高等数学（第七版）同济大学 习题1-1

函数作图软件：Mathematica

部分图片采用ChatGPT生成

 

$\begin{array}{rlrlrlrlrlrlrlrlrlrlrlrlrlrlrl}& 1.求下列函数的自然定义域& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$

$\begin{array}{rl}& (1)y=\sqrt{3x+2}(2)y=\frac{1}{1-x^2}\\ & \\ & (3)y=\frac{1}{x}-\sqrt{1-x^2}(4)y=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\\ & \\ & (5)y=sin\sqrt{x}(6)y=tan(x+1)\\ & \\ & (7)y=arcsin(x-3)(8)y=\sqrt{3-x}+arctan\frac{1}{x}\\ & \\ & (9)y=ln(x+1)(10)y=e^{\frac{1}{x}}\\ & \\ & \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& (1)因为根号\sqrt{}内的值必须大于等于0，所以3x+2\ge 0，得x\ge -\frac{2}{3}& \\ & & \\ & 定义域为[-\frac{2}{3},+\infty )& \\ & & \\ & (2)因为分母不得为0，所以1-x^2\ne 0，得x\ne \pm 1& \\ & & \\ & 定义域为(-\infty ,-1)\cup (-1,1)\cup (1,+\infty )& \\ & & \\ & (3)在\frac{1}{x}中，x\ne 0，\sqrt{}中，1-x^2\ge 0，即x^2\le 1，-1\le x\le 1& \\ & & \\ & 定义域为[-1,0)\cup (0,1]& \\ & & \\ & (4)分母\sqrt{4-x^2}不为0，也就是4-x^2>0，即x^2<4，-2<x<2& \\ & & \\ & 定义域为(-2,2)& \\ & & \\ & (5)因为sin函数的定义域为R，所以\sqrt{}内x\ge 0& \\ & & \\ & 定义域为[0,+\infty )& \\ & & \\ & (6)因为tan函数的定义域为k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in Z)周期范围之间，所以x+1\ne k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in Z)& \\ & & \\ & 定义域为\left\{x|x\in R且x\ne \left(k+\frac{1}{2}\right)\pi -1,k\in Z\right\}& \\ & & \\ & (7)因为arcsin函数的定义域为[-1,1]，所以-1\le x-3\le 1，得2\le x\le 4& \\ & & \\ & 定义域为[2,4]& \\ & & \\ & (8)\sqrt{}内3-x\ge 0，即x\le 3，arctan函数的定义域为R，也就是x\ne 0，得出& \\ & & \\ & 定义域为(-\infty ,0)\cup (0,3]& \\ & & \\ & (9)对数函数中自变量应该是大于0的，也就是x+1>0，即x>-1，得出& \\ & & \\ & 定义域为(-1,+\infty )& \\ & & \\ & (10)指数函数中的指数定义域为R，但是x为分母，所以x\ne 0，得出& \\ & & \\ & 定义域为(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )& \end{array}$

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$\begin{array}{rlrlrlrl}& 2.下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？& & & & & & \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (1)f(x)=lg{x}^2,g(x)=2lgx;& \\ & & \\ & (2)f(x)=x,g(x)=\sqrt{x^2};& \\ & & \\ & (3)f(x)=\sqrt[3]{x^4-x^3},g(x)=x\sqrt[3]{x-1};& \\ & & \\ & (4)f(x)=1,g(x)=se{c}^{2}x-ta{n}^{2}x& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlrlrlrlrlrlrlr}& (1)f(x)的定义域为(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )，g(x)的定义域为(0,+\infty )，& & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & & & & \\ & 两者定义域不同，所以f(x)和g(x)不相同。& & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & & & & \\ & (2)g(x)=\sqrt{x^2}=\{\begin{array}{l}x,x\ge 0,\\ \\ -x,x<0.\end{array}& & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & & & & \\ & 两者对应法则不同，所以f(x)和g(x)不相同。& & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & & & & \\ & (3)f(x)和g(x)的定义域为R，定义域相同，两者对应法则也相同。& & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & & & & \\ & f(x)和g(x)相同。& & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & & & & \\ & (4)g(x)定义域为\left\{x|x\in R,x\ne \left(k+\frac{1}{2}\right)\pi ，k\in Z\right\}，两者定义域不同& & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & & & & \\ & f(x)和g(x)不相同。& & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$

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$\begin{array}{rl}& 3.设\\ & \\ & \phi (x)=\{\begin{array}{l}|sinx|,|x|<\frac{\pi }{3},\\ \\ 0,|x|\ge \frac{\pi }{3},\end{array}\\ & \\ & 求\phi \left(\frac{\pi }{6}\right)，\phi \left(\frac{\pi }{4}\right)，\phi \left(-\frac{\pi }{4}\right)，\phi (-2)，并作出函数y=\phi (x)的图形。\end{array}$

解：

$\begin{array}{rl}& \phi \left(\frac{\pi }{6}\right)中，-\frac{\pi }{3}<\left|\frac{\pi }{6}\right|<\frac{\pi }{3}，所以\phi \left(\frac{\pi }{6}\right)=|sin\frac{\pi }{6}|=|sin30^{\circ }|=\frac{1}{2}\\ & \\ & \phi \left(\frac{\pi }{4}\right)中，-\frac{\pi }{3}<\left|\frac{\pi }{4}\right|<\frac{\pi }{3}，所以\phi \left(\frac{\pi }{4}\right)=|sin\frac{\pi }{4}|=|sin45^{\circ }|=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ & \\ & \phi \left(-\frac{\pi }{4}\right)中，-\frac{\pi }{3}<|-\frac{\pi }{4}|<\frac{\pi }{3}，所以\phi \left(-\frac{\pi }{4}\right)=|sin\left(-\frac{\pi }{4}\right)|=|sin\left(-45^{\circ }\right)|=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ & \\ & \phi (-2)中，|-2|\ge \frac{\pi }{3}，所以\phi (-2)=0。\\ & \\ & \end{array}$

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$\begin{array}{rl}& 4.试证下列函数在指定区间内的单调性：\end{array}$

$\begin{array}{rlrlrlrlrl}& (1)y=\frac{x}{1-x}，(-\infty ,1)；(2)y=x+lnx，(0,+\infty )& & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \end{array}$

解：

$\begin{array}{rl}& (1)设x_1<x_2<1，f(x_1)-f(x_2)=\frac{x_1}{1-x_1}-\frac{x_2}{1-x_2}=\frac{x_1-x_2}{(1-x_1)(1-x_2)},\\ & \\ & 因为区间为(-\infty ,1)，且x_1<x_2，得f(x_1)-f(x_2)<0，f(x_1)<f(x_2)，所以y在区间(-\infty ,1)上是单调增加的。\\ & \\ & \end{array}$

 

$\begin{array}{rlr}& (2)设0<x_1<x_2，f(x_1)-f(x_2)=x_1+ln{x}_1-x_2-ln{x}_2=x_1-x_2+ln\left(\frac{x_1}{x_2}\right)，& \\ & & \\ & 因为在区间(0,+\infty )上x_1<x_2，得x_1-x_2<0，且ln\left(\frac{x_1}{x_2}\right)<0，即f(x_1)-f(x_2)<0，& f(x_1)<f(x_2)，\\ & & \\ & 所以y在区间(0,+\infty )上是单调增加的。& \end{array}$

 

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$\begin{array}{rl}& 5.设f(x)为定义在(-l,l)内的奇函数，若f(x)在(0,l)内单调增加，证明f(x)在(-l,0)内也单调增加。\end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 设-l<x_1<x_2<0，则0<-x_2<-x_1<l，由f(x)是奇函数，得f(x_1)-f(x_2)=-f(-x_1)+f(-x_2)<0，& \\ & & \\ & 也就是f(-x_1)>f(-x_2)，-f(x_1)>-f(x_2)，f(x_1)<f(x_2)，& \\ & & \\ & 因为f(x)在(0,l)区间内单调增加，所以f(x_1)-f(x_2)<0，-f(-x_1)+f(-x_2)<0，f(-x_1)-f(-x_2)>0，& \\ & & \\ & 即f(x_1)<f(x_2)，f(x)在(-l,0)内也是单调增加的。& \end{array}$

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$\begin{array}{rl}& 6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(-l,l)上的，证明：\end{array}$

$\begin{array}{rl}& (1)两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数。\\ & \\ & (2)两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。\end{array}$

解：

$\begin{array}{rl}& (1)设f_1(x)，f_2(x)为偶函数，f_1(x)=f_1(-x)，f_2(x)=f_2(-x)，令F(x)=f_1(x)+f_2(x)，\\ & \\ & 得F(-x)=f_1(-x)+f_2(-x)=f_1(x)+f_2(x)=F(x)，所以两个偶函数的和是偶函数。\\ & \\ & 设f_1(x)，f_2(x)为奇函数，f_1(-x)=-f_1(x)，f_2(-x)=-f_2(x)，令F(x)=f_1(x)+f_2(x)，\\ & \\ & 得F(-x)=f_1(-x)+f_2(-x)=-f_1(x)-f_2(x)=-F(x)，所以两个奇函数的和是奇函数。\\ & \\ & (2)设f_1(x)，f_2(x)为偶函数，f_1(x)=f_1(-x)，f_2(x)=f_2(-x)，令F(x)=f_1(x)\times f_2(x)，\\ & \\ & 得F(-x)=f_1(-x)\times f_2(-x)=f_1(x)\times f_2(x)=F(x)，所以两个偶函数的乘积是偶函数。\\ & \\ & 设f_1(x)，f_2(x)为奇函数，f_1(-x)=-f_1(x)，f_2(-x)=-f_2(x)，令F(-x)=f_1(-x)\times f_2(-x)，\\ & \\ & 得F(-x)=-f_1(x)\times -f_2(x)=f_1(x)\times f_2(x)=F(x)，所以两个奇函数的乘积是偶函数。\\ & \\ & 设f_1(x)是奇函数，f_2(x)是偶函数，f_1(-x)=-f_1(x)，f_2(-x)=f_2(x)，令F(-x)=f_1(-x)\times f_2(-x)，\\ & \\ & 得F(-x)=-f_1(x)\times f_2(x)=-F(x)，所以偶函数与奇函数的乘积是奇函数。\\ & \\ & \end{array}$

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$\begin{array}{rl}& 7.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？\end{array}$

$\begin{array}{rl}& (1)y=x^2(1-x^2)；(2)y=3x^2-x^3；\\ & \\ & (3)y=\frac{1-x^2}{1+x^2}；(4)y=x(x-1)(x+1)；\\ & \\ & (5)y=sinx-cosx+1；(6)y=\frac{a^x+a^{-x}}{2}；\\ & \\ & \end{array}$

解：

$\begin{array}{rl}& (1)f(x)=x^2(1-x^2)，f(-x)=(-x{)}^2(1-(-x{)}^2)=x^2(1-x^2)=f(x)，该函数为偶函数。\\ & \\ & (2)f(x)=3x^2-x^3，f(-x)=3(-x{)}^2-(-x{)}^3=3x^2+x^3，f(-x)\ne f(x)，且f(-x)\ne -f(x)，该函数非奇非偶。\\ & \\ & (3)f(x)=\frac{1-x^2}{1+x^2}，f(-x)=\frac{1-(-x{)}^2}{1+(-x{)}^2}=\frac{1-x^2}{1+x^2}=f(x)，该函数为偶函数。\\ & \\ & (4)f(x)=x(x-1)(x+1)，f(-x)=(-x)(-x-1)(-x+1)=-x(x-1)(x+1)=-f(x)，该函数为奇函数。\\ & \\ & (5)f(x)=sinx-cosx+1，f(-x)=sin(-x)-cos(-x)+1=-sinx-cosx+1，\\ & \\ & f(-x)\ne f(x)，且f(-x)\ne -f(x)，该函数非奇非偶。\\ & \\ & (6)f(x)=\frac{a^x+a^{-x}}{2}，f(-x)=\frac{a^{-x}+a^x}{2}=f(x)，该函数为偶函数。\\ & \\ & \end{array}$

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$\begin{array}{rl}& 8.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：\end{array}$

$\begin{array}{rl}& (1)y=cos(x-2)；(2)y=cos4x；\\ & \\ & (3)y=1+sin\pi x；(4)y=xcosx；\\ & \\ & (5)y=si{n}^{2}x\\ & \\ & \end{array}$

解：

$\begin{array}{rl}& (1)因为cosx的周期为2\pi ，所以cos(x-2)的周期同样为2\pi 。\\ & \\ & \end{array}$

$\begin{array}{rl}& (2)cos4x的周期为\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}。\\ & \\ & \end{array}$

$\begin{array}{rl}& (3)1+sin\pi x的周期为\frac{2\pi }{\pi }=2。\\ & \\ & \end{array}$

$\begin{array}{rl}& (4)xcosx不是周期函数。\\ & \\ & \end{array}$

$\begin{array}{rl}& (5)si{n}^{2}x的周期为\pi 。\\ & \\ & \end{array}$

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$\begin{array}{rl}& 9.求下列函数的反函数：\end{array}$

$\begin{array}{rl}& (1)y=\sqrt[3]{x+1}；(2)y=\frac{1-x}{1+x}；\\ & \\ & (3)y=\frac{ax+b}{cx+d}(ad-bc\ne 0)；(4)y=2sin3x\left(-\frac{\pi }{6}\le x\le \frac{\pi }{6}\right)；\\ & \\ & (5)y=1+ln(x+2)；(6)y=\frac{2^x}{2^x+1}\\ & \\ & \end{array}$

解：

$\begin{array}{rl}& (1)x=y^3-1，即y=x^3-1，定义域为R。\\ & \\ & (2)y(1+x)=1-x，x=\frac{1-y}{1+y}，即y=\frac{1-x}{1+x}，定义域为(-\infty ,-1)\cup (-1,+\infty )。\\ & \\ & (3)x=-\frac{dy-b}{cy-a}，即y=-\frac{dx-b}{cx-a}，定义域为(-\infty ,\frac{a}{c})\cup (\frac{a}{c},+\infty )。\\ & \\ & (4)x=\frac{arcsin(\frac{y}{2})}{3}，即y=\frac{1}{3}arcsin\left(\frac{x}{2}\right)，因为-1<\frac{x}{2}<1，所以定义域为[-2,2]。\\ & \\ & (5)x=e^{y-1}-2，即y=e^{x-1}-2，定义域为(-\infty ,+\infty )\\ & \\ & (6)2^{x}y+y=2^x，2^x=\frac{y}{1-y}，x=lo{g}_2\frac{y}{1-y}，即y=lo{g}_2\frac{x}{1-x}，因为\frac{x}{1-x}>0，所以定义域为(0,1)\\ & \\ & \end{array}$

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$\begin{array}{rl}& 10.设函数f(x)在数集X上有定义，试证：函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。\end{array}$

解：

$\begin{array}{rl}& 充分条件：设函数f(x)在X上有界，即存在M>0，使得\\ & \\ & |f(x)|\le M，x\in X，故-M\le f(x)\le M，x\in X，即f(x)在X上有上界M，有下界-M。\\ & \\ & 必要条件：设f(x)在X上有上界K_1，下界K_2，即K_2\le f(x)\le K_1，x\in X，\\ & \\ & 取M=max||K_1|,|K_2||，则有|f(x)|\le M，x\in X，即f(x)在X上有界。\\ & \\ & \end{array}$

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$\begin{array}{rl}& 11.在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值x_1和x_2的函数值。\end{array}$

$\begin{array}{rl}& (1)y=u^2，u=sinx，x_1=\frac{\pi }{6}，x_2=\frac{\pi }{3}；\\ & \\ & (2)y=sinu，u=2x，x_1=\frac{\pi }{8}，x_2=\frac{\pi }{4}；\\ & \\ & (3)y=\sqrt{u}，u=1+x^2，x_1=1，x_2=2；\\ & \\ & (4)y=e^u，u=x^2，x_1=0，x_2=1；\\ & \\ & (5)y=u^2，u=e^x，x_1=1，x_2=-1；\\ & \\ & \end{array}$

解：

$\begin{array}{rl}& (1)y=si{n}^{2}x，x_1=\frac{\pi }{6}时，y_1=si{n}^2\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{4}，x_2=\frac{\pi }{3}时，y_2=si{n}^2\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{3}{4}\\ & \\ & (2)y=sin2x，x_1=\frac{\pi }{8}时，y_1=sin\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}，x_2=\frac{\pi }{4}时，y_2=sin\left(\frac{\pi }{2}\right)=1\\ & \\ & (3)y=\sqrt{1+x^2}，x_1=1时，y_1=\sqrt{2}，x_2=2时，y_2=\sqrt{5}\\ & \\ & (4)y=e^{x^2}，x_1=0时，y_1=1，x_2=1时，y_2=e\\ & \\ & (5)y=e^{2x}，x_1=1时，y_1=e^2，x_2=-1时，y_2=e^{-2}\\ & \\ & \end{array}$

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$\begin{array}{rl}& 12.设f(x)的定义域D=[0,1]，求下列各函数的定义域：\end{array}$

$\begin{array}{rl}& (1)f(x^2)；(2)f(sinx)；\\ & \\ & (3)f(x+a)(a>0)；(4)f(x+a)+f(x-a)(a>0)\\ & \\ & \end{array}$

解：

$\begin{array}{rl}& (1)因为0\le x\le 1，得0\le x^2\le 1，当x^2\ge 0时，x\in R，当x^2\le 1时，x\in [-1,1]，相交得出定义域为[-1,1]。\\ & \\ & (2)因为0\le x\le 1，得0\le sinx\le 1，定义域为\left\{x|2k\pi \le x\le (2k+1)\pi ，k\in Z\right\}\\ & \\ & (3)因为0\le x\le 1，得0\le x+a\le 1，-a\le x\le 1-a，定义域为[-a,1-a]。\\ & \\ & (4)因为0\le x\le 1，得0\le x+a\le 1，0\le x-a\le 1，-a\le x\le 1-a，a\le x\le 1+a，\\ & \\ & 当0<a\le \frac{1}{2}时，定义域为[a,1-a]，当a>\frac{1}{2}时，定义域为\varnothing 。\\ & \\ & \end{array}$

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$\begin{array}{rl}& 13.设\\ & \\ & f(x)=\{\begin{array}{l}1,|x|<1,\\ \\ 0,|x|=1，\\ \\ -1，|x|>1\end{array}\\ & \\ & g(x)=e^x，求f[g(x)]和g[f(x)]，并作出这两个函数的图形。\end{array}$

解：

$\begin{array}{rl}& f[g(x)]=f(e^x)=\{\begin{array}{l}1，x<0，\\ \\ 0，x=0，\\ \\ -1，x>0\end{array}\\ & \\ & 图形为\\ & \\ & \end{array}$

$\begin{array}{rl}& g[f(x)]=e^{f(x)}=\{\begin{array}{l}e，|x|<1，\\ \\ 1，|x|=1，\\ \\ e^{-1}，|x|>1\end{array}\\ & \\ & 图形为\\ & \\ & \end{array}$

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$\begin{array}{rl}& 14.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角\phi =40^{\circ }，当过水断面ABCD的面积为定制S_0时，\\ & \\ & 求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式，并指明其定义域。\end{array}$

解：

$\begin{array}{rl}& AB=\frac{h}{sin40^{\circ }}，CD=\frac{h}{sin40^{\circ }}，\\ & \\ & S_0=\frac{1}{2}(AD+BC)h，因AD=hcot40^{\circ }+hcot40^{\circ }+BC=2hcot40^{\circ }+BC\\ & \\ & 得S_0=\frac{1}{2}(2hcot40^{\circ }+BC+BC)h=h^{2}cot40^{\circ }+hBC,\\ & \\ & 即BC=\frac{S_0}{h}-hcot40^{\circ }\\ & \\ & L=\frac{S_0}{h}-hcot40^{\circ }+\frac{2h}{sin40^{\circ }}=\frac{S_0}{h}+\frac{2-cos40^{\circ }}{sin40^{\circ }}h\\ & \\ & 因为h>0，且BC=\frac{S_0}{h}-hcot40^{\circ }>0，所以定义域为(0,\sqrt{S_{0}tan40^{\circ }})。\\ & \\ & \end{array}$

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$\begin{array}{rl}& 15.设xOy平面上有正方形D=\{(x,y)|0\le x\le 1，0\le y\le 1\}及直线l:x+y=t(t\ge 0)。\\ & \\ & 若S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积，试求S(t)与t之间的函数关系。\end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 当0\le t\le 1时，S(t)=\frac{1}{2}{t}^2& \\ & & \\ & 当1<t\le 2时，S(t)=1-\frac{1}{2}(2-t{)}^2=-\frac{1}{2}{t}^2+2t-1& \\ & & \\ & 当t>2时，S(t)=1& \\ & & \\ & 得& \\ & & \\ & S(t)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{t}^2，0\le t\le 1，\\ \\ -\frac{1}{2}{t}^2+2t-1，1<t\le 2，\\ \\ 1，t>2\end{array}& \end{array}$

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$\begin{array}{rl}& 16.求联系华氏温度（用F表示）和摄氏温度（用C表示）的转换公式，并求\\ & \\ & (1)90{}^{\circ }F的等价摄氏温度和-5{}^{\circ }C的等价华氏温度；\\ & \\ & (2)是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的？如果存在，那么该温度值是多少？\end{array}$

解：

$\begin{array}{rl}& 转换公式F=\frac{9}{5}C+32，C=\frac{5}{9}(F-32)\\ & \\ & (1)90{}^{\circ }F\approx 32.22{}^{\circ }，-5{}^{\circ }C=23{}^{\circ }F\\ & \\ & (2)假设F=C，F=\frac{9}{5}F+32，F=-40{}^{\circ }，得出当温度为-40{}^{\circ }时，华氏温度与摄氏温度的值相同。\\ & \\ & \end{array}$

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$\begin{array}{rl}& 17.已知Rt\Delta ABC中，直角边AC、BC的长度分别为20、15，动点P从C出发，沿三角形边界按\\ & \\ & C\to B\to A方向移动；动点Q从C出发，沿三角形边界按C\to A\to B方向移动，移动到两动点相遇时为止，\\ & \\ & 且点Q移动的速度是点P移动的速度的2倍。设动点P移动的距离为x，\Delta CPQ的面积为y，\\ & \\ & 试求y与x之间的函数关系。\end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 三角形的面积变化分为三种情况：& \\ & & \\ & 1.当P位于P1点和C点之间，Q位于Q1点和C点之间时，因为点Q的移动速度是点P的2倍，& \\ & & \\ & 所以Q1点位于A点位置，根据AC边长20可得知，P1C的长度为10，此时在P1C长度范围内，& \\ & & \\ & \Delta PCQ的面积，S_{\Delta PCQ}=\frac{1}{2}(x)(2x)=x^2。& \\ & & \\ & 2.当Q位于Q1点和Q2点之间，P位于P1点和B点之间时，\Delta PCQ的底边为x-15，高度为竖向蓝色边t，& \\ & & \\ & 根据三角函数性质，\frac{20-t}{2x-20}=\frac{20}{25}，t=-\frac{8}{5}x+36，S_{\Delta PCQ}=\frac{1}{2}(36-\frac{8}{5}x)x=-\frac{4}{5}{x}^2+18x，& \\ & & \\ & 3.当Q位于Q2点和B点之间，P位于Q2点和B之间时，\Delta PCQ的底边为25-(x-15)-(2x-20)=60-3x，& \\ & & \\ & 高度为斜向蓝色边t，根据勾股定理，\frac{t}{15}=\frac{20}{25}，得t=12，S_{\Delta PCQ}=\frac{1}{2}(60-3x)12=-18x+360。& \\ & & \\ & 当x=20时，点P和点Q相遇。& \\ & & \\ & 得出& \\ & & \\ & y=\{\begin{array}{l}{x}^2，0<x<10，\\ \\ -\frac{4}{5}{x}^2+18x，10\le x\le 15，\\ \\ -18x+360，15<x<20\end{array}& \end{array}$

 

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$\begin{array}{rl}& 18.利用以下美国人口普查局提供的世界人口数据以及指数模型来推测2020年的世界人口。\end{array}$

年份	人口数/百万	年增长率/%
2008	6708.2	1.166
2009	6786.4	1.140
2010	6863.8	1.121
2011	6940.7	1.107
2012	7017.5	1.107
2013	7095.2

解：

$\begin{array}{rlr}& 根据年增长率判断，世界人口增长率维持在1.1\%，根据2018年人口推算2020年人口，& \\ & & \\ & 6708.2\times (1+1.011{)}^{12}\approx 7649.27\approx 76亿& \end{array}$