【Matlab】求解微分方程{上}(通解和特解)

求解微分方程

desolve函数
- 实例1
- 实例2
- 实例3
- 实例4
求解有条件的微分方程
微分方程显示隐式解
未找到显式解决方案时查找隐式解决方案
求微分方程级数解
为具有不同单边限制的函数指定初始条件（特解）
练习题

desolve函数

S = dsolve(eqn)求解微分方程eqn，其中eqn是符号方程。使用diff和==来表示微分方程。例如，diff(y,x) == y表示方程dy / dx  =  y。通过指定 eqn为这些方程的向量来求解微分方程组。S = dsolve(eqn,cond)eqn用初始或边界条件求解cond。S = dsolve(___,Name,Value) 使用由一个或多个Name,Value对参数指定的附加选项。[y1,...,yN] = dsolve(___)将解分配给变量y1,...,yN。

求解y关于什么的函数就要声明为y (x) ，必须使用syms来声变量, 否则会被警告

实例1

$\frac{d}{{dx}}\operatorname{y} \left( t \right) = - 3\operatorname{y} \left( t \right)$

%案例一
clear all
clc
syms y(t); 
eqn=diff(y,t) == -3*y
F=dsolve(eqn)
latex(F)

在这里插入图片描述
$C_{1}\,{\mathrm{e}}^{-3\,t}$

实例2

%案例二
clear all
clc
syms y(t) a
eqn = diff(y,t) == a*y
S = dsolve(eqn)

结果和上面相似

实例3

$\frac{d}{{dx}}\operatorname{y} \left( t \right) = 3{x^2}$

%案例三
clear all
clc
syms y(t) x
eqn=diff(y,t)==3*x^2
F=dsolve(eqn) 
latex(F)

在这里插入图片描述
$3\,t\,x^2+C_{1}$

实例4

$\frac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}\operatorname{y} \left( t \right) = a\operatorname{y} \left( t \right)$

%二阶案例一
clear all
clc
syms y(t) a
eqn = diff(y,t,2) == a*y
ySol(t) = dsolve(eqn)
latex(ySol(t))

在这里插入图片描述
$C_{1}\,{\mathrm{e}}^{-\sqrt{a}\,t}+C_{2}\,{\mathrm{e}}^{\sqrt{a}\,t}$

求解有条件的微分方程

$\begin{gathered} \frac{{dy}}{{dt}} = z \\ \frac{{dz}}{{dt}} = - y \\ \end{gathered}$

%有条件的微分方程
clear all
clc
syms y(t) z(t)
eqns = [diff(y,t) == z, diff(z,t) == -y]
S = dsolve(eqns)

dsolve返回一个包含解的结构
在这里插入图片描述

%有条件的微分方程案例1
clear all
clc
syms y(t) z(t)
eqns = [diff(y,t) == z, diff(z,t) == -y]
S = dsolve(eqns)
ySol(t) = S.y
zSol(t) = S.z

在这里插入图片描述
$C_{1}\,\cos\left(t\right)+C_{2}\,\sin\left(t\right)$
$C_{2}\,\cos\left(t\right)-C_{1}\,\sin\left(t\right)$
$\left( {\frac{\partial }{{\partial t}}\operatorname{y} \left( t \right) = 4\operatorname{z} \left( t \right)\,\frac{\partial }{{\partial t}}\operatorname{z} \left( t \right) = -3\operatorname{y} \left( t \right)} \right)$

%有条件的微分方程案例2
clear all
clc
syms y(t) z(t)
eqns = [diff(y,t) == 4*z, diff(z,t) == -3*y]
S = dsolve(eqns)
ySol(t) = S.y
zSol(t) = S.z

在这里插入图片描述
其实也可以直接用

%输出分配
[ySol(t),zSol(t)] = dsolve(eqns)

在这里插入图片描述

微分方程显示隐式解

$\frac{\partial }{{\partial x}}\operatorname{y} \left( x \right) = {e^{ - \operatorname{y} \left( x \right)}} + \operatorname{y} \left( x \right)$

%这里我们设置"Inplicit"为True
sol = dsolve(eqn,'Implicit',true)

%求微分方程的显式和隐式解
clear all
clc
syms y(x)
eqn = diff(y) == y+exp(-y)
sol = dsolve(eqn)
sol = dsolve(eqn,'Implicit',true)

在这里插入图片描述

未找到显式解决方案时查找隐式解决方案

$\frac{\partial }{{\partial t}}\operatorname{y} \left( x \right) = \operatorname{y} \left( x \right) + \frac{a}{{\sqrt {\operatorname{y} \left( x \right)} }}$
同时我们已知 $y (a) = 1$

%当未找到显式解决方案时查找隐式解决方案
clear all
clc
syms a y(t)
eqn = diff(y,t) == a/sqrt(y) + y
cond = y(a) == 1;
ySimplified = dsolve(eqn, cond)

在这里插入图片描述若要返回包含参数a的所有可能值的解决方案，请通过将"lgnoreAnalyticConstraints"设置为false来关闭简化。

yNotSimplified = dsolve(eqn,cond,'IgnoreAnalyticConstraints',false)

%当未找到显式解决方案时查找隐式解决方案
clear all
clc
syms a y(x)
eqn = diff(y,x) == a/sqrt(y) + y
cond = y(a) == 1;
ySimplified = dsolve(eqn, cond)
yNotSimplified = dsolve(eqn,cond,'IgnoreAnalyticConstraints',false)

在这里插入图片描述

求微分方程级数解

dsolve返回包含未计算积分项的解
$\left( {x + 1} \right)\frac{\partial }{{\partial x}}\operatorname{y} \left( x \right) - \operatorname{y} \left( x \right) + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}}\operatorname{y} \left( x \right) = 0$

%级数1
clear all
clc
syms y(x)
eqn = (x^2-1)^2*diff(y,2) + (x+1)*diff(y) - y == 0
S = dsolve(eqn)

在这里插入图片描述
但是若要返回x=-1附近微分方程的级数解，请将“ExpansionPoint"设置为 -1。dsolve 根据Puiseux级数展开返回两1个线性无关的解。

在这里插入图片描述
通过将‘ExpansionPoint’设置为 $I n f$ ,找到围绕扩展点 $\infty$ 的其他级数解

为具有不同单边限制的函数指定初始条件（特解）

$\frac{\partial }{{\partial x}}\operatorname{y} \left( x \right) = \frac{{{e^{ - \frac{1}{x}}}}}{{{x^2}}}$

%添加条件
clear all
clc
syms y(x)
eqn = diff(y) == exp(-1/x)/x^2
ySol(x) = dsolve(eqn)

在这里插入图片描述
设初始条件 $y (0) = 2$ ,则须添加下列代码：

cond = y(0) == 2;
S = dsolve(eqn,cond)

在这里插入图片描述

练习题

可以直接敲代码试试
$\frac{{dy}}{{dt}} + 4\operatorname{y} \left( t \right) = {e^{ - t}},y(0)=1$
在这里插入图片描述
$2{x^2}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} + 3x\frac{{dy}}{{dx}} - y = 0$

The Airy equation.
$\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = x\operatorname{y} \left( x \right)$