文章目录
- 1. 推导
- 2. 性质
- 3. 参考
1. 推导
r r r为旋转轴， θ \theta θ为旋转角度。
先将旋转轴单位化
u = r ∣ ∣ r ∣ ∣ u=\frac{r}{||r||} u=∣∣r∣∣r
旋转可以被分为垂直和旋转两个方向，
我们求沿轴方向的分量其实就是在求 p p p向量在 u u u方向上的投影。
引用投影矩阵
P = A ( A ⊤ A ) − 1 A ⊤ P u = u ( u ⊤ u ) − 1 u ⊤ u ⊤ u = I P u = u u ⊤ P=A(A^{\top}A)^{-1}A^{\top}\\ P_u=u(u^{\top}u)^{-1}u^{\top}\\ u^{\top}u=I\\ P_u=uu^{\top} P=A(A⊤A)−1A⊤Pu=u(u⊤u)−1u⊤u⊤u=IPu=uu⊤
其实也可以直接以向量的方式思考
u ⊤ p = u ∗ p = ∣ ∣ u ∣ ∣ ∣ ∣ p ∣ ∣ cos α u^{\top}p =u *p=||u|| \ ||p|| \cos \alpha u⊤p=u∗p=∣∣u∣∣ ∣∣p∣∣cosα
还需要除 ∣ ∣ u ∣ ∣ ||u|| ∣∣u∣∣
∣ ∣ u ∣ ∣ = u ⊤ u u ⊤ p u ⊤ u ||u||=u^{\top}u \\ \frac{u^{\top}p}{u^{\top}u} ∣∣u∣∣=u⊤uu⊤uu⊤p
最后将值转换为向量
u u ⊤ p u ⊤ u = u u ⊤ p u\frac{u^{\top}p}{u^{\top}u}=uu^{\top}p uu⊤uu⊤p=uu⊤p
令 a a a为 p p p在旋转轴 r r r上的分量
a = p ∥ = u u ⊤ p a=p_{\parallel}=uu^{\top}p a=p∥=uu⊤p
令 b b b为 p p p垂直旋转轴 r r r的分量
b = p ⊥ = p − a = p − u u ⊤ p b=p_{\perp}=p-a=p-uu^{\top}p b=p⊥=p−a=p−uu⊤p
令 c = u × p c=u \times p c=u×p,则 ∣ ∣ c ∣ ∣ = ∣ ∣ p ∣ ∣ ||c|| = ||p|| ∣∣c∣∣=∣∣p∣∣
b b b旋转 θ \theta θ后得到 b ′ b' b′
b ′ = b cos θ + c sin θ b ′ = ( p − u u ⊤ p ) cos θ + u × p sin θ b'=b\cos \theta+c \sin \theta\\ b'=(p-uu^{\top}p) \cos \theta + u\times p \sin \theta b′=bcosθ+csinθb′=(p−uu⊤p)cosθ+u×psinθ
旋转后的 p ′ p' p′
p ′ = a + b ′ = u u ⊤ p + ( p − u u ⊤ p ) cos θ + u × p sin θ p'=a+b'=uu^{\top}p+(p-uu^{\top}p) \cos \theta + u\times p \sin \theta p′=a+b′=uu⊤p+(p−uu⊤p)cosθ+u×psinθ
合并后得到
p ′ = ( I cos θ + ( 1 − cos θ ) u u ⊤ + u × sin θ ) p p'=(I \cos \theta+(1-\cos \theta)uu^{\top}+u_{\times}\sin \theta)p p′=(Icosθ+(1−cosθ)uu⊤+u×sinθ)p
其中 u × u_{\times} u×为叉乘矩阵
形式为
[ 0 z − y − z 0 x y − x 0 ] \begin{bmatrix} 0 & z & -y \\ -z & 0 & x \\ y & -x & 0 \end{bmatrix} 0−zyz0−x−yx0
所以旋转矩阵为
R = I cos θ + ( 1 − cos θ ) u u ⊤ + u × sin θ R=I\cos \theta+(1-\cos \theta)uu^{\top}+u_{\times} \sin \theta R=Icosθ+(1−cosθ)uu⊤+u×sinθ
2. 性质
t r a c e ( R ) = 2 cos θ + 1 R − R ⊤ = 2 u × sin θ \begin{align} trace(R)=2 \cos \theta+1\\ R-R^{\top}=2u_{\times} \sin \theta \end{align} trace(R)=2cosθ+1R−R⊤=2u×sinθ
性质一的证明，所有旋转矩阵都相似，构成一个正交群。
相似矩阵有性质
A = C − 1 B C A=C^{-1}BC A=C−1BC
所以所有旋转矩阵有相同的迹。
取其中一个旋转矩阵
[ cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta &0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} cosθsinθ0−sinθcosθ0001
所以
t r ( R ) = 2 cos θ + 1 tr(R)=2 \cos \theta+1 tr(R)=2cosθ+1
3. 参考
michigan_state_university
duke
math_stackchange
