你叉叉，让你学数据结构你不学；你叉叉，让你看二叉树你不看。 今天我们来一起学习二叉树部分，先赞后看是好习惯。

 

一、树的概念及结构

1. 树的概念

        树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。

 

        我们可以把一棵树拆解成根和子树。除根节点外，其余结点被分成M(M≥0)个互不相交的T1 、T2 、……、Tm ，其中每一个集合又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继节点。子树也可以继续被拆解为根和子树的子树。因此，树是递归定义的。

注意：

• 树形结构中，子树是不相交的，否则就不是树形结构。
• 除了根结点外，每个结点有且仅有一个父结点。
• 一棵N个结点的树有N-1条边。

       上面两种都不是树形结构！！！

2. 树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度。 如上图，A的度为6。

叶节点(终端节点)：度为0的节点称为叶节点。 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点。

非终端节点(分支节点)：度不为0的节点。 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点。

双亲节点(父节点)：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点。 如上图，A是B的父节点。

孩子节点(子节点)：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点。如上图，B是A的孩子节点。

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点。

树的度：树中最大的节点的度称为树的度； 如上图：节点的度最大为6，则树的度为6。

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推。

树的高度(深度)：树中节点的最大层次，一般从1开始数，空树的高度为0。

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点。

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先。

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙。

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林。

3. 树的表示

        树结构相对线性表就比较复杂了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系。树有很多种表示方式：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。

//方法一(容易造成空间浪费)
#define N 6//定义树的度为6
struct TreeNode
{int val;struct TreeNode* subA[N];//开辟结构体指针数组存储孩子
};

//方法二:用顺序表存储孩子的内容
struct TreeNode
{int val;//顺序表struct TreeNode** subA;//这里应该是二级指针//开辟的是指针数组，每个数组的元素是结构体指针int size;int capacity;
};

        我们这里推荐最常用的左孩子右兄弟表示法。

//左孩子右兄弟表示法
struct TreeNode
{int val;struct TreeNode* leftChild;//指向左边的第一个孩子struct TreeNode* nextBrother;//指向自己右边的兄弟，最右边的nextBrother指向NULL
};

        如上图，A的leftChild指向B，nextBrother指向空；B的leftChild指向D，nextBrother指向C；C的leftChild指向G，nextBrother指向空等等，以此类推便可以便将整个树串了起来。 

4. 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

二、二叉树概念及结构

1. 概念

        一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成或者也可能为空。 

        从上图可以看出：二叉树不存在度大于2的结点；二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

注意：二叉树不是只有两棵子树，而是最多有两棵子树。

        对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

        后面我们会学二叉搜索树，他的要求是左子树数据全小于根，右子树数据均大于根。

       假设二叉搜索树高度为h，则查找次数最多为h次。二叉搜索树也有不足，有些时候会退化成下面这种情况。就需要我们继续学习AVL数和红黑树。

2. 特殊的二叉树 

        满二叉树：一个二叉树，如果每一层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。即如果一个二叉树的层数为k，且结点总数是2^k-1 ，则它就是满二叉树。

        完全二叉树：对于深度为k，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称为完全二叉树。 满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

3. 二叉树的性质

        若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有个结点

        若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数个

        对任何一棵二叉树，度为0其叶结点个数比度为2的结点个数多1个

        若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，

        对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

• 若i>0，i 位置节点的双亲序号:；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
• 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1≥n，否则无左孩子
• 若2i+2<n，右孩子序号: 2i+2，2i+2≥n，否则无右孩子

3. 二叉树的存储结构 

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

3.1 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，否则会有空间浪费。现实使用中，只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

        父子存储的下标规律：

• leftchild=parent*2+1，rightchild=parent*2+2
• parent=(child-1)/2

        这样可以直接通过数组下标访问，也可以通过数组还原树。数组存储只适合完全二叉树和满二叉树，否则会造成大量空间浪费。

3.2 链式存储

        链式存储是指用链表来表示二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点分成三个域：数据域和左右指针域。左右指针分别给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。

        链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

         那本章我们介绍了二叉树入门的一些内容，下一章我们就要正式开始学习二叉树的实现方法，给个三连，敬请关注~~~