面试题08.05.递归算法

递归乘法。写一个递归函数，不使用 * 运算符，实现两个正整数的相乘。可以使用加号、减号、位移，但要吝啬一些。

示例1:

 输入：A = 1, B = 10
 输出：10

示例2:

 输入：A = 3, B = 4
 输出：12

提示:

保证乘法范围不会溢出

我的答案：

一、信息

- 需要实现一个递归函数来完成两个正整数的乘法。
- 不可以使用`*`运算符。
- 可以使用加号、减号、位移。
- 需要尽可能地减少操作的使用，即要吝啬一些。

二、分析

#### 思考过程中问题的出现：
1. **如何不使用`*`运算符来实现乘法？**
- 乘法可以看作是多次加法。例如，`3 * 4`可以看作是`4 + 4 + 4`。

2. **如何使用递归来实现乘法？**
- 可以将一个数分解为多个较小的数的和，然后递归地计算这些较小的数的乘积。

3. **如何减少操作的使用？**
- 可以使用位移操作来实现快速加法和减法。
- 可以通过减少递归的深度来减少操作的使用。

#### 问题的答案：
1. **乘法的实现**：
- 通过递归和加法来实现乘法。

2. **递归的使用**：
- 将一个数分解为多个较小的数的和，然后递归地计算这些较小的数的乘积。

3. **减少操作的使用**：
- 使用位移来实现快速加法和减法。
- 通过优化递归的实现来减少递归的深度。

#### 思路：
1. **基础思路**：
- 将乘法`A * B`看作是`A`加自己`B`次，或者`B`加自己`A`次。
- 使用递归来实现多次加法。

2. **优化思路**：
- 使用位移操作来实现快速加法和减法。
- 优化递归的实现，减少递归的深度。

三、步骤（算法流程图）

1. **基准情况**：
- 如果`A`或`B`中的任何一个为`1`，返回另一个数。
- 如果`A`或`B`中的任何一个为`0`，返回`0`。

2. **递归步骤**：
- 将`A`或`B`分解为两个较小的数的和，例如`A = A1 + A2`，`B = B1 + B2`。
- 递归地计算这些较小的数的乘积，例如`A1 * B1`，`A1 * B2`，`A2 * B1`，`A2 * B2`。
- 将这些乘积的结果相加，得到最终的乘积。

3. **优化**：
- 使用位移操作来实现快速加法和减法。
- 优化递归的实现，例如通过记忆化来避免重复计算。

这个流程图可以用伪代码来表示，如下：

function multiply(A, B):if A == 1:return Bif B == 1:return Aif A == 0 or B == 0:return 0A1, A2 = decompose(A)B1, B2 = decompose(B)product1 = multiply(A1, B1)product2 = multiply(A1, B2)product3 = multiply(A2, B1)product4 = multiply(A2, B2)return product1 + product2 + product3 + product

在实际实现时，可以进一步优化这个算法，例如通过记忆化来避免重复计算，或者通过位移操作来实现快速加法和减法。

四、具体实现

#### C语言实现

#include <stdio.h>int multiply(int A, int B) {if(A == 1) return B;if(B == 1) return A;if(A == 0 || B == 0) return 0;return B + multiply(A - 1, B);
}int main() {printf("%d\n", multiply(1, 10)); // 输出10printf("%d\n", multiply(3, 4)); // 输出12return 0;
}

#### C++语言实现

#include <iostream>class Solution {
public:int multiply(int A, int B) {if(A == 1) return B;if(B == 1) return A;if(A == 0 || B == 0) return 0;return B + multiply(A - 1, B);}
};int main() {Solution solution;std::cout << solution.multiply(1, 10) << std::endl; // 输出10std::cout << solution.multiply(3, 4) << std::endl; // 输出12return 0;
}

#### Java语言实现

public class Solution {public int multiply(int A, int B) {if(A == 1) return B;if(B == 1) return A;if(A == 0 || B == 0) return 0;return B + multiply(A - 1, B);}public static void main(String[] args) {Solution solution = new Solution();System.out.println(solution.multiply(1, 10)); // 输出10System.out.println(solution.multiply(3, 4)); // 输出12}
}

五、检查错误

在实际编写代码时，需要注意以下几点：
1. **递归终止条件**：确保所有的基准情况都被正确处理，例如`A`或`B`为`1`或`0`的情况。
2. **递归调用**：确保递归调用的参数是正确的，避免无限递归。
3. **返回值**：确保在所有路径上都有返回值。

六、三种语言实现的异同

#### 相同点：
1. **逻辑结构**：三种语言的实现在逻辑结构上是相同的，都是基于递归的方法来实现乘法。
2. **基准情况**：三种语言都需要处理基准情况，即`A`或`B`为`1`或`0`的情况。
3. **递归调用**：三种语言都使用递归调用来实现乘法。

#### 不同点：
1. **语法**：三种语言的语法有所不同，例如函数定义和调用的语法。
2. **输出**：三种语言输出的方式不同，C语言使用`printf`，C++使用`cout`，Java使用`System.out.println`。
3. **类的使用**：在C++和Java中，代码是以类的形式组织的，而在C语言中，代码是以函数的形式组织的。

这些实现都是基于递归的简单实现，可以进一步优化，例如通过记忆化来避免重复计算，或者通过位移操作来实现快速加法和减法。