背景知识

• 四种基本的傅里叶变换

  • 基本思想：将信号表示为不同频率 正弦分量的线性组合

  • 正弦信号和复指数时间信号的有用特性

    • 相同频率但不同相位的正弦信号的任何线性组合，都是有着相同频率但不同相位，且幅度可能受改变的正弦信号。

    • 复指数时间信号不同延迟版本的任何线性组合，等于该信号乘以一个复系数，由复系数决定其幅度和相位的变化。

  • 四种常用的傅里叶变换

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离散傅里叶变换

• DFT的定义

  • 频域抽样的分析：

    • 时域抽样导致频域上的周期延拓

    • 频域抽样导致时域上的周期延拓

• DFT的重要性质

• DFT的高效实现：FFT

  • 比较：直接计算DFT：对于每个𝑘，需要𝑁次复数乘法和𝑁 − 1次复数加法操作；因而总共需要大约𝑁²次操作，利用DFT的快速实现算法：只需要大约𝑁 log2 𝑁 次操作。

  • 基本思想：递归地将较长序列的DFT分解为较短序列的DFT

  • 例子：

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  • 计算IDFT：对X[k]进行共轭，然后进行DFT得到再除以n，得到x[n[的共轭，然后取反共轭即可。

DFT的应用

• 频谱分析（使用DFT对连续时间信号的频率成分进行数值分析）

  • 步骤：

    • • 第1步：时域抽样（Sample in time），抽样频率𝑓s

    • • 第2步：时域截短（Truncate in time），加窗

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      • 频谱泄露与频率分辨率的例子：

    • • 第3步：频域抽样（Sample in frequency），求𝑵点DFT

• 线性卷积（利用DFT来完成卷积的思路）：

从矩阵观点看DFT和FFT