如何通俗地理解熵？

熵，是一个热力学的概念。但在历史的发展中，造就了它非常丰富的内涵，进入了很多学科的视野。本文会在数理层面对它进行一个解读，厘清它在逻辑上到底是什么。

1 混乱的熵

很多科普文章中，都提到熵是用来度量混乱的。比如下面这幅动图，单词“Entropy”（熵的英文）可见的时候，熵最小，这个时候最有秩序；而被打乱的时候，熵开始增大，直到最后一片混乱，熵变成最大：

熵之所以很重要，是因为它总结了宇宙的基本发展规律：宇宙中的事物都有自发变得更混乱的倾向，也就是说熵会不断增加，这就是。

比如说自己的卧室，要是不去收拾它，就会变得越来越混论，或者说熵不断增大（下图中上面的房间比下面的房间熵要小）：

要是年久失修，建筑物会日益破败（下图中左边的建筑物就比右边的废墟的熵小）：

不过对混乱的判断是带有主观色彩的，甚至有一些审美的意味。比如，如何判断雾更混乱还是露珠更混乱（雾的熵更大）：

有同学喜欢“雾失楼台，月迷津渡”这样的感觉，那么可能觉得雾更有秩序；而有的同学可能更喜欢“蒹葭苍苍，白露为霜”，就很可能觉得露水更有秩序。总之通过混乱去理解熵的话，容易误解，不够精确。

2 可能的熵

所谓的整洁，指的是合适的物品放在合适的位置。比如将下图定义为“整洁”，也就是说图中大概有20件可以移动的物品，都放在了合适的位置：

而实际上，图中至少有100个可以放置物品的位置（墙上的壁画歪着挂，也可以看作换了一个位置）。通过组合，可算出20件物品放置在100个位置上，其总的放置方法为非常巨大的数字：

如果“整洁”被定义为上图中的放置方法，其余都统统称为“混乱”。那么“整洁”在所有放置方法中的占比，即“整洁”出现的概率是非常小的，几乎为不可能事件；而“混乱”几乎为必然事件，所以“整洁”很容易变为“混乱”：

熵越大，意味着发生的可能性越大。而整个宇宙，自发地朝着可能性更大的方向，也就是熵更大的方向在发展，这就是的更准确的描述（要强调下，如果有人去收拾房间，那就不叫作“自发”）。

3 玻尔兹曼的熵的定义

3.1 玻尔兹曼

上面是对熵通俗的讲解（emm，应该算通俗吧），下面开始进行一些严格的讨论。写到这里有点惶恐，熵是热力学的核心概念，而本人对热力学的了解止于皮毛，所以之后的内容只能保证在个人理解范围内尽量严谨，抛砖引玉，望同学们斧正。

在不同的历史阶段，克劳修斯、玻尔兹曼、吉布斯、香农等大咖都给出过不同的熵的定义。这些熵的定义本质是统一的，它们之间的差异反映了人们对熵的认知的发展。下面主要介绍玻尔兹曼对熵的定义：

他对熵的定义如下：

这个公式将传统的热力学重建在了统计上，奠定了统计力学的基础。但它太过于跨时代，招来了很多的非议。玻尔兹曼本身精神状况欠佳，而学术上的攻击可能是最后一根稻草，最后他在情绪失控中自缢身亡。死后人们才慢慢接受了他的结论，并将这个公式镌刻在位于维也纳中央公墓的玻尔兹曼的墓碑上（下图中墓碑的顶端，刻着的就是这个公式）：

3.2 宏观态与微观态

玻尔兹曼提出了一个有趣的问题：屋子里空气分子，会不会突然全跑到左半边去，从而让右边的人憋死？用脚趾头想都知道，答案肯定是不会的。下面来看看玻尔兹曼是怎么解释的，并且借用这个例子来说明熵的定义是什么意思。

下面把问题进行简化，假设房间中只有四个空气分子，用不同颜色来标记这四个空气分子。这四个空气分子在房间中可能的情况全部列举如下：

上面这幅图分为左右两侧，左边的文字称为“宏观态”；右边的分子分布状态，称为“微观态”。比如宏观态“左二右二”，指的是房间左边有两个分子，右边也有两个分子，这个时候人们会从宏观上感受到空气是均匀的，不论你站在房间的哪一边都不会被憋死；但是，在微观上对应的是六种分子的分布，而总共有16种分子分布，所以宏观态“左二右二”发生的概率为：