一. 三角函数的定义

正弦函数, 余弦函数, 正切函数都是以角为自变量, 以单位圆上的坐标或坐标的比值为函数值的函数, 我们将他们称为三角函数

$\sin$ $\alpha$ = y
$\cos$ $\alpha$ = x
$\tan$ $\alpha$ = $\frac{y}{x}$

正弦函数: y=$\sin$ x \quad x$\in$R
余弦函数: y=$\cos$ x \quad x$\in$R
正切函数: y=$\tan$ x \quad x $\ne$ $\frac{\pi }{2}$+kπ (k$\in$Z) \quad 因为y=$\tan$ $\frac{\pi }{2}$ = $\frac{1}{0}$

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例题1: 求$\frac{5\pi }{3}$的正弦, 余弦, 正切值

$\sin$$\frac{5\pi }{3}$ = $\sin$(-$\frac{\pi }{3}$) = -$\frac{\sqrt[]{3}}{2}$

$\cos$$\frac{5\pi }{3}$ = $\cos$(-$\frac{\pi }{3}$) = $\frac{1}{2}$

$\tan$$\frac{5\pi }{3}$ = $-\sqrt[]{3}$

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二.象限角的三角函数符号

所在象限为正, 由以下得来

三.诱导公式一

可以这样理解诱导公式就是把大角变小角

$\sin$($\alpha$+ 2kπ) = $\sin$$\alpha$, k$\in$Z
$\cos$($\alpha$+ 2kπ) = $\cos$$\alpha$, k$\in$Z
$\tan$($\alpha$+ 2kπ) = $\tan$$\alpha$, k$\in$Z

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例题2: $\sin$(-315°) = _____
$\sin$(-315°) = $\sin$(-315°+2π) = $\sin$(45°) = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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例题3: 在平面直角坐标系xoy中, 角$\alpha$与角$\beta$均以Ox为始边,他们的终边关于x轴对称, 若$\sin$$\alpha$ = $\frac{1}{5}$, 则$\sin$$\beta$ = _____
答案: -$\frac{1}{5}$

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例题4: 已知$\sin$$\alpha$>0, $\cos$$\alpha$<0, 则角$\alpha$是在第几象限?
答案: 第二象限

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例题5: 已知角$\theta$终边上一点P(x,3)(x$\ne$ 0), 且$\cos$$\theta$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$ x, 求$\sin$$\theta$______ 和$\tan$$\theta$______
解: $\cos$$\theta$ = $\frac{x}{\sqrt{9+x^2}}$ = $\frac{\sqrt{10}}{10}$x
解得: x= $\pm$ 1
$\sin$$\theta$ = $\frac{3\sqrt{10}}{10}$
$\tan$$\theta$ = $\pm$ 3

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四. 三角函数重要公式

$\sin$B = $\frac{b}{a}$

$\cos$B = $\frac{c}{a}$

$\tan$B = $\frac{b}{c}$

${\sin }^2$B + ${\cos }^2$B = $\frac{b^2}{a^2}$+$\frac{c^2}{a^2}$ = $\frac{b^2+c^2}{a^2}$ = 1

$\frac{\sin B}{\cos B}$ = $\frac{b}{a}$ / $\frac{c}{a}$ = $\frac{b}{c}$ = $\tan$B

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由此诞生两个重要公式

${\sin }^2$$\alpha$ + ${\cos }^2$$\alpha$ = 1	$\tan$$\alpha$ = $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ \quad ($\alpha$ $\ne$ $\frac{\pi }{2}$+kπ (k$\in$Z)

根据上面这两个公式推导$\cos \alpha$ 与 $\tan \alpha$的关系式
将$\sin \alpha$ = $\tan \alpha$ $\cos$$\alpha$ 代入 ${\sin }^2$$\alpha$ + ${\cos }^2$$\alpha$ = 1
${\tan }^2$$\alpha$${\cos }^2$$\alpha$ + ${\cos }^2$$\alpha$ = 1
${\cos }^2$$\alpha$(${\tan }^2$$\alpha$+1) = 1

${\cos }^2$$\alpha$ = $\frac{1}{{\tan }^2\alpha +1}$

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例题6: $\sin$$\alpha$ = $\frac{1}{3}$, 并且$\alpha$是第二象限角, 求$\cos$$\alpha$, $\tan$$\alpha$的值
解: ${\sin }^2$$\alpha$ + ${\cos }^2$$\alpha$ = 1
$\sin$$\alpha$ = $\frac{1}{3}$代入得 $\frac{1}{9}$ + ${\cos }^2$$\alpha$ = 1

解得$\cos$$\alpha$ = - $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
$\tan$$\alpha$ = -$\frac{\sqrt{2}}{4}$

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例题7: 已知$\sin$$\alpha$ = -$\frac{3}{5}$, 求$\cos$$\alpha$, $\tan$$\alpha$的值
分析: 既然没有指明在第几象限, 而且$\sin$$\alpha$为负, 所以三四象限都要考虑
${\sin }^2$$\alpha$ + ${\cos }^2$$\alpha$ = 1

当$\alpha$在第三象限时
$\cos$$\alpha$ = -$\frac{4}{5}$
$\tan$$\alpha$ = $\frac{3}{4}$
当$\alpha$在第四象限时
$\cos$$\alpha$ = $\frac{4}{5}$
$\tan$$\alpha$ = -$\frac{3}{4}$

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例题8: 求证: $\frac{\cos x}{1-\sin x}$ = $\frac{1+\sin x}{\cos x}$
证明: 对角相乘得
${\cos }^2$$\alpha$ = (1-$\sin x$)(1+$\sin x$)
${\cos }^2$$\alpha$ = 1²- ${\sin }^{2}x$
${\sin }^2$$\alpha$ + ${\cos }^2$$\alpha$ = 1
$\therefore$ $\frac{\cos x}{1-\sin x}$ = $\frac{1+\sin x}{\cos x}$

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例题9: 如果$\alpha$是第二象限的角, 则下列各式中成立的是

A. $\tan$$\alpha$= -$\frac{\sin a}{\cos a}$ \quad \quad 本来$\cos a$就为负, 不需要加负号

B. $\cos$$\alpha$= -$\sqrt{1-{\sin }^{2}a}$

C. $\sin$$\alpha$ = -$\sqrt{1-{\cos }^{2}a}$ \quad \quad \quad 应为正

D. $\tan$$\alpha$ = $\frac{\cos a}{\sin a}$ \quad \quad 反了

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例题10: 已知$\sin$$\alpha$ = $\frac{\sqrt{5}}{5}$, 则${\sin }^{4}a$ - ${\cos }^{4}a$的值为____
${\sin }^2$$\alpha$ + ${\cos }^2$$\alpha$ = 1
${\sin }^2$$\alpha$ = $\frac{1}{5}$
${\cos }^2$$\alpha$ = $\frac{4}{5}$
${\sin }^{4}a$ - ${\cos }^{4}a$ = -$\frac{3}{5}$

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例题11: 已知 $\theta$ $\in$ (0, π), $\sin \theta$ + $\cos \theta$ = $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$, 求$\tan \theta$ 的值
解:
两边平方得
${\sin }^2$$\theta$ + ${\cos }^2$$\theta$ +2$\cos \theta$$\sin \theta$ = $\frac{2-\sqrt{3}}{2}$

1 +2$\cos \theta$$\sin \theta$ = $\frac{2-\sqrt{3}}{2}$

2$\cos \theta$$\sin \theta$ = -$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \theta$$\sin \theta$ = -$\frac{\sqrt{3}}{4}$ \quad \quad (除1)

$\frac{\cos \theta \sin \theta }{1}$ = $\frac{\cos \theta \sin \theta }{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta }$ = $\frac{\tan \theta }{{\tan }^2\theta +1}$ = -$\frac{\sqrt{3}}{4}$

解得$\tan \theta$ = -$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $\tan \theta$ = -$\sqrt{3}$

检验:
${\cos }^2$$\theta$ = $\frac{1}{{\tan }^2\theta +1}$

解得:
${\cos }^2$$\theta$ = $\frac{1}{4}$ 或 $\frac{3}{4}$
${\sin }^2$$\theta$ = $\frac{3}{4}$ 或 $\frac{1}{4}$

$\because$ $\theta$ $\in$ (0, π), $\sin$$\theta$为正, $\cos$$\theta$或正或负
$\sin$$\theta$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\frac{1}{2}$
$\cos$$\theta$ = $\pm$ $\frac{1}{2}$ 或 $\pm$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\because$ $\sin \theta$ + $\cos \theta$ = $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
$\therefore$ 只取 $\sin$$\theta$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos$$\theta$ = - $\frac{1}{2}$
$\therefore$ $\tan \theta$ = -$\sqrt{3}$

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例题12: $\tan \alpha$ = 2 求 $\frac{\cos \alpha -5\sin \alpha }{3\cos \alpha +\sin \alpha }$
上下除以$\cos \alpha$ 得
$\frac{1-5\tan \alpha }{3+\tan \alpha }$ = -$\frac{9}{5}$