前言

本文其实值属于：程序员的数学【AIoT阶段二】 的一部分内容，本篇把这部分内容单独截取出来，方便大家的观看，本文介绍 多元函数微分学，读之前建议先看：程序员的数学【微积分基础】，本文涵盖了一些计算的问题并使用代码进行了实现，安装代码运行环境见博客：最详细的Anaconda Installers 的安装【numpy，jupyter】（图+文），如果你只是想要简单的了解有关线代的内容，那么只需要学习一下博文：NumPy从入门到高级，如果你是跟着博主学习 $AIoT$ 的小伙伴，建议先看博文：数据分析三剑客【AIoT阶段一（下）】（十万字博文 保姆级讲解），如果你没有 $Python$ 基础，那么还需先修博文：Python的进阶之道【AIoT阶段一（上）】（十五万字博文 保姆级讲解）

一、多元函数的定义

🚩设 $D$ 为一个非空的 $n$ 元有序数组的集合， $f(x)$ 为某一确定的对应规则，也称为函数关系。
$(x_1,x_2,...x_n)\in D$ 如果对于每一个有序数组，通过对应规则 $f(x)$ 都有唯一确定的实数 $y$ 与之对应，则称对应规则 $f(x)$ 为定义在 $D$ 上的 $n$ 元函数。记为：$y=f(x_1,x_2,...x_n),(x_1,x_2,...x_n)\in D$。变量 $x_1,x_2,...x_n$ 称为自变量；$y$ 称为因变量。

• 当 $n=1$ 时，为一元函数，记为 $y=f(x),x\in D$；
• 当 $n=2$ 时，为二元函数，记为 $y=f(x,y),(x,y)\in D$，如图所示：

• 二元及以上的函数统称为多元函数。

二、偏导数

偏导数，可以看作是导数的推广，对于多元函数来说，我们把其它的自变量固定不动，看成是常量，我们对其中的某一个变量求导数的话，那就是偏导数了，只对一个变量求导数！

几何意义上面来说就是在某个方向上对原函数来切一下，再去求导，就是偏导数。举例说明：

$f(x,y)=x^2+3xy-2y^2$

对变量 $x$ 求偏导数，其中 $y$ 是常量

$f^{\prime }x=\frac{\partial f}{\partial x}=2x+3y$

对变量 $y$ 求偏导数，则 $x$ 是常量

$f^{\prime }y=\frac{\partial f}{\partial y}=3x-4y$

三、高阶偏导数

🚩有高阶导数，同样也有高阶偏导数，它的情况比高阶导数要复杂一些，因为它的求导变量有多个，比如说：$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$

它对 $x,y$ 求高阶偏导数的话，就是先对 $x$ 求偏导，再对 求偏导，其实跟一元函数的高阶导数是一样的，依次对每个变量反复求导即可，我们还是以上面的公式为例：

$f(x,y)=x^2+3xy-2y^2$

二元函数的二阶偏导数有四个：

$\frac{{\partial }^{2}f}{{\partial }^{2}x}=2$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=3$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}=3$

$\frac{{\partial }^{2}f}{{\partial }^{2}y}=-4$

有个重要的结论，就是高阶导数和求导次序无关:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$

四、梯度

🚩机器学习中的梯度下降法，和牛顿法很多地方都会用到梯度这个概念。

$ᐁf(x)=[\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},...,\frac{\partial f}{\partial x_n}{]}^T$

梯度可以看成一元函数的导数，对于多元函数来说就是偏导数而已。

对于多元函数如果它的自变量有 $N$ 个： $x_1,x_2,...x_n$。它的梯度是个向量，是由对 $x_1,x_2,...x_n$ 变量。

求偏导数构成的这样一个向量，称之为梯度。梯度我们用倒三角这个符号来表示，对 $f(x)$ 求梯度得到上面所示的向量 $ᐁf(x)$

五、雅可比矩阵

5.1 雅克比矩阵定义

🚩这个可能很多同学学高等数学的时候可能没有学过，但是这个也比较好理解，就是由一阶偏导数构成的矩阵，发明它的目的主要是为了简化求导公式，对多元的复合函数求导，如果我们用雅可比矩阵来计算的话，它会写起来非常简洁，这在我们的人工神经网络反向推导的过程中往往会看到的。

$y=f(x)$ ，其中 $x$ 是 $n$ 维向量表示有 $n$ 个未知数即 $n$ 个自变量，$y$ 是 $k$ 维的向量表示函数对应关系计算返回 $k$ 个因变量。

$y_i=f(x_i)$，其中每个 $x_i$ 和每个 $y_i$ 都是相关的，也就是每个 $y_i$ 是单独从 $x_i$ 映射过来的函数。

函数 $f(x)$ 的雅可比矩阵就是每个 $y_i$ 分别对每个 $x_i$ 求偏导，然后构成的矩阵叫做雅可比矩阵：

5.2 雅克比矩阵示例

自变量 $x_1,x_2,x_3$ 根据函数 $f(x)$ 映射为因变量 $y_1,y_2$，那么 $y_1$ 是 $x_1,x_2,x_3$ 的函数， $y_2$ 也是 $x_1,x_2,x_3$ 的函数，那么函数 $f(x)$ 的雅可比矩阵如下：

六、Hessian矩阵

6.1 Hessian矩阵定义

🚩$Hessian$ 矩阵是对于一个多元函数来说的，它就相当于一元函数的二阶导数。有一个关于 $x$ 的 $n$ 元函数 $f(x)$，自变量为 $x_1,x_2,...x_n$，那么 $Hessian$ 矩阵为：

Hessian 矩阵是一个 $n\times n$ 的矩阵，里面的元素是二阶偏导数构成的。第一个元素是对 $x_1$ 求二阶偏导数，第二个元素是对 $x_1,x_2$ 求偏导数，因为咱们前面讲过，多元函数高阶偏导数和顺序无关，所以 $Hessian$ 矩阵是对称矩阵。

6.2 实例演示Hessian矩阵

$f(x,y,z)=3x^2-4xy+y^2-3z^2$

首先求函数 $f(x,y,z)$ 的一阶偏导数：

• $f^{\prime }x=6x-4y$
• $f^{\prime }y=-4x+2y$
• $f^{\prime }z=-6z$

然后求解 $Hessian$ 矩阵：

$Hessian$ 矩阵和函数的凹凸性是有密切关系的，如果 $Hessian$ 矩阵正定，可以说函数 $f(x)$ 是凸函数，如果是负定，它就是凹函数 。矩阵正定是如何判定的呢？

七、极值判别法则

7.1 极值判定条件

🚩对于一元函数，我们前面讲过， $f(x)$ 的一阶导数等于 $0$ 处有极值，当 $f(x)$ 的二阶导数大于 $0$ 时是极小值，当 $f(x)$ 的二阶导数小于 $0$ 时是极大值，可以参考 $f(x)=x^2$ 的这个函数，其二阶导数是 $f^{\prime \prime }(x)=2$，那么该函数是凸函数。

多元函数的极值判别法则，首先 $f(x)$ 的一阶导数等于 $0$，这点是驻点，那它就可能是极值点，它是极大值还是极小值或者不是极值怎么判定的？

看 $Hessian$ 矩阵，在 $f(x)$ 的一阶导数等于 $0$ 处，就是驻点处。

• 如果 $Hessian$ 矩阵是正定的话，函数在该点有极小值；
• 如果 $Hessian$ 矩阵是负定的话，函数在该点有极大值；
• 如果 $Hessian$ 矩阵不定，函数在该点不是极值；

7.2 实对称矩阵正定负定判定

🚩实对称矩阵 $A$ 正定负定判定条件：

• 对于任意向量 $\vec{v}\ne 0$，都有 ${\vec{v}}^{T}A\vec{v}>0$，那么 $A$ 就是正定矩阵；
• 对于任意向量 $\vec{v}\ne 0$，都有 ${\vec{v}}^{T}A\vec{v}<0$，那么 $A$ 就是负定矩阵；

实对称矩阵 $A$ 负定，代码演示：

import numpy as np
A = np.array([[-2, -3, -1],[-3, -6, -4],[-1, -4, -5]])
v = np.array([-2, -3, -7])
print('给定向量任意向量v：', v)
print('求解矩阵A正定判定条件结果是：', v.T.dot(A).dot(v))

实对称矩阵 $A$ 正定，代码演示：

import numpy as np
A = np.array([[5, 1, -4],[1, 3, -2],[-4, -2, 7]])
v = np.random.randint(-50, 50,size = 3)
print('给定向量任意向量v：', v)
print('求解矩阵A正定判定条件结果是：', v.dot(A).dot(v))

但是这样不太容易判断，我们还可以根据特征值正负去判断矩阵正定与否：

• 矩阵 $A$ 的特征值全部大于 $0$，那么矩阵 $A$ 为正定矩阵；
• 矩阵 $A$ 的特征值全部小于 $0$，那么矩阵 $A$ 为负定矩阵；

实对称矩阵 $A$ 负定，特征值代码演示：

import numpy as np
A = np.array([[-2, -3, -1],[-3, -6, -4],[-1, -4, -5]])
w,v = np.linalg.eig(A)
print('矩阵A的特征值特征向量是：')
display(w, v)

实对称矩阵 $A$ 正定，特征值代码演示：

import numpy as np
A = np.array([[5, 1, -4],[1, 3, -2],[-4, -2, 7]])
np.linalg.eig(A)

八、二次型

8.1 二次型定义

🚩二次型就是纯二次项构成的一个函数 。

因为二次函数（方程）的二次部分最重要，为了方便研究，我们把含有 $n$ 个变量的二次齐次函数：

称为二次型。

8.2 二次型表示

🚩我们可以通过矩阵来进行表示

二次型通俗表现形式：

二次型矩阵表示：

$n$ 个变量的二次齐次函数矩阵表示：

8.3 二次型应用

🚩在机器学习中，我们可以根据数据分布进行模型选择：

• 如果数据分布是一次型的，那我们就可以选择 $Logistic$ $Regression$、$SVM$ 等分界面为一次型的模型；
• 如果数据分布是二次型的，我们可以选择 $naive$ $bayes$；
• 如果数据分布既不是一次型也不是二次型，那我们可以选择基于决策树的模型，例如 $GBDT$、随机森林等，或者 $DNN$（深度神经网络），这些模型都高度非线性，表达能力极强理论上可以拟合任意曲线。

8.4 Hessian矩阵与二次型

将 $Hessian$ 矩阵 $A$ 转换为二次型：

$f(x)={\vec{x}}^{T}A\vec{x}$，其中 $\vec{x}$ 表示非零任意向量。

• $f(x)>0,\vec{x}\ne 0,x\in R$，则 $f(x)$ 为正定二次型，$A$ 为正定矩阵
• $f(x)\ge 0,\vec{x}\ne 0,x\in R$，则 $f(x)$ 为半正定二次型，$A$ 为半正定矩阵
• $f(x)<0,\vec{x}\ne 0,x\in R$，则 $f(x)$ 为负定二次型，$A$ 为负定矩阵
• $f(x)\le 0,\vec{x}\ne 0,x\in R$，则 $f(x)$ 为半负定二次型，$A$ 为半负定矩阵
• 以上皆不是，就叫做不定

正定效果图，如下所示：

半正定效果图，如下：

不定效果图，如下：