一、树与二叉树的基本概念和性质

1. 树的的性质

1）树中的结点数 n 等于所有结点的度数之和加 1

【说明】结点的度是指该结点的孩子数量，每个结点与其每个孩子都由唯一的边相连，因此树中所有结点的度数之和等于树中的边数之和。树中的结点（除根外）都有唯一的双亲，因此结点数 n 等于边数之和加 1，即所有结点的度数之和加 1 。

常用于求解树结点与度之间关系的有：
① 总结点数＝ n₀＋ n₁ + n₂ + …+ n_m；
② 总分支数＝ 1n₁ + 2n₂ + …+ mn_m （度为 m 的结点引出 m 条分支）；
③ 总结点数＝总分支数 ＋ 1 。

2）度为 m 的树中第 i 层上至多有 m^i-1 个结点（i>=1）

【说明】第 1 层至多有 1 个结点（即根结点），第 2 层至多有 m 个结点，第 3 层至多有 m² 个结点，以此类推。使用数学归纳法可推出第 i 层至多有 m^i-1个结点。

3）高度为 h 的 m 叉树至多有 (m^h - 1) / (m - 1) 个结点

【说明】当各层结点数达到最大时，树中至多有 1 + m + m² +…+ m^h-1 = (m^h - 1) / (m - 1) 个结点。

4）具有 n 个结点的 m 叉树的最小高度 h 为 ⌈log_m(n × (m - 1) + 1)⌉

【说明】为使树的高度最小，在前 h - 1 层中，每层的结点数都要达到最大，前 h - 1 层最多有 (m^h-1 - 1) / (m - 1) 个结点，前 h 层最多有 (m^h - 1) / (m - 1) 个结点。因此 (m^h-1 - 1) / (m - 1) < n <= (m^h - 1) / (m - 1) ，即 h - 1 < log_m(n × (m - 1) + 1) <= h，解得 h_min = ⌈log_m(n × (m - 1) + 1)⌉。

5）具有 n 个结点的 m 叉树的最大高度 h 为 n - m + 1

【说明】由于树的度为 m ， 因此至少有一个结点有 m 个孩子，它们处于同一层。为使树的高度最大，其他层可仅有一个结点，因此最大高度（层数）为 n - m + 1 。由此，也可逆推出高度为 h、度为 m 的树至少有 h + m - 1 个结点。

2. 二叉树的性质

1）非空二叉树上的叶结点数等于度为 2 的结点数加 1 ，即 n₀ ＝ n₂ + 1

【证明】设度为 0、1 和 2 的结点个数分别为 n₀、n₁ 和 n₂，结点总数 n = n₀ + n₁ + n₂ 。再看二叉树中的分支数，除根结点外，其余结点都有一个分支进入，设 B 为分支总数，则 n = B + 1 。由于这些分支是由度为 1 或 2 的结点射出的，所以又有 B = n₁ + 2n₂ 。于是得 n₀ + n₁ + n₂ = n₁ + 2n₂ + 1，则n₀ ＝ n₂ + 1 。

2）非空二叉树的第 k 层至多有 2^k-1 个结点（k>=1）

【说明】第 1 层至多有 2⁰ = 1 个结点（根），第 2 层至多有 2¹ = 2 个结点，以此类推，可以证明其为一个公比为 2 的等比数列 2^k-1 。

3）高度为 h 的二叉树至多有 2^h - 1 个结点（h>=1）

【说明】该性质利用性质2) 求前 h 项的和，即等比数列求和的结果。

性质2) 和 3) 还可以拓展到 m 叉树的情况，即 m 叉树的第 k 层最多有 m^k-1 个结点，高度为 h 的 m 叉树至多有 (m^k - 1) / (m - 1) 个结点。

4）对完全二叉树按从上到下、从左到右的顺序依次编号 1, 2, …, n， 则有以下关系：

① 当 i > 1 时，结点 i 的双亲的编号为 ⌊n / 2⌋，即当 i 为偶数时，其双亲的编号为 i / 2, 它是双亲的左孩子；当 i 为奇数时，其双亲的编号为 (i - 1) / 2, 它是双亲的右孩子。

② 当 2i <= n 时，结点 i 的左孩子编号为 2i，否则无左孩子。

③ 当 2i + 1 <= n 时，结点 i 的右孩子编号为 2i + 1 ，否则无右孩子。

④ 结点 i 所在层次（深度）为 ⌊log₂i⌋ + 1。

5）具有 n 个(n >0) 结点的完全二叉树的高度为 ⌈log₂(n + 1)⌉ 或 ⌊log₂n⌋ + 1

【证明】设高度为 h，根据性质3) 和完全二叉树的定义有：2^h-1 - 1 < n <= 2^h - 1 或者 2^h-1 <= n < 2^h，得 2^h-1 < n + 1 <= 2^h ，即 h - 1 < log₂(n + 1) <= h，因为 h 是正整数，所以 h = ⌈log₂(n + 1)⌉，或者得 h - 1 <= log₂n < h，所以 h = ⌊log₂n⌋ + 1。

3. 二叉树与度为 2 的有序树的区别

1）度为 2 的树至少有 3 个结点，而二叉树可以为空。

2）度为 2 的有序树的孩子的左右次序是相对于另一孩子而言的，若某个结点只有一个孩子，则这个孩子就无须区分其左右次序，而二叉树无论其孩子数是否为 2，均需确定其左右次序，即二叉树的结点次序不是相对于另一结点而言的，而是确定的。

4. 几种特殊的二叉树

1）满二叉树：一棵高度为 h, 且含有 2^h- 1 个结点的二叉树称为满二叉树，即树中的每层都含有最多的结点。满二叉树的叶结点都集中在二叉树的最下一层，并且除叶结点之外的每个结点度数均为 2 。

可以对满二叉树按层序编号：约定编号从根结点（根结点编号为 1 ) 起，自上而下，自左向右。这样，每个结点对应一个编号，对于编号为 i 的结点，若有双亲，则其双亲为 ⌊i / 2⌋，若有左孩子，则左孩子为 2i；若有右孩子，则右孩子为 2i + 1 。

2）完全二叉树：高度为 h 、有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每个结点都与高度为 h 的满二叉树中编号为 1~n 的结点一一对应时，称为完全二叉树，其特点如下：

① 若 i <= ⌊n / 2⌋，则结点 i 为分支结点，否则为叶结点，即最后一个分支结点的编号为 ⌊n / 2⌋ 。

② 叶结点只可能在层次最大的两层上出现。对于最大层次中的叶结点，都依次排列在该层最左边的位置上（若删除满二叉树中最底层、最右边的连续 2 个或以上的叶结点，则倒数第二层将会出现叶结点）。

③ 若有度为 1 的结点，则最多只可能有一个，且该结点只有左孩子而无右孩子（重要特征，度为 1 的分支结点只可能是最后一个分支结点，其结点编号为 ⌊n / 2⌋ ）。

④ 按层序编号后，一旦出现某结点（如结点 i ) 为叶结点或只有左孩子，则编号大于 i 的结点均为叶结点。（与结论①和结论③是相通的）。

⑤ 若 n 为奇数，则每个分支结点都有左孩子和右孩子；若 n 为偶数，则编号最大的分支结点（编号为 n / 2 ) 只有左孩子，没有右孩子，其余分支结点都有左、右孩子。

3）二叉排序树：左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字；右子树上的所有结点的关键字均大于根结点的关键字；左子树和右子树又各是一棵二叉排序树。

4）平衡二叉树：树上任意一个结点的左子树和右子树的深度之差不超过 1 。

有关二叉排序树和平衡二叉树的内容详见：【树形结构查找（BST、AVL树、RBT）】

5）正则二叉树：树中每个分支结点都有 2 个孩子，即树中只有度为 0 或 2 的结点。

正则k叉树：树中每个分支结点都有 k 个孩子，即树中只有度为 0 或 k 的结点。

5. 有关树与二叉树性质的例题

① 【2010 统考真题】在一棵度为 4 的树 T 中，若有 20 个度为 4 的结点、10 个度为 3 的结点、1 个度为 2 的结点和 10 个度为 1 的结点，则树 T 的叶结点个数是（ B ）。
A. 41
B. 82
C. 113
D. 122

② 【2016 统考真题】若森林 F 有 15 条边、25 个结点，则 F 包含树的个数是（ C ）。
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11

③ 【2009 统考真题】已知一棵完全二叉树的笫 6 层（设根为第 1 层）有 8 个叶结点，则该完全二叉树的结点个数最多是（ C ）。
A. 39
B. 52
C. 111
D. 119

④ 【2011 统考真题】若一棵完全二叉树有 768 个结点，则该二叉树中叶结点的个数是（ C ）。
A. 257
B. 258
C. 384
D. 385

⑤ 【2018 统考真题】设一棵非空完全二叉树 T 的所有叶结点均位于同一层，且每个非叶结点都有 2 个子结点。若 T 有 k 个叶结点，则 T 的结点总数是（ A ）。
A. 2 × k - 1
B. 2 × k
C. k²
D. 2^k - 1

⑥【2020 统考真题】对于任意一棵高度为 5 且有 10 个结点的二叉树，若采用顺序存储结构保存，每个结点占 1 个存储单元（仅存放结点的数据信息），则存放该二叉树需要的存储单元数量至少是（ A ）。
A. 31
B. 16
C. 15
D. 10

⑦ 【2022 统考真题】若三叉树 T 中有 244 个结点（叶结点的高度为 1 ），则 T 的高度至少是（ C ）。
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5

二、图的基本概念和性质

1. 图的一些基本概念和术语

1）有向图与无向图：

若 E 是无向边（简称边）的有限集合时，则图 G 为无向图。边是顶点的无序对，记为 (v, w) 或 (w, v）。可以说 w 和 v 互为邻接点。边 (v, w) 依附于 w 和 v , 或称边 (v, w) 和 v, w 相关联。

若 E 是有向边（也称弧）的有限集合时，则图 G 为有向图。弧是顶点的有序对，记为 <v, w>，其中 v, w 是顶点，v 称为弧尾，w 称为弧头，<v, w> 称为从 v 到 w 的弧，也称 v 邻接到 w 。

2）简单图与多重图：

一个图 G 如果满足：
① 不存在重复边；
② 不存在顶点到自身的边。
那么称图 G 为简单图。若图 G 中某两个顶点之间的边数大于 1 条，又允许顶点通过一条边和自身关联，则称图G 为多重图。多重图和简单图的定义是相对的。【数据结构中仅讨论简单图】

3）完全图（又称简单完全图）

对于无向图，|E| 的取值范围为 0 到 n × (n - 1) / 2，有 n × (n - 1) / 2 条边的无向图称为完全图，在完全图中任意两个顶点之间都存在边。

对于有向图，|E| 的取值范围为 0 到 n × (n - 1) ， 有 n × (n - 1) 条弧的有向图称为有向完全图，在有向完全图中任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧。

4）子图与生成子图：

设有两个图 G = (V, E) 和 G’= (V’, E’），若 V’ 是 V 的子集，且 E’ 是 E 的子集，则称 G’ 是 G 的子图。若有满足 V(G’) = V(G) 的子图 G’ ，则称其为 G 的生成子图。

并非 V 和 E 的任何子集都能构成 G 的子图，因为这样的子集可能不是图，即 E 的子集中的某些边关联的顶点可能不在这个 V 的子集中。

5）连通、连通图和连通分量：（针对无向图）

① 在无向图中，若从顶点 v 到顶点 w 有路径存在，则称 v 和 w 是连通的。
② 若图 G 中任意两个顶点都是连通的，则称图 G 为连通图，否则称为非连通图。
③ 无向图中的极大连通子图称为连通分量。

连通的无向图只有一个极大连通子图，即它本身。

假设一个图有 n 个顶点，如果边数小于 n - 1，那么此图必是非连通图。
【思考】：如果图是非连通图，那么最多可以有多少条边？
【答】：由 n - 1 个顶点构成一个完全图，此时再加入一个顶点则变成非连通图。

6）强连通、强连通图和强连通分量：（针对无向图）

① 在有向图中，如果有一对顶点 v 和 w，从 v 到 w 和从 w 到 v 之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的。
② 若图中任何一对顶点都是强连通的，则称此图为强连通图。
③ 有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。

【思考】：假设一个有向图有 n 个顶点，如果是强连通图，那么最少需要有多少条边？
【答】：至少需要 n 条边，构成一个环路。

在无向图中讨论连通性，在有向图中讨论强连通性。

7）生成树与生成森林：

连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。若图中顶点数为 n，则它的生成树含有 n-1 条边。包含图中全部顶点的极小连通子图，只有生成树满足这个极小条件，对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路。

在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。

区分极大连通子图和极小连通子图。极大连通子图是无向图的连通分量，极大即要求该连通子图包含其所有的边； 极小连通子图是既要保持图连通又要使得边数最少的子图。

8）顶点的度、入度和出度：

在无向图中，顶点 v 的度是指依附于顶点 v 的边的条数，记为TD(v) 。无向图的全部顶点的度的和等于边数的 2 倍，因为每条边和两个顶点相关联。

在有向图中，顶点 v 的度分为入度和出度，入度是以顶点 v 为终点的有向边的数目，记为 ID(v)；而出度是以顶点 v 为起点的有向边的数目，记为 OD(v) 。顶点 v 的度等于其入度与出度之和，即 TD(v) = ID(v) + OD(v) 。有向图的全部顶点的入度之和与出度之和相等，并且等于边数，这是因为每条有向边都有一个起点和终点。

9）边的权和网：

在一个图中，每条边都可以标上具有某种含义的数值，该数值称为该边的权值。这种边上带有权值的图称为带权图，也称网。

10）稠密图与稀疏图：

边数很少的图称为稀疏图，反之称为稠密图。稀疏和稠密本身是模糊的概念，稀疏图和稠密图常常是相对而言的。一般当图 G 满足 |E| ＜|V|log|V| 时，可以将 G 视为稀疏图。

11）路径、路径长度和回路：

顶点 v_p 到顶点 v_q 之间的一条路径是指顶点序列 v_p, v_i1, v_i2, …, v_im, v_q，当然关联的边也可理解为路径的构成要素。路径上边的数目称为路径长度。第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环。若一个图有 n 个顶点，并且有大于 n - 1 条边，则此图一定有环。

12）简单路径与简单回路：

在路径序列中，顶点不重复出现的路径称为简单路径。除第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路。

13）距离：

从顶点 u 出发到顶点 v 的最短路径若存在，则此路径的长度称为从 u 到 v 的距离。若从 u 到 v 根本不存在路径，则记该距离为无穷（∞）。

14）有向树：

一个顶点的入度为 0 、其余顶点的入度均为 1 的有向图，称为有向树。

2. 有关图性质的例题

① 【2009 统考真题】下列关于无向连通图特性的叙述中，正确的是（ A ）。
I. 所有顶点的度之和为偶数
II. 边数大于顶点个数减 1
III. 至少有一个顶点的度为 1
A. 只有 I
B. 只有 II
C. I 和 II
D. I 和 III

② 【2010 统考真题】若无向图 G = (V, E) 中含有 7 个顶点，要保证图 G 在任何情况下都是连通的，则需要的边数最少是（ C ）。
A. 6
B. 15
C. 16
D. 21

③【2017 统考真题】已知无向图 G 含有 16 条边，其中度为 4 的顶点个数为 3,，度为 3 的顶点个数为 4，其他顶点的度均小于 3。图 G 所含的顶点个数至少是（ B ）。
A. 10
B. 11
C. 13
D. 15

④ 【2022 统考真题】对于无向图 G = (V, E), 下列选项中，正确的是（ D ）。
A. 当 |V| > |E| 时，G 一定是连通的
B. 当 |V| < |E| 时，G 一定是连通的
C. 当 |V| = |E| - 1 时，G 一定是不连通的
D. 当 |V| > |E| + 1 时，G 一定是不连通的