中值定理

1.要证明一个不等式，有常数a和b，且出现了g(b)-g(a)和b-a，则一般使用拉格朗日中值定理，将g(b)-g(a)化为g'(ξ)(b-a)，证明g'(ξ)大于或小于原式中(b-a)的系数

例如，证明：当e<a<b<e^2时

解：令g(x)=ln^2(x)，证明g(x)在x属于(e,e^2)时大于4/e^2即可

但也有例外，例如证明：当0<a<b时，

就不能用朗格朗日，而是设

然后证明φ(a)=0，当x>0时φ‘(x)<0

2.若出现了f''(x)大于0或小于0，要证明一个不等式，则对f(x)做带有拉格朗日余项的泰勒展开式，展开到最后一项为

3.求数列极限时，若出现，且x0=f(x0)，也可以考虑使用中值定理，得到

最后不断递推，得到，如果能确认f'小于1，则能确认xn趋于x0

零点问题

1.求f'(x)零点，一般是证明f(x)连续，且极大（xiao）值存在，或者最大（小）值不在两端。

如果想用f'(a)f'(b)<0，则一定要证明f'(x)在[a,b]上连续，而f(x)可导无法证明这一点

2.求f(x)零点，除了证明f(x)连续且f(a)f(b)<0，和根据单调区间求零点个数，还可以利用罗尔定理

例如证明f(x)零点存在，可以构造一个函数g(x)，令g'(x)=f(x)，然后证明g(a)=g(b)，则g'(ξ)=f(ξ)=0，f(x)零点存在

对于简单的式子，构造方法就是求积分，对于复杂的式子，就看f(x)能否写成ψ'(x)φ(x)+ψ(x)φ‘(x)的形式，则g(x)=ψ(x)φ(x)+C