高等数学基础（一）

1、函数

1.1 函数的定义

定义：设数集 D ⊂ R, 则称映射 f : D → R 为定义在 D 上的函数，通常标记为y = f(x),x ∈ D。
解释：对于每个x ∈ D,按对应法则f，总有唯一确定的值y与之对应，这个值称为函数f在x处的函数值，记作 f(x).
函数关系：因变量y与自变量x之间的依赖关系。
值域：函数值f(x)的全体所构成的集合，记作 f(D)，即 f(D )= { y |y = f(x), x ∈ D}
定义域：通常由函数的实际意义所决定

举例：计算圆的面积s = Πr^2,则其定义域为D = (0, +∞)

函数在x0处取得的函数值y₀ = y |_x=x0 = f(x₀)
表示函数的记号可是任意的

1.2 几种特殊函数的定义

1.2.1分段函数

定义：对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数称为分段函数。

例如

1.2.2 反函数

定义：设函数f : D → f(D) 是单射，则存在逆映射f^-1 : f(D) → D，称此映射f^-1为函数f的反函数。
由定理可得，对每个 y ∈ f(D)，有唯一得 x ∈D，使得 f(x) = y，于是有f^-1(y) = x。
例如：

1.2.3显函数与隐函数

定义1：一个函数如果可以用形如y = f(x)的解析式表示，其中x，y分别是函数的自变量与因变量，则此函数称为显函数。
定义2：如果方程 F (x, y) = 0可确定y是x的函数，即x, y在某个范围内存在函数 y = g(x) ,使 F[ x, g(x) ] = 0,则这个函数是隐函数。

1.3 函数的几种特性

1.3.1 函数的奇偶性

设函数 y = f(x) 的定义域D关于原点对称。对于区间D上任意点，若 f(-x) = - f(x)恒成立，则f(x)为奇函数。若 f(-x) = f(x)恒成立，则f(x)为偶函数。

1.3.2 函数的单调性

设函数 f(x)的定义域为D,区间 I ⊂ D。假设区间I上有任意两点x₁及x₂：当x₁<x₂时，恒有f(x₁)<f(x₂)，则称函数f(x)在区间I上时单调递增的；当x₁<x₂时，恒有f(x₁)>f(x₂)，则称函数f(x)在区间I上是单调递减的。
单调递增和单调递减的函数统称为单调函数

1.3.3 函数的周期性

设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个正数l，使任意点x∈D有（x±l）∈ D，且f(x±l) = f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期，通常说周期是指最小正周期。

2、极限

2.1数列

定义：按照某一法则，对某一个n属于N，对应着一个确定的实数U_n，按照下标n从小道大排列得到的序列u₁,u₂,…, u_n，就叫做数列，简记为数列{U_n}，其中u_n叫做通项。
对于数列{u_n}而言，如果n无限增大，其通项无限接近常数A，则称该数列以A为极限或称数列收敛于A，记为${\lim }_{x\to \infty }Un=A$或u_n →A(n→$\infty$),否则称数列为发散。

2.2 收敛数列的性质

定理：（极限的唯一性）如果数列{u_n}收敛，那么它的极限唯一。
定理：（收敛数列的有界性）如果数列{u_n}收敛，那么数列{u_n}一定有界。
数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。
定理：如果${\lim }_{x\to \infty }Un=a$，且a > 0（或a < 0），那么存在正整数N，当n > N 时，则u_n > 0 （或u_n < 0）。
定理：（收敛数列与其子序列的关系）如果数列{u_n}收敛于a，那么它的任意子序列也收敛，且极限为a。

2.3 极限的符号表示

x → $\infty$ 表示“当|x|无限增大时”。
x → +$\infty$ 表示“当x无限增大时”。
x → -$\infty$ 表示“当x无限减小时”。
x → x₀ 表示“当x从0的左右两侧无限接近于x_-0时”。
x → x₀⁺ 表示“当x从x₀的右侧无限接近于x₀时”。
x → x₀^- 表示“当x从x₀的左侧无限接近于x₀时”。

2.4 函数极限的定义

主要研究一下两种情形：
1、自变量x任意地接近有限值x₀（或者说趋于有限值x₀，记作x→x₀）时，对应的函数值f(x)的变化情形。
2、自变量x的绝对值|x|无限增大，即趋于无穷大（记作x→$\infty$）时，对应的函数值f(x)的变化情形。

2.4.1 x→x₀时函数极限的定义

定义：设函数f(x)在点x₀的某一空心领域内有定义，若存在一个常数A，使对任意给定的正数ε（无论它多么小）总存在一个整数δ，当x满足不等式 0 < |x - x₀| < δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x) - A| < ε,则称常数A是函数f(x)当x→x₀时的极限，记作：${\lim }_{x\to x0}f(x)=A$ 或 f(x)→A(当x→x₀)。

2.4.2 x→x₀^-时函数极限的定义

定义：当x→x₀^-时，x在x₀的左侧，即x < x₀。在${\lim }_{x\to x0}f(x)=A$的定义中，把0 < |x - x₀| < δ改为x₀ - δ < x < x₀，那么A就叫做f(x)函数当x→x₀时的左极限。记作：${\lim }_{x\to X{0}^{-}}f(x)=A$或f(x₀^-) = A。

2.4.3 x→x₀⁺时函数极限的定义

定义:当x→x₀⁺时，x在x₀右侧，即x₀<x。在${\lim }_{x\to x0}f(x)=A$的定义中，把0 < |x - x₀| < δ改为x₀ < x < x₀ + δ，那么A就叫作f(x)函数当x→x₀时的右极限。记作：${\lim }_{x\to X{0}^{+}}f(x)=A$或f(x₀⁺) = A。

2.4.4 ${\lim }_{x\to X0}f(x)=A$的充分必要条件是${\lim }_{x\to X{0}^{-}}f(x)={\lim }_{x\to X{0}^{+}}f(x)=A$

2.4.5 x→$\infty$时函数的极限

定义：对于函数f(x)，如果存在一个常数A，对任意给定的正数ε（无论它多么小）总存在一个正数N，使当|x| > N时，不等式|f(x) - A| < ε恒成立，则称常数A是函数f(x)当x→$\infty$时的极限。
记作：${\lim }_{x\to \infty }f(x)=A$或f(x)→A(x→$\infty$)

2.4.6 示例

eg1、使用Python编程求${\lim }_{x\to \infty }(sinx/x)$

> import sympy
> from sympy import oo  #注意无穷符号表示形式为两个小写字母o
> import numpy as np
> x = sympy.Symbol('x')  #注意Symbol首字母大写
> f = sumpy.sin(x)/x
> sympy.limit(f, x, oo)
0

eg2、使用Python编程求${\lim }_{x\to 1}(x^2-1/x-1)$

> import sympy
> from sympy import oo #注意无穷符号表示形式为两个小写字母o
> import numpy as np
> x = sympy.Symbol('x')  #注意Symbol首字母大写
> f = (x**2 - 1)/ (x - 1)
> sympy.limit(f, x, 1)
2

3、无穷小与无穷大

3.1 无穷小

定义：如果函数f(x)当x→x₀（或x→$\infty$）时的极限为0，那么称函数f(x)为当x→x₀（或x→$\infty$）时的无穷小。

3.2 无穷小的基本性质

（1）、有限个无穷小之和仍然是无穷小
（2）、有限个无穷小的乘积仍然是无穷小
（3）、有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小
（4）、有限个无穷小之和不一定是无穷小
（5）、无穷小的商不一定是无穷小

3.3 无穷小与函数极限的关系

在自变量的同一变化过程x→x₀（或x→$\infty$）中，函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x) = A + a，其中a是无穷小。

3.4 无穷大

定义：设函数f(x)在x₀的某个空心领域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对任意给定的正数M（不论它多么大），总存在一个正数δ（或正数X），只要x适合不等式0 < |x - x₀| < δ（或|x| > X），对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)| > M，那么称函数f(x)为当x→x₀（或x→$\infty$）时的无穷大。
当x→x₀（或x→$\infty$）时的无穷大函数f(x)的极限是不存在的，记作：${\lim }_{x\to X0}f(x)=\infty$或${\lim }_{x\to \infty }f(x)=A$

3.5 无穷大与无穷小的关系

如果f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小；相反，如果f(x)为无穷小且f(x) ≠ 0，则1/f(x)是无穷大。

3.6 无穷小的比较

假设α及β都是同一个自变量的便获过程中的无穷小，且α≠0.
（1）、如果$\lim \beta /\alpha =0$，那么就说β是比α高阶的无穷小，记作：β = o(α)。
（2）、如果$\lim \beta /\alpha =\infty$，那么就说β是比α低阶的无穷小。
（3）、如果$\lim \beta /\alpha =c\ne 0$，那么就说β与α是同阶无穷小。
（4）、如果$\lim \beta /\alpha =1$，那么就说β与α是等价无穷小，记作：β~α。
eg:求${\lim }_{x\to 0}sinx/(3x-x^3)$,并用Python编程验证

> f = sympy.sin(x)/(3*x + x ** 3)
> sympy.limit(f, x, 0)
1/3

4、连续性与导数

4.1 函数连续性定义

定义：设函数f(x)在点x₀的某个领域内有定义，当自变量的增量Δx趋于0时，对应的函数的增量Δy = f(x₀ + Δx) - f(x₀)也趋于0，即$$\underset{x\to 0}{\lim }\Delta y=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }[f(x0+\Delta x)-f(x0)]=0$$则称函数f(x)在点x₀处连续。

4.2 函数连续性需要满足的条件

函数f(x)在点x₀连续，需要满足以下条件：
（1）函数在改点处有定义。
（2）函数在该点处极限${\lim }_{x\to x0}f(x)$存在。
（3）极限值等于函数值f(x₀)。
三个条件缺一不可。

4.3 函数的间断点

设函数f(x)在点x₀的某个去心领域内有定义，如果函数f(x)有下列3种情况之一，那么函数f(x)在点x₀处不连续，点x₀称为函数f(x)的间断点或不连续点。
（1）函数f(x)在点x = x₀处没有定义。
（2）函数f(x)虽然在x = x₀处有定义，但是在该点处极限${\lim }_{x\to x0}f(x)$不存在。
（3）函数f(x)虽然在x = x₀处有定义，且在该点处极限${\lim }_{x\to x0}f(x)$存在，当${\lim }_{x\to x0}f(x)$≠ f(x₀)。

4.4 函数间断点的常见类型

如果a时函数f(x)的间断点，且函数在该点左右极限都存在，则称a为第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，都称为第二类间断点。
第一类间断点又可以分为以下两类。
（1）跳跃间断点：${\lim }_{x\to x{0}^{+}}f(x)$、${\lim }_{x\to x{0}^{-}}f(x)$极限都存在，但${\lim }_{x\to x0+}f(x)$ ≠ ${\lim }_{x\to x{0}^{-}}f(x)$。
（2）可去间断点：${\lim }_{x\to x0}f(x)$极限存在且相等，但${\lim }_{x\to x0}f(x)$≠f(x₀)或f(x)在该点无定义。

4.5 导数

4.5.1 导数的定义

定义：设f(x)在x₀的某个邻域内又意义，当x的增量为Δx时，y的增量为Δy为f(x₀ + Δx) - f(x₀)。当Δx→0时，Δy/Δx的极限存在，则称函数f(x)在x₀处可导。此极限值为函数f(x)在点x₀处的导数，记作f(x₀)。
即：f’(x₀) = ${\lim }_{\Delta x\to 0}\Delta y/\Delta x$ = ${\lim }_{\Delta x\to 0}f(x0+\Delta x)-f(x0)/\Delta x$。

4.5.2 导数的几何意义

通常函数y = f(x) 的导数表示了因变量y在点x₀处随自变量x变化的快慢程度，即函数的变化速率。
从几何意义上讲，函数在某一点x₀的变化率等于这一点的切线的斜率。

4.5.3 函数的基本求导法则

（1）[u(x)±v(x)]’ = u’(x) ± v’(x)。
（2）[u(x)·v(x)]’ = u’(x)·v(x) + u(x)·v’(x)。
（3）[u(x)/v(x)]’ = {u’(x)v(x) - u(x)·v’(x)}/v²(x), v(x)≠0。
（4）在法则（2）中，当v(x) = C（C是常量）时，可得：(Cu)’ = Cu’（C是常量）
（5）在法则（3）中，当u(x) = C（C是常量）时，可得：(C/V)’ = (-Cv’)/v²（C是常量）

4.5.4 反函数得求导法则

设函数x = f(y)在区间D_y内单调可导，且f’(y) ≠ 0，那么它得反函数y = f^-1(x)在区间D_x = {x = f(y), y∈D_y}内也可导，且满足下式：
[f^-1(x)]’ = 1/(f’(y))或dy/dx = 1/(dx/dy)。

4.5.5 复合函数的求导法则

如果u = g(x)在点x处可导，y = f(u)在点u = g(x)处可导，那么复合函数y = f[g(x)]在点x处可导，且其导数为dy/dx = f‘(u)·g’(x)或dy/dx = (dy/du)·(du/dx)。

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