【动态规划】1223. 掷骰子模拟

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LeetCode1223. 掷骰子模拟

有一个骰子模拟器会每次投掷的时候生成一个 1 到 6 的随机数。
不过我们在使用它时有个约束，就是使得投掷骰子时，连续掷出数字 i 的次数不能超过 rollMax[i]（i 从 1 开始编号）。
现在，给你一个整数数组 rollMax 和一个整数 n，请你来计算掷 n 次骰子可得到的不同点数序列的数量。
假如两个序列中至少存在一个元素不同，就认为这两个序列是不同的。由于答案可能很大，所以请返回模 10^9 + 7 之后的结果。
示例 1：
输入：n = 2, rollMax = [1,1,2,2,2,3]
输出：34
解释：我们掷 2 次骰子，如果没有约束的话，共有 6 * 6 = 36 种可能的组合。但是根据 rollMax 数组，数字 1 和 2 最多连续出现一次，所以不会出现序列 (1,1) 和 (2,2)。因此，最终答案是 36-2 = 34。
示例 2：
输入：n = 2, rollMax = [1,1,1,1,1,1]
输出：30
示例 3：
输入：n = 3, rollMax = [1,1,1,2,2,3]
输出：181
提示：
1 <= n <= 5000
rollMax.length == 6
1 <= rollMax[i] <= 15

动态规划

动态规划的状态表示

dp[i][j][k] 表示投掷(i+1)次骰子后，以j结尾，且j重复k次的子序列数量。状态数量：n $\times$ 6 $\times$ 15

动态规划的转移方程

对每种状态，分别枚举投掷0到5。

动态规划的初始状态

分别投掷了0到5。

动态规划的填表顺序

i从0到n-1。

动态规范的返回值

sub(dp.back())

优化

优化一

第i次选择和i-1次选择相同，k++。
第i次选择和i-1次选择不同。k =1。 dp[i-1]的合法状态和*5。5种不同值。
时间复杂度优化到：O(n $\times$ 6 $\times$ 15)。

优化二

状态不需要k。
dp[i][j]的含义不变。dp2[i][j] 一个j结尾的合法序列。
iSum = sum(dp[i-1])
dp[i][j] = iSum - dp[i-1][j]中连续maxRoll[j]个j结尾的子序列，即dp2[i-maxRoll[j]]。

dp2[i][j] = iSum - dp[i-1][j]。
优化后，时间复杂度O(n*6)。

代码

核心代码

class Solution {
public:int dieSimulator(int n, vector<int>& rollMax) {		vector<vector<C1097Int<>>> dp(n,vector<C1097Int<>>(6));dp[0].assign(6,1);auto dp2 = dp;for (int i = 1; i < n; i++){auto sumPre = std::accumulate(dp[i - 1].begin(), dp[i - 1].end(), C1097Int<>());for (int iRoll = 0; iRoll < 6; iRoll++){dp2[i][iRoll] = sumPre - dp[i - 1][iRoll];dp[i][iRoll] = sumPre ;const int delIndex = i - (rollMax[iRoll]);if (delIndex >= 0){dp[i][iRoll] -= dp2[delIndex][iRoll];}}}return std::accumulate(dp.back().begin(), dp.back().end(), C1097Int<>()).ToInt();}
};

测试用例

template<class T, class T2>
void Assert(const T& t1, const T2& t2)
{assert(t1 == t2);
}template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{if (v1.size() != v2.size()){assert(false);return;}for (int i = 0; i < v1.size(); i++){Assert(v1[i], v2[i]);}}int main()
{int n;vector<int> rollMax;{n = 2, rollMax = { 1,1,2,2,2,3 };int res = Solution().dieSimulator(n, rollMax);Assert(34, res);}{n = 3, rollMax = { 1,1,1,2,2,3 };int res = Solution().dieSimulator(n, rollMax);Assert(181, res);}{n = 2, rollMax = { 1,1,1,1,1,1 };int res = Solution().dieSimulator(n, rollMax);Assert(30, res);}{n = 4, rollMax = { 2, 1, 1, 3, 3, 2 };int res = Solution().dieSimulator(n, rollMax);Assert(1082, res);}}

扩展阅读

视频课程

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子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛