高等数学强化3:一元函数积分学 P积分

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1.不定积分

常见不定积分公式

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1.不定积分2大类题型:

1.不定积分计算
2.不定积分杂例

f f f在区间 I I I上连续,则 f f f在区间 I I I上一定有原函数。
f f f在区间 I I I上有第一类间断点,则 f f f I I I上没有原函数。

2.不定积分性质:

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3.不定积分计算方法:

1.第一类换元
2.第二类换元(三角代换)
3.分部积分法
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无法进行积分的积分:
∫ e − x 2 d x \int e^{-x^2} dx ex2dx ∫ sin ⁡ x x d x \int \frac{\sin x}{x} dx xsinxdx ∫ cos ⁡ x x d x \int \frac{\cos x}{x} dx xcosxdx
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tan ⁡ 2 x = 2 tan ⁡ x 1 − ( tan ⁡ 2 x ) \tan 2x=\frac{2\tan x}{1-(\tan^2 x)} tan2x=1(tan2x)2tanx

题型:已知 F ( x ) , f ( x ) F(x),f(x) F(x),f(x),求 f ( x ) f(x) f(x)

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2.定积分

1.定积分4大类题型:

1.定积分的概念、性质及几何意义
2.定积分计算
3.变上限定积分函数及其应用
4.积分不等式

2.定积分概念、几何意义

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3.定积分的存在性

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4.定积分的计算

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5.变上限积分函数及应用

6.定积分的性质

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中值定理应用1在这里插入图片描述

中值定理应用2在这里插入图片描述

中值定理应用3(求极限)

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定积分计算

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原函数不好找到时:

区间不动,令 t = a + b − x t=a+b-x t=a+bx

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变上限积分函数及其应用

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概念题1

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概念题2

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概念题3

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变上限积分求极限解法:

1.传统方法(洛必达)
2.等价代换
3.积分中值定理

例题

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反函数:

g ( f ( x ) ) = x g(f(x))=x g(f(x))=x
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反函数相关积分例题

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3.反常积分

常用反常积分的判别敛散性公式:

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应用实例:

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∫ 0 1 x l n P x d x { P > 0 收 敛 } \int_{0}^{1} xln^Pxdx \begin{Bmatrix}P>0 收敛 \\ \end{Bmatrix} 01xlnPxdx{P>0}
∫ 0 1 l n P x d x { P > 0 收 敛 } \int_{0}^{1} ln^Pxdx \begin{Bmatrix}P>0 收敛 \\ \end{Bmatrix} 01lnPxdx{P>0}
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比较判别法

小的发散,大的一定发散。
大的收敛,小的一定收敛。
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P级数/P积分(无限区间):

∫ a + ∞ 1 x P d x ( a > 0 ) { P > 1 收 敛 P ≤ 1 发 散 } \int_{a}^{+\infty } \frac{1}{x^P}dx(a>0)\begin{Bmatrix}P>1 收敛 \\P\le 1 发散 \end{Bmatrix} a+xP1dx(a>0){P>1P1}
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瑕点在区间中间,分成左右两段,左右极限都存在,才收敛
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q积分(有限区间):

∫ a b 1 x P d x { P < 1 收 敛 P ≥ 1 发 散 } \int_{a}^{b } \frac{1}{x^P}dx\begin{Bmatrix}P<1 收敛 \\P\ge 1 发散 \end{Bmatrix} abxP1dx{P<1P1}
无限区间P比1越大越收敛,有限区间P比1越小越收敛。
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