【数学】泰勒公式

引言

一、泰勒公式

1.泰勒公式及推导

（1）推导

（2）公式

2.泰勒中值定理

（1）定理1（佩亚诺余项）

（2）定理2（拉格朗日余项）

（3）两个定理的区别

3.麦克劳林公式

二、常用的泰勒公式

三、泰勒公式核心考点

1.求极限

2.求高阶导

3.证明题

总结

ID：HL_5461

引言

对于任意无穷数，这里以 $\pi$ 为例，我们可以用多个 $\frac{1}{10}$ 的次方将其不断展开，即 $\pi =3.1415...=3\times( \frac{1}{10})^0+1\times( \frac{1}{10})^1+4\times( \frac{1}{10})^2+1\times( \frac{1}{10})^3+5\times( \frac{1}{10})^4+...$

类比的，对于一个函数 $f(x)$ ，我们也可以将它写作无穷多x的次方展开，即 $f(x)=a_0(x-x_0)^0+a_1(x-x_0)^1+a_2(x-x_0)^2+...+a_n(x-x_0)^n$

这也就是泰勒公式的诞生。

当然就像有限个 $\frac{1}{10}$ 的次方不能精确表示一个无穷小数一样，上述式子肯定有一定的误差，这个后文讨论。

一、泰勒公式

1.泰勒公式及推导

（1）推导

我们将引言中所写式子记作 $P_n(x)$ ，所以有：

$P_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)^1+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+...+a_n(x-x_0)^n$

正如前面所说，这个式子有一定的误差，不能准确表示 $f(x)$ ，所以我们退而求其次，选择让这个式子无限接近 $f(x)$ ，即 $f(x)-P_n(x)$ 是 $(x-x_0)^n$ 的高阶无穷小。

接下来的任务是确定系数 $a_i$ 。我们先定一个条件：设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处n阶可导。

那么如何让 $P_n(x)$ 非常接近 $f(x)$ 呢？只需满足两个条件：1. $P_n(x)$ 与 $f(x)$ 在 $x_0$ 处函数值相等；2. $P_n(x)$ 与 $f(x)$ 在 $x_0$ 处直到n阶倒数相等。

我们可以这样理解上面两个条件：函数值相等说明在同一个点处，导数相等说明函数变化一样，值一样变化一样，所以可以近似看作相等。以下是 $a_i$ 的推导过程：

1

$\because P_n(x)$ 与 $f(x)$ 在 $x_0$ 处函数值相等

$\therefore f(x_0)=P_n(x_0)=a_0$ ， $a_0=f(x_0)$

2

对 $P_n(x)$ 与 $f(x)$ 求一阶导，并带入 $x=x_0$

$\therefore f'(x)=P_n'(x)=a_1$ ， $a_1=f'(x_0)$

3

对 $P_n(x)$ 与 $f(x)$ 求二阶导，并带入 $x=x_0$

$\therefore f''(x)={P_n}''(x)=2!\cdot a_2$ ， $a_2=\frac{f''(x_0)}{2!}$

4

不断求导、总结，所以：

$a_0=f(x_0),a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$

（2）公式

将前面算出的 $a_i$ 带入 $P_n(x)$ ，所以：

$P_n(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$

由于在引言中说过，如果 $P_n(x)$ 与 $f(x)$ 相比有一定误差，所以这里补充一个误差项就能与 $f(x)$ 相等了。我们将这个误差项称为余项，记作 $R_n(x)$ 。

所以泰勒公式就是如下形式：

$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$

除了 $R_n(x)$ 的前半部分是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的n次多项展开式 $P_n(x)$

$R_n(x)$ 称为余项，也是一个误差项

2.泰勒中值定理

泰勒中值定理是对余项 $R_n(x)$ 的讨论。

（1）定理1（佩亚诺余项）

设 $f(x)$ 在 $x$ 处具有直到n阶的导数，则有

$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$

其中， $R(x)=o[(x-x_0)^n]$ ， $(x\rightarrow x_0)$ 称为佩亚诺(Peano)余项。

该展开式称为 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 邻域的带佩亚诺余项的n阶泰勒公式。

（2）定理2（拉格朗日余项）

设 $f(x)$ 在包含 $x$ 的区间 $(a,b)$ 内有直到n+1阶的导数，在区间 $[a,b]$ 上有n阶连续导数，则对任意 $x\in [a,b]$ 时有

$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$

其中， $R(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ ，（ $\xi$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间）称为拉格朗日余项。

该展开式称为 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 的带拉格朗日余项的n阶泰勒公式。

注：对于拉格朗日余项的泰勒公式，根据定义，题目如果说在区间上有n+1阶的导数，那么做题时需展到n阶，n+1阶留给余项。

（3）两个定理的区别

这里可以结合前面定理内容加粗部分理解

1.成立条件不同。定理2对 $f(x)$ 的可导性要求更高。2要求区间可导，1只要求点可导；2要求可导至n+1阶，1只要求可导至n阶。

2.x的取值范围不同。定理1需满足 $x\rightarrow x_0$ ，仅适用于求极限问题；定理2中 $x$ 可在符合条件的区间 $[a,b]$ 上任取,甚至能取到任意实数，因此中值定理2更广泛地适用于证明题和近成似计算问题。
3.余项 $R_n(x)$ 形式不同,佩亚诺余项便于求极限,而拉格朗日余项能具体估算近似误差的大小。

3.麦克劳林公式

麦克劳林公式就是令 $x_0=0$ 时的泰勒公式：

$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n(x)$

二、常用的泰勒公式

$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+...+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n-1})$

$arcsinx=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$

$tanx=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

$arctanx=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

$cosx=1-\frac{x^2}{2!}+...+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})$

$ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+...+(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}+o(x^{n})$

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$

$(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+...+\frac{a(a-1)...(a-n-1))}{n!}x^n +o(x^n)$

三、泰勒公式核心考点

1.求极限

方法：按上面给的重要泰勒公式无脑代入

例1：

求极限 $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}$

$cosx=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)$

$e^{-\frac{x^2}{2}}=1+(-\frac{x^2}{2})+\frac{(-\frac{x^2}{2})^2}{2!}+o(x^4)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}+o(x^4)$

将上面式子带入极限：

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\frac{1}{12}x^4}{x^4}=-\frac{1}{12}$

例2：

设 $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+x)-(ax+bx^2)}{x^2}=2$ 求a，b

$ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ 代入极限

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+x)-(ax+bx^2)}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1-a)x-(\frac{1}{2}+b)x^2+o(x^2)}{x^2}=2$

$\therefore 1-a=0,-(\frac{1}{2}+b)=2$

$\therefore a=-1,b=-\frac{5}{2}$

例3：

设 $f(x)$ 二阶可导， $f(0)=0,f'(0)=1,f''(0)=2$ ，求极限 $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-x}{x^2}$

由泰勒公式形式可得： $f(x)=x+x^2+o(x^2)$

代入极限： $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-x}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2+o(x^2)}{x^2}=1$

2.求n阶导数值

方法：依旧上述重要泰勒公式无脑往里代

例1：

求函数 $f(x)=x^2 ln(1+x)$ 在 $x=0$ 处的n阶导数 $f^{(n)}(0)(n\geq 3)$

$ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+...+(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}+o(x^{n})$

$f(x)=x^2 ln(1+x)=x^3-\frac{x^4}{2}+...+(-1)^{n-1}\frac{x^{n+2}}{n}+o(x^{n})$

由泰勒公式的唯一性，第n项为 $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

$\therefore\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n-2}$

$\therefore f^{(n)}(0)=(-1)^{n-1}\frac{n!}{n-2}$

3.证明题

方法：

1.使用拉格朗日余项，对n+1阶可导，展到第n阶

2. $x$ 和 $x_0$ 依题目选择

（证明题比较难，下面讲解会解释思路）

例1：

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $f(0)=1,f'(0)=0,f"(x)\leq 2$ ，求证： $\max_{x\in [0,1]} f(x)\leq 2$

思路：

首先写出公式，因为二阶可导所以展到一阶：

$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1}(x-x_0)+\frac{f''(\xi )}{2}(x-x_0)^{2}$ ，（ $\xi$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间）

由于题目中告知 $f(0)$ 和 $f'(0)$ ，所以不妨猜测 $x_0=0$ ，代入公式：

$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1}x+\frac{f''(\xi )}{2}x^{2}=1+\frac{f''(\xi )}{2}x^{2},\xi \in (0,x)$

$\because f"(x)\leq 2,\xi \in (0,1)$ 在定义域内。 $\therefore f"(\xi )\leq 2$

又 $\because x \in (0,1)\therefore x^2\in (0,1)$

代入证毕

这题因为告知导数所以优先猜测 $x_0$ 的值，将 $x_0$ 代入和相关条件用完之后会发现已经做出来了，所以 $x$ 的值就无需考虑了

例2：

$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导， $f(0)=f(1)=0,\max_{x\in [0,1]} f(x)= 2$ ，证明 $\exists \xi \in (0,1)$ ，使得 $f''(\xi )\leq -16$

思路：

首先写出公式，因为二阶可导所以展到一阶：

$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1}(x-x_0)+\frac{f''(\xi )}{2}(x-x_0)^{2}$ ，（ $\xi$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间）

由于题目中未提及导数相关，所以不妨猜测0和1是 $x$ ，代入公式：

$f(0)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1}(-x_0)+\frac{f''(\xi _1)}{2}(-x_0)^{2},\xi _1\in (0,x_0)$ ..............1

$f(1)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1}(1-x_0)+\frac{f''(\xi _2)}{2}(1-x_0)^{2},\xi _2\in (x_0,1)$ ......2

0和1的相关条件似乎已经用完了

仔细查看上两式，会感觉 $x_0$ 的缺少真的很碍眼，难道0和1应该用作 $x_0$ 吗？但是如果换作 $x_0$ 会发现这样只会减少 $f(x_0)$ 一个未知量，并且这样做还会多 $f(x)$ 一个未知量，好像和上两式没什么区别，所以暂时假定这个思路还是对的，接着往下看（下面是难点）

仔细思考一下 $\max_{x\in [0,1]} f(x)= 2$ ，由于 $x_0$ 的缺少所以尽量往 $x_0$ 上去想：如何才能有一个 $f(x_0)$ 和一个 $f'(x_0)$ ？结合在区间上的最大值，我们可以联想到极大值。

假定极大值为 $x=a$ ，则 $f(a)=2,f'(a)=0$ ，令 $x_0$ 取 $a$ ，则1、2式分别为：

于题目中未提及导数相关，所以不妨猜测0和1是 $x$ ，代入公式：

$f(0)=2+\frac{f''(\xi _1)}{2}(-a)^{2},\xi _1\in (0,x_0)$ ..............3

$f(1)=2+\frac{f''(\xi _2)}{2}(1-a)^{2},\xi _2\in (x_0,1)$ ..........4

$a$ 在 $x$ 的取值范围内， $f(0)$ 和 $f(1)$ 有确定值，分类讨论能得出 $f''(\xi _1)$ 和 $f''(\xi _2)$ 的范围

再看题目要求是“存在”，找到一个就OK，所以证毕

这题没有告知导数相关，所以优先猜测 $x$ 的值，将 $x$ 代入后发现条件不够，再往后考虑 $x_0$ 相关，联系极值，假设并代入，最后可以求得范围

例3：

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $\left | f(x) \right |\leq a,\left | f''(x) \right |\leq b$ ，其中a,b都是非负常数，证明 $\left | f'(x) \right |\leq 2a+\frac{b}{2},\forall x\in (0,1)$

思路：

首先写出公式，因为二阶可导所以展到一阶：

$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1}(x-x_0)+\frac{f''(\xi )}{2}(x-x_0)^{2}$ ，（ $\xi$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间）

由于题目中提及 $f(x)$ 和 $f''(x)$ ，猜测告知条件为 $x_0$ ，又加上 $x_0$ 在 $x$ 的取值范围内这一常用隐含条件，则：

$\left | f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1}(x-x_0)+\frac{f''(\xi )}{2}(x-x_0)^{2} \right |\leq a+f'(x_0)+\frac{b}{2}$

到这一步已经条件用完，但是已经无路可走了，所以推翻重来

但是如果改用 $x$ ，除了泰勒公式原式整个小于等于 $a$ 啥也做不了，所以再换个思路，试着找点代代

题目没告知什么特殊值，那就只有拿0和1这两个端点试一试了

还是顾及题目给了导数，优先考虑 $x_0$

$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1}x+\frac{f''(\xi _1)}{2}x^{2},\xi _1\in (0,x)$ ......................................1

$f(x)=f(1)+\frac{f'(1)}{1}(x-1)+\frac{f''(\xi _2)}{2}(x-1)^{2},\xi _2\in (x,1)$ ................2

两式相减再取绝对值进行放缩，发现和前面没什么区别，那就改取 $x$

$f(0)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1}(-x_0)+\frac{f''(\xi_1 )}{2}(-x_0)^{2},\xi _1\in (0,x_0)$ .................3

$f(1)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1}(1-x_0)+\frac{f''(\xi_2 )}{2}(1-x_0)^{2},\xi _1\in (x_0,1)$ .........4

4-3得： $f(1)-f(0)=\frac{f'(x_0)}{1}+\frac{1}{2}[f''(\xi _2)(1-x_0)^{2}-f''(\xi _1)x_0^2]$

$f'(x_0)$ 跟题目要求的 $f'(x)$ 好像有点相像，既然有可能那就先往下做了再说

$f'(x_0)=f(1)-f(0)+\frac{1}{2}[f''(\xi _1)x_0^2-f''(\xi _2)(1-x_0)^{2}]$

考虑一下如何把这个碍眼的 $x_0$ 替换成题目需要的 $x$ （重点）

往定义上想， $x_0$ 是指代确定的 $x$ 值，但是对于泰勒公式本身， $x_0$ 是可以在定义域上任取的，也就说对定义域上的任意 $x$ 其实都有上式成立

也就说当 $x \in (0,1)$ ，都有 $f'(x)=f(1)-f(0)+\frac{1}{2}[f''(\xi _1)x^2-f''(\xi _2)(1-x)^{2}]$ ，这样一来 $x_0$ 就成了题目需要的 $x$ 了

（这里只是为了便于讲解所以放到了后面讨论，写题时可以在写3、4式时直接把 $x_0$ 写成 $x$ ）

对上式取绝对值 $\left | f'(x) \right |=\left | f(1)-f(0)+\frac{1}{2}[f''(\xi _1)x^2-f''(\xi _2)(1-x)^{2}] \right |$

然后进行放缩：

$\left | f'(x) \right |\leq \left | f(1)\right |+\left | f(0) \right |+\frac{1}{2}[\left | f''(\xi _1) \right |x^2+\left | f''(\xi _2) \right |(1-x)^{2}]$

把题目给的小于等于条件代入继续放缩：

$\left | f'(x) \right |\leq2a+\frac{b}{2}[ x^2+(1-x)^{2}]$

由于 $[ x^2+(1-x)^{2}]\leq 2$ ，继续代入放缩，证毕

这题比较难，还是按照一贯的思路来：因为告知导数所以优先猜测使用 $x_0$ ，没用换成 $x$ ，还是做不出来，继续代值考虑 $x_0$ 、 $x$ 最后发现 $x$ 可以一试。这题主要还是在于端点值也可以使用这一容易忽视的细节和如何将 $x_0$ 考虑作整个定义域上的 $x$ 值两个难点。