容斥问题是什么

比如我们平常考试，我们会统计有几个语文及格，有几个数学及格，比如5个语文及格，2个数学及格，当然了，也会有大学霸两科都及格，比如1个人语文数学都及格，那我们班上一共有几个人呢？因为有人语文数学都及格，所以，我们不能简单地将5+2当答案，因为有一个大学霸被重复计算了两次（因为都及格了，所以语文及格里的一个人和数学里的一个人是同一个，被多算了1次），所以，我们班上实际只有5+2-1=6个人

容斥问题即包含与排斥问题，它是一种计数问题。在计数时，几个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分，采用这种计数方法的题型称为容斥问题。

——百度百科

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容斥问题的符号含义

这里我们就要提到集合的概念，简单来说，集合就相当于一个篮子，有的篮子装鸡蛋，有的装黄瓜，有的装语文及格的人

现在我们来讲一讲符号：

|A|

这个符号是求A这个集合有几个元素，比如，A这个集合装的是语文及格的人，这个集合里有小颜、小辑、大史，那这个集合元素个数就是3（集合里有3个人）

这个符号，是在A上面画一条横线，这个符号表示A的补集，比如A表示语文及格的人，那在A上面写这个符号，就表示语文不及格的人

A∪B

∪这个符号是什么意思呢？

这张图片中，有两个集合，一个是语文及格，一个是数学及格，而∪这个符号，表示的是这张图中被红线画到的地方，注意，这里图中的这样两个集合被画到的地方，叫做并集，而∪个符号，叫做并

A∩B

∩这个符号是什么意思？

∩ 表示的就是这张图中，被红线都画到的地方（也就是即在A集合，又在B集合）

再来考考你，|A∪B∪C|是什么意思？

答案：

A∪B∪C，就是A和B和C的并集，加上| |这个符号，|A∪B∪C|表示的就是A和B和C的并集的元素个数

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基本公式：

|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|

很好理解，因为|A∩B|被算了两次，所以要减去（和文章刚开始的问题一样）

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|

|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|这部分，和上一条公式一样，问题是为什么要加上|A∩B∩C|？

把ABC想象成三个圆形纸片，ABC叠加在一起的面积等于ABC面积之和减去两两重叠的部分，但是中间三者重叠的部分减去了三次，相当于被挖空了，所以还得加上它。