1.二次型

1.1 二次型、标准型、规范型、正负惯性指数、二次型的秩

二次型:

二次型中的矩阵A是实对称矩阵，实对称矩阵天然的可相似对角化。

小补充：实对称矩阵，意思是矩阵中的元素都是实数，不是虚数之类的。而且是对称矩阵。对称矩阵意味着A^T=A

如何证明一个矩阵是二次型矩阵？(2013年真题)
首先证明矩阵A，满足X^TAX=二次型，形式正确
其次证明矩阵A是对称矩阵，即A^T=A

解释说明：
二次型其实是一个由二次的项组成的式子
它可以写成X^TAX的形式,其中A矩阵是对称阵
其中A矩阵是怎么写出来的？
1.A的对角线元素是由x_n的平方决定，a₁₁是x₁²前的系数，a₂₂是x₂²前的系数，以此类推
2. 对称位置a₁₂,a₂₁ 这种由混合项x₁x₂的系数决定，以此类推

标准型:

解释说明：
标准型就是去掉了混合项，二次型矩阵A变成了对角矩阵
注意:一个二次型的标准型并不唯一，在选择题中，我们求出的标准型和答案给出的标准型不一定一样，但是正负项数肯定一样，即规范型一样。

规范型:

规范型就是在标准型的基础上，平方项的次数是1或-1或0
规范型能确定什么？
不同的标准型能被化成相同的规范型的形式。
所以说，规范型能确定的东西有限，我们只能通过规范型得到正负系数，正负惯性指数

正惯性指数 负惯性指数:

解释说明：
正惯性指数就是标准型中平方项系数为正数的个数
负惯性指数就是标准型中平方项系数为负数的个数
正惯性指数 负惯性指数是对标准型而言的，只有处理成标准型才能看见正负惯性指数

二次型的秩:

二次型的秩就是二次型矩阵A的秩
r(f)=r(A)

1.2 坐标变换

坐标变换，其实我们可以理解为换元，在高等数学的学习中，我们经常利用换元法将复杂的式子通过换元来变成简单的式子，在二次型中也同样如此，
x=Cy的形式换元，重要的是C矩阵 |C|≠0

1.3 合同

如C^TAC=B，C可逆，称矩阵A和B合同

合同的内涵就是：做一组相同的行列变换，比如做倍加合同变换，第一行加到第一行，那么第一列也要加到第二列，一组操作才算一个完整的合同变换。

合同的性质：

1. A合同于A
2. A合同于B，则B合同于A
3. 合同具有传递性，A合同于B，B合同于C，A合同于C
4. 一个方阵合同于一个对称矩阵，那么它也是对称的。

假如两个矩阵合同，有什么性质？

• 合同矩阵的秩相同
• 正负惯性指数相同

二次型与正交变换与合同之间的联系：

补充:通过坐标变换，可以得到A合同于一个对角矩阵

1.4 正交变换化为标准型

核心：通过求二次型矩阵A的特征值，就可得出二次型的标准型。通过求二次型矩阵A的特征向量，得到坐标变换x=Qy，其中Q是由A的特征向量经过施密特正交化组成的。

二次型化标准型就转变成了求特征值求特征向量的问题。

1.5 可逆线性变换和正交变换

在具体问题中，有如下的经典问题
求可逆线性变换x=By，将f(x₁,x₂,x₃)化为标准形
求正交变换x=Qy，将二次型f(x₁,x₂,x₃)化为标准形

配方法化为标准形，得到的是可逆线性变换
正交变换法，得到的正交变换，是一种特殊的可逆线性变换
配方法和正交变换法得到的标准形不同
化为规范型不能用正交变换法，规范型是唯一的。

类型	可逆线性变换	正交变换
P	可逆矩阵	正交矩阵
A与对角阵的关系	合同	合同且相似
A特征值与对角阵的特征值	不同	相同

表格第二条最为重要，有两个二次型，f和g，可逆线性变换一般来说是，f和g合同但不相似，可以做可逆线性变换将f转换为g，正交变换是指，f和g相似，f可以正交变换为g

1.6 二次型化标准形，二次型化规范形的联系思考

每一个二次型都可以化成标准形和规范形
不管是二次型化标准形还是二次型化规范型，都是通过CX=Y，通过可逆线性变换化成标准形或者规范形，意味着C必须是可逆的，这个C是不唯一的，也说明，可逆线性变换有多种。合同变换(正交变换)也是可逆线性变换的一种。

实例如下：

1.8 两个二次型联系的思考

思考一：
假如有两个二次型f和g，对应的二次型矩阵A和B：
f能通过可逆线性变换变为g，意味着A和B合同，它们的正负惯性指数相同，它们有相同的规范型。
f能通过正交变换变为g，意味着A和B相似。

思考二：
假如A和B相似，意味着，二次型f和g有相同的标准型和规范型。

问题实例抽象：
假如有两个二次型f和g，对应的二次型矩阵A和B：
f能通过可逆线性变换x=py变为g，问你这个可逆矩阵p是什么？

从上面的问题分析可知，A和B合同，有相同的规范型，所以规范型就是中间桥梁。

1.9 对于配方法问题的深入思考

2.二次型的主要定理

定理1:
见二次型与正交变换与合同之间的联系的结论

定理2:
任一个二次型X^TAX都存在坐标变换x=cy化成标准型

3.正定二次型与正定矩阵

n元二次型f(x₁,x₂…)=x^TAx,若对任意的x[x₁,x₂,…,x_n]^T≠0,均有x^TAx>0,则称f为正定二次型，A为正定矩阵。

正定二次型的充要条件：
1.定义法 任意x， x^TAx>0
2.f的正惯性指数p=n
3.A的特征值λ_i均>0
4.A的全部顺序主子式均>0

正定二次型的必要条件：
1.a_ii>0
2.|A|>0

正定矩阵的充要条件：
矩阵A的特征值全大于0---->单向可推出，|A|>0
顺序主子式大于0

在判断是否是正定矩阵的题目中，常用充要条件是2-4或必要条件1得出

补充一个小知识:反对称矩阵A^T=-A

4.重难点题型总结

4.1 配方法将二次型化为标准型

配方法将含有平方项的二次型化为标准型:

一步一步来，先配x₁，再配x₂,这样就能防止｜c｜=0，使得坐标变换失败

题目来源:李永乐线代辅导讲义 例 6.4

配方法将不含有平方项的二次型化为标准型:

题目来源:李永乐线代辅导讲义 例 6.5

4.2 正交变换法将二次型化为标准型

在写出二次型矩阵出过程中，非常值得注意的是平方项不用除以2，混合项除以2

题目来源:李永乐线代辅导讲义 例 6.6-6.7

4.3 规范型确定取值范围问题

4.4 已知两个二次型f和g，求正否能通过正交变换使得f转换为g

思路：
相似的传递性 合同的传递性
f相似且合同于一个对角阵，g也相似且合同于一个对角阵，他俩相似且合同的对角阵是同一个对角阵，那么f与g相似且合同，所以必有一个正交变换能使得f可以变成g。
综上本质就是，f和g有相同的特征值
一些细节：x=Q₁z 得到对角阵，y=Q

例题 4.7为该问题的完全解答

题目来源:李永乐线代辅导讲义 例 6.9

4.5 由已知条件，反求二次型f(x₁,x₂…)的表达式(反求矩阵问题)

思路如下:
求二次型表达式，也就是求二次型矩阵A，也就是方程组应用那节中的反求矩阵问题，反求矩阵问题两大核心利器，一是矩阵乘法，二是相似

题目来源:李永乐线代辅导讲义 例 6.13

4.6 【经典例题】判断两个矩阵是否相似，是否合同

大观:
如果两个矩阵都是实对称矩阵，它们天然的满足可以相似对角化，所以

• A合同于B⇔A,B特征值的正、负号个数相同
• A相似于B ⇔A，B的特征值相同

如果两个矩阵不是实对称矩阵，那么判断相似有3种方法

• 1.根据必要条件排除
  • 主要看秩是否相同，如果秩判断不了，改造矩阵为A+kE或者A-kE，因为A相似于B，A+kE相似于A-kE
• 2.判断是否相似对角化同一个对角矩阵
  • 判断是否可以相似对角化，然后计算特征值，判断是否相似于同一个对角矩阵
• 3.利用定义
  • 手动进行初等行变换列变换判断相似，进行一组或多组行列同时变换判断合同。

一些必要条件说明：
两个矩阵合同：意味着

• 行列式正负相等
• 正负惯性指数相同
• 矩阵的秩序相同

4.7 求正惯性指数_结合正定二次型定义和非齐次线性方程组

正定二次型的定义 x≠0，X^TAX>0,则说明A是正定矩阵。正惯性指数=n

4.7 【真题改编】二次型f和g，做可逆线性变换将f转换为g，做正交变换将f转换为g

改编自2021年考研数学一

问题分析:
明确f和g如果能存在可逆(非正交)线性变换，f和g是合同的，正负惯性指数是相等的(充要条件)，特征值是不同的，为什么特意说了非正交？因为正交是一种特殊的可逆线性变换。
明确f和g如果能存在正交变换，f和g是相似的，特征值是相同的。
该问题中存在未知系数a，也就意味着，a取不同值时，存在不同的情况，如仅合同或合同且相似。

4.8 二次型f=0的全部解问题

常规两种方法：

• 配方法
• 正交变换法

4.9 已知矩阵A的正交变换的标准型，求A^*的正交变换的标准形