int e^{-x^2} dx ∫e−x2dx、 ∫ sin x x d x \int \frac{\sin x}{x} dx ∫xsinxdx、 ∫ cos x x d x \int \frac{\cos x}{x} dx ∫xcosxdx
tan 2 x = 2 tan x 1 − ( tan 2 x ) \tan 2x=\frac{2\tan x}{1-(\tan^2 x)} tan2x=1−(tan2x)2tanx
题型:已知 F ( x ) , f ( x ) F(x),f(x) F(x),f(x),求 f ( x ) f(x) f(x)
2.定积分
1.定积分4大类题型:
1.定积分的概念、性质及几何意义
2.定积分计算
3.变上限定积分函数及其应用
4.积分不等式
2.定积分概念、几何意义
3.定积分的存在性
4.定积分的计算
5.变上限积分函数及应用
6.定积分的性质
中值定理应用1
中值定理应用2
中值定理应用3(求极限)
定积分计算
原函数不好找到时:
区间不动,令 t = a + b − x t=a+b-x t=a+b−x
变上限积分函数及其应用
概念题1
概念题2
概念题3
变上限积分求极限解法:
1.传统方法(洛必达)
2.等价代换
3.积分中值定理
例题
反函数:
g ( f ( x ) ) = x g(f(x))=x g(f(x))=x
反函数相关积分例题
3.反常积分
常用反常积分的判别敛散性公式:
应用实例:
∫ 0 1 x l n P x d x { P > 0 收 敛 } \int_{0}^{1} xln^Pxdx \begin{Bmatrix}P>0 收敛 \\ \end{Bmatrix} ∫01xlnPxdx{P>0收敛}
∫ 0 1 l n P x d x { P > 0 收 敛 } \int_{0}^{1} ln^Pxdx \begin{Bmatrix}P>0 收敛 \\ \end{Bmatrix} ∫01lnPxdx{P>0收敛}
比较判别法
小的发散,大的一定发散。
大的收敛,小的一定收敛。
P级数/P积分(无限区间):
∫ a + ∞ 1 x P d x ( a > 0 ) { P > 1 收 敛 P ≤ 1 发 散 } \int_{a}^{+\infty } \frac{1}{x^P}dx(a>0)\begin{Bmatrix}P>1 收敛 \\P\le 1 发散 \end{Bmatrix} ∫a+∞xP1dx(a>0){P>1收敛P≤1发散}
瑕点在区间中间,分成左右两段,左右极限都存在,才收敛。
q积分(有限区间):
∫ a b 1 x P d x { P < 1 收 敛 P ≥ 1 发 散 } \int_{a}^{b } \frac{1}{x^P}dx\begin{Bmatrix}P<1 收敛 \\P\ge 1 发散 \end{Bmatrix} ∫abxP1dx{P<1收敛P≥1发散}
无限区间P比1越大越收敛,有限区间P比1越小越收敛。