模拟退火算法(Simulated Annealing, SA)的思想借 鉴于固体的退火原理，当固体的温度很高的时候，内能比
较大，固体的内部粒子处于快速无序运动，当温度慢慢降 低的过程中，固体的内能减小，粒子的慢慢趋于有序，最
终，当固体处于常温时，内能达到最小，此时，粒子最为 稳定。模拟退火算法便是基于这样的原理设计而成。

模拟退火算法过程
(1)随机挑选一个单元k，并给它一个随机的位移，求出系统因此而产生的能
量变化ΔEk。
(2)若ΔEk⩽ 0，该位移可采纳，而变化后的系统状态可作为下次变化的起点；
若ΔEk>0，位移后的状态可采纳的概率为

式中T为温度，然后从(0,1)区间均匀分布的随机数中挑选一个数R，若R<Pk，
则将变化后的状态作为下次的起点；否则，将变化前的状态作为下次的起点。
(3)转第(1)步继续执行，知道达到平衡状态为止。

利用模拟退火算法工具箱求解问题：

%%
clc;clear;
%%普通的目标函数
fun = @dejong5fcn %目标函数
%[x,fval] = simulannealbnd(fun,[0,0])%[0,0]凭经验猜测的初始值，没有的话，随意写就行
options = saoptimset('PlotFcns',{@saplotbestx,@saplotbestf,@saplotx,@saplotf})
x0 = [0,0];
lb = [-64,-64];%下限
ub = [64,64];%下限
[x,fval] = simulannealbnd(fun,x0,lb,ub,options);
%%
求：
% min f(x) = (4 - 2.1*x1^2 + x1^4/3)*x1^2 + x1*x2 + (-4 + 4*x2^2)*x2^2;
% 写成函数形式
% function y = simple_objective(x)
%    y = (4 - 2.1*x(1)^2 + x(1)^4/3)*x(1)^2 + x(1)*x(2) + (-4 + 4*x(2)^2)*x(2)^2;
%%
fun = @simple_objective;%注意需要将其放在最前面
X0 = [0.5 0.5];   % 初始点
lb = [-64 -64];
ub = [64 64];
[x,fval,exitFlag,output] = simulannealbnd(fun,X0,lb,ub);
fprintf('The number of iterations was : %d\n', output.iterations);
fprintf('The number of function evaluations was : %d\n', output.funccount);
fprintf('The best function value found was : %g\n', fval);
%%%  求：
% min f(x) = (a - b*x1^2 + x1^4/3)*x1^2 + x1*x2 + (-c + c*x2^2)*x2^2;
% 
% 写成函数形式
% function y = parameterized_objective(x,a,b,c)
%    y = (a - b*x(1)^2 + x(1)^4/3)*x(1)^2 + x(1)*x(2) + (-c + c*x(2)^2)*x(2)^2;
%%带有常数的目标函数
a = 4; b = 2.1; c = 4;    % define constant values
fun = @(x) parameterized_objective(x,a,b,c);
X0 = [0.5 0.5];
options = saoptimset('PlotFcns',{@saplotbestx,@saplotbestf,@saplotx,@saplotf})
[x,fval] = simulannealbnd(fun,X0,options)
%自定义目标函数1
function y = parameterized_objective(x,a,b,c)y = (a - b*x(1)^2 + x(1)^4/3)*x(1)^2 + x(1)*x(2) + (-c + c*x(2)^2)*x(2)^2;
end
%自定义目标函数2
function y = simple_objective(x)y = (4 - 2.1*x(1)^2 + x(1)^4/3)*x(1)^2 + x(1)*x(2) + (-4 + 4*x(2)^2)*x(2)^2;
end

运行效果