1.区间问题

905.区间选点

给定N个闭区间[ai, bi]，请你在数轴上选择尽量少的点，使得每个区间内至少包含一个选出的点。

输出选择的点的最小数量，位于区间端点上的点也算作是区间内。

1. 将每个按区间的右端点从小到大排序

2. 从前往后依次枚举每个区间

3. 如果当前区间中已经包含点，则直接pass

4. 否则，选择当前区间的右端点

#include<iostream>
#include<algorithm>
​
using namespace std;
​
const int N = 100010;
​
int n;
struct Range
{int l, r;bool operator< (const Range &W)const{return r < W.r;}
}range[N];
​
int main()
{scanf("%d", &n);for(int i = 0;i < n; i++){int l, r;scanf("%d%d", &l, &r);range[i] = {l, r};}sort(range, range + n);int res = 0, ed = -2e9;for(int i = 0;i < n; i++)if(range[i].l > ed){res++;ed = range[i].r;}printf("%d\n", res);return 0;
}

908.最大不相交区间数量：

给定N个比区间[ai, bi]，请你在数轴选择若干区间，使得选中的区间之间互不相交（包括端点）

输出可选取区间的最大数量。

#include<iostream>
#include<algorithm>
​
using namespace std;
​
const int N = 100010;
​
int n;
struct Range
{int l, r;bool operator< (const Range &W)const{return r < W.r;}
}range[N];
​
int main()
{scanf("%d", &n);for(int i = 0;i < n; i++){int l, r;scanf("%d%d", &l, &r);range[i] = {l, r};}sort(range, range + n);int res = 0, ed = -2e9;for(int i = 0;i < n; i++)if(range[i].l > ed){res++;ed = range[i].r;}printf("%d\n", res);return 0;
}

906.区间分组

给定N个闭区间[α，b:],请你将这些区间分成若干组，使得每组内部的区间两两之间（包括端点）没有交集，并使得组数尽可能小。

输出最小组数。

将这些区间按照起始点从小到大的顺序排序，然后从前往后遍历每个区间。如果这个区间能够加入到已经存在的某一个组，就将其随便加入一个可行的组；如果这个区间不能加入到已经存在的任何一个组，就新建一个组，组中只包含这个区间。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
​
using namespace std;
​
const int N = 100010;
​
int n;
struct Range
{int l, r;bool operator< (const Range &W)const{return l < W.l;}
}range[N];
​
int main()
{scanf("%d", &n);for(int i = 0;i < n; i++){int l, r;scnaf("%d%d", &l, &r);range[i] = {l, r};}sort(range, range + n);priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;for(int i = 0;i < n; i++){auto r = range[i];if(heap.empty() || heap.top() >= r.l) heap.push(r.r);else{int t = heap.top();heap.pop();heap.push(r.r);}}printf("%d\n", heap.size());return 0;
}

907.区间覆盖

给定N个闭区间[ai, bi]以及一个线段区间[s, t]。请你选择尽量少的区间，将指定线段区间完全覆盖，

输出最少区间数，如果无法完全覆盖则输出-1。

1 5

3

-1 3

2 4

3 5

输出：2

1. 将所有区间左端点从小到大排序

2. 从前往后依次枚举每个区间，在所有能覆盖start的区间中，选择右端点最大的区间

3. 然后将start更新成右端点的最大值

#include<iostream>
#include<algorithm>
​
using namespace std;
​
const int N = 100010;
​
int n;
struct Range
{int l, r;bool operator< (const Range &W){return l < W.l;}
}range[N];
​
int main()
{int st, ed;scanf("%d%d", &st, &ed);scnaf("%d", &n);for(int i = 0;i < n; i++){int l, r;scanf("%d%d", &l, &r);range[i] = {l, r};}sort(range, range + n);int res = 0;bool success = false;for(int i = 0;i < n; i++){int j = i, r = -2e9;while(j < n && range[j].l <= st){r = max(r, range[j].r);j++;}if(r < st){res = -1;break;}res++;if(r >= ed){success = true;break;}st = r;i = j - 1;}if(!success) res = -1;printf("%d\n", res);return 0;
}

2.Huffman树

148.合并果子

在一个果园里，达达已经将所有的果子打了下来，而且按果子的不同种类分成了不同的堆。

达达决定把所有的果子合成一堆。

每一次合并，达达可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。

可以看出，所有的果子经过 n−1n−1 次合并之后，就只剩下一堆了。

达达在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。

因为还要花大力气把这些果子搬回家，所以达达在合并果子时要尽可能地节省体力。

假定每个果子重量都为 11，并且已知果子的种类数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使达达耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。

例如有 33 种果子，数目依次为 1，2，91，2，9。

可以先将 1、21、2 堆合并，新堆数目为 33，耗费体力为 33。

接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为 1212，耗费体力为 1212。

所以达达总共耗费体力=3+12=15=3+12=15。

可以证明 1515 为最小的体力耗费值。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
​
using namespace std;
​
int main()
{int n;scanf("%d", &n);priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;while(n--){int x;scanf("%d", &x);heap.push(x);}int res = 0;while(heap.size() > 1){int a = heap.top(); heap.pop();int b = heap.top(); heap.pop();res += a + b;heap.push(a + b);}printf("%d\n", res);return 0;
}

3.排序不等式

913.排队打水

有n个人排队到1个水龙头处打水，第i个人装水桶所需时长是ti，请问如何安排他们打水顺序才能是所有人的等待时间之和最短。

7

3 6 1 4 2 5 7

56

案例分析 0 3 9 10 14 16 21

#include<iostream>
#include<algorithm>
​
using namespace std;
​
const int N = 100010;
​
typedef long long LL;
​
int n;
int t[N];
​
int main()
{scanf("%d", &n);for(int i = 0;i < n; i++)scanf("%d", &t[i]);sort(t, t + n);LL res = 0;for(int i = 0;i < n; i++)res += t[i] * (n - i - 1);printf("%lld\n", res);return 0;
}

4.绝对不等式

104.货仓选址

在一条数轴上有 NN 家商店，它们的坐标分别为 A1∼AN。

现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。

为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。

#include<iostream>
#include<algorithm>
​
using namespace std;
​
const int N = 100010;
​
int n;
int a[N];
​
int main()
{scanf("%d", &n);for(int i = 0;i < n; i++)scanf("%d", &a[i]);sort(a, a + n);int res = 0;for(int i = 0;i < n; i++)res += abs(a[i] - a[n / 2]);printf("%d\n", res);return 0;
}

5.推公式

125.耍杂技的牛

农民约翰的 N 头奶牛（编号为 1..N）计划逃跑并加入马戏团，为此它们决定练习表演杂技。

奶牛们不是非常有创意，只提出了一个杂技表演：

叠罗汉，表演时，奶牛们站在彼此的身上，形成一个高高的垂直堆叠。

奶牛们正在试图找到自己在这个堆叠中应该所处的位置顺序。

这 N 头奶牛中的每一头都有着自己的重量 Wi 以及自己的强壮程度 Si。

一头牛支撑不住的可能性取决于它头上所有牛的总重量（不包括它自己）减去它的身体强壮程度的值，现在称该数值为风险值，风险值越大，这只牛撑不住的可能性越高。

您的任务是确定奶牛的排序，使得所有奶牛的风险值中的最大值尽可能的小。

#include<iostream>
#include<algorithm>
​
using namespace std;
​
typedef pair<int, int> PII;
​
const int N = 50010;
​
int n;
PII cow[N];
​
int main()
{scanf("%d", &n);for(int i = 0;i < n; i++){int w, s;scanf("%d%d", &w, &s);cow[i] = {w + s, w};}sort(cow, cow + n);int res = -2e9, sum = 0;for(int i = 0;i < n; i++){int w = cow[i].second, s = cow[i].first - w;res = max(res, sum - s);sum += w;}printf("%d\n", res);return 0;
}