单纯、混合进制通吃，真正的黄金万能的进制转换方法。
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自学并不是什么神秘的东西，一个人一辈子自学的时间总是比在学校学习的时间长，没有老师的时候总是比有老师的时候多。
—— 华罗庚
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- ◆X 进制转换十进制黄金万能算法
- 0、“算法”诞生的契机
- 1、X 进制减法
- 1.0 问题描述
- 1.1 解题思路
- 1.2 我入了常规进制的“坑”
- 1.2.1 手动演算
- 1.2.2 自拟代码演算
- 1.2.3 Python内置转整函数 int() 演算
- 1.3 我“醒豁”了
- 1.4 X进制转十进制的“黄金算法”——万能算法
- 1.5 求得正解😎
- 2、“黄金”万能算法解析
- 2.1 进制转换的基本“原理”(常规)
- 2.2 确定数位倍率
- 2.3 数位数值与对应倍率配对
- 3、我的感悟
- 4、我曾经记下的稚嫩进制转换笔记
◆X 进制转换十进制黄金万能算法
0、“算法”诞生的契机
我在用 Python 代码“抽丝剥茧”十三届蓝桥杯省赛 C/C++大学 B 组赛题第五题时，对于算法“始终不得要领”，后摸索求着得正解，但所用“算法”原理，连我自己都不能明了。我本着一贯爱钻牛角尖尖的“精神”，对其“日夜相思”，最终不负所“爱”，窃得“黄金万能”的进制转换“算法”。
本着“好东西不敢私藏”的一贯“追求”，留此博文笔记，以资共享。😜😜🤪🤪
如果想对我要讲的“算法”，有更明晰的理解基础，可以接下来先看看 十三届蓝桥杯省赛 C/C++大学 B 组赛题第五题：“ X 进制减法” 的解题过程，沉入我当时“不得要领”的混沌时空，一个不小心就可能开启您的顿悟，比我更快明白“黄金万能”进制转换算法哩。🤗
当然，您也可以点击跳转直接略过。
1、X 进制减法
1.0 问题描述
进制规定了数字在数位上逢几进一。
X 进制是一种很神奇的进制，因为其每一数位的进制并不固定！例如说某种 X 进制数，最低数位为二进制，第二数位为十进制，第三数位为八进制，则 X 进制数 3 2 1 转换为十进制数为 65 。
现在有两个 X 进制表示的整数 A 和 B，但是其具体每一数位的进制还不确定，只知道 A 和 B 是同一进制规则，且每一数位最高为 N 进制, 最低为二进制。请你算出 A−B 的结果最小可能是多少。
请注意：你需要保证 A 和 B 在 X 进制下都是合法的，即每一数位上的数字要小于其进制。
- 输入格式
第一行一个正整数 N，含义如题面所述。
第二行一个正整数 Ma，表示 X 进制数 A 的位数。
第三行 Ma 个用空格分开的整数, 表示 X 进制数 A 按从高位到低位顺序各个数位上的数字在十进制下的表示。
第四行一个正整数 Mb, 表示 X 进制数 B 的位数。
第五行 Mb 个用空格分开的整数，表示 X 进制数 B 按从高位到低位顺序各个数位上的数字在十进制下的表示。
请注意：输入中的所有数字都是十进制的。
- 输出格式
输出一行一个整数，表示 X 进制数 A−B 的结果的最小可能值转换为十进制后再模 1000000007 的结果。
- 样例
输入
11
3
10 4 0
3
1 2 0
输出
94
- 样例说明
当进制为：最低位 2 进制，第二数位 5 进制, 第三数位 11 进制时，减法得到的差最小。此时 A 在十进制下是 108，B 在十进制下是 14，差值是 94。
- 评测用例规模与约定
对于 30% 的数据, N ≤ 10; Ma, Mb ≤ 8；
对于 100% 的数据，2 ≤ N ≤ 1000; 1 ≤ Ma, Mb ≤ 100000; A ≥ B.
- 运行限制
最大运行时间：1s
最大运行内存：256M
1.1 解题思路
据题意，要使X进制整数 a - b 的值最小，则被减数 a 要用合适的“进制序列”令其值最小。依“满则向左边高位进 1 ”(进制规定了数字在数位上逢几进一)的进制规则可知，X进制整数 a ，每个数位都处于进位临界值——比进制小 1 ——时，其值最小。因而 a 的“最适”进制序列即为对应数位上的值 + 1 ，b 的进制依 a ( A 和 B 是同一进制规则)，按 a 的进制序列求出 a、b 的十进制值，返回差值。
1.2 我入了常规进制的“坑”
常规进制求值(十进制值)算法，从低位到高位，依次求取“数位值×进制^数位索引”，如：
十进制整数：“2 0 5” = 5×10^0 + 0×10^1 + 2×10^2 = 5 + 0 + 200
二进制整数：“1 1 1” = 1×2^0 + 1×2^1 + 1×2^2 = 1 + 2 + 4
题目中说，“例如说某种 X 进制数，最低数位为二进制，第二数位为十进制，第三数位为八进制，则 X 进制数 321 转换为十进制数为 65 。”
十进制数位值 3 2 1
X 进制序列 8 10 2
其十进制值 1 + 2×2^1 + 3×10^2 = 1 + 4 + 300
X进制整数“3 2 1”怎么不是 65 而是 305 ？照此“逻辑”，“10 4 0”、“1 2 0”也得不出 108 和 14 ！！
a 十进制数位值 10 4 0
X 进制序列 11 5 2
其十进制值 0 + 4×2^1 + 10×5^2 = 0 + 8 + 250
b 十进制数位值 1 2 0
其十进制值 0 + 2×2^1 + 1×5^2 = 0 + 4 + 25
求X进制整数十进制值的函数 (按常规进制——“单纯”进制，各数位仅有一种进制的整数算法)
def get_value(name: str, x: str, x_n: int, multiples: list) -> int: # 返回十进制整数。''' 求X进制数的十进制值(算法入坑，不对) '''result = 0print(f"\n{name}进制整数：'{x}'\n{'':~^50}\n") x = list(map(int, x.split())) # 列表解析将字符串数字转换整型。x = [x.pop() for i in x[:]] # 列表解析倒置X进制整数序列。multiples = [1] + [multiples[i-1] for i in range(x_n, 0, -1)] # 切片倒置X进制列表。#input((x, multiples)) # 调试用语句。result = 0 # 结果初值。for index,i in enumerate(zip(x, multiples)):result += i[0]*i[1]**indexprint(f"进制：{i[1] if index else 'None'}，倍率：{i[1]**index}，数位/值：{index+1}/{i[0]}，十进制值：{i[0]*i[1]**index}")print(f"\n{name}进制整数的十进制值是：{result}\n{'':~^50}") return result代码运行效果截屏
以计算X进制整数“222”，从3进制到11进制的十进制值来进行“算法”验证：
1.2.1 手动演算
十进制数位值 2 2 2
X 进制序列 3 3 3
其十进制值 2×3^0 + 2×3^1 + 2×3^2 = 2 + 6 + 18
…
X 进制序列 11 11 11
其十进制值 2×11^0 + 2×11^1 + 2×11^2 = 2 + 22 + 242
1.2.2 自拟代码演算
- 代码演算一 (调用自码X进制求值——十进制——函数 get_value() )
if __name__ == '__main__':x_s = '2 2 2'print(f"\n X 进制整数“{x_s}”，分别是 3～11 进制时的十进制值：\n{'':~^50}\n")for i in range(3, 12):get_value(str(i), x_s, 3, [i]*3)代码演算截屏
1.2.3 Python内置转整函数 int() 演算
- 代码演算二 (Python的字符型数字转整型函数int())
/sdcard/qpython $ python
Python 3.11.1 (main, Dec 7 2022, 05:56:18) [Clang 14.0.6 (https://android.googlesource.com/toolchain/llvm-project 4c603efb0 on linux
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>>
>>> s = '222'
>>> for i in range(3, 12):
... print(f" {i} 进制整数 '{s}' 的十进制值：{int(s, i)}")
...3 进制整数 '222' 的十进制值：264 进制整数 '222' 的十进制值：425 进制整数 '222' 的十进制值：626 进制整数 '222' 的十进制值：867 进制整数 '222' 的十进制值：1148 进制整数 '222' 的十进制值：1469 进制整数 '222' 的十进制值：18210 进制整数 '222' 的十进制值：22211 进制整数 '222' 的十进制值：266
>>>
经Python转整函数 int() 验证，“我的算法”对于单一进制的正整数，是完全“正确的”。但这常规进制“算法”，对混合进制数位的X进制整数为什么就无效了呢？🤨
1.3 我“醒豁”了
经过细心观察省度，我“窥得门径”，代码可以正确求取X进制整数的十进制值了——
def get_value(name: str, x: str, x_n: int, multiples: list) -> int: # 返回十进制整数。''' 求X进制数的十进制值(破坑而出还是坑) '''result = 0print(f"\n{name}进制整数：'{x}'\n{'':~^50}") x = list(map(int, x.split())) # 列表解析将字符串数字转换整型。x = [x.pop() for i in x[:]] # 列表解析倒置X进制整数序列。multiples = [1] + [multiples[i-1] for i in range(x_n, 0, -1)] # 切片倒置X进制列表。result = 0 # 结果初值。for index,i in enumerate(zip(x, multiples)):if index == 0:result += i[0]else:result += i[0]*(i[1]*index)print(f"进制：{i[1] if index else 'None'}，倍率：{i[1]*index if index else 1}，数位/值：{index+1}/{i[0]}，十进制值：{i[0]*index}")print(f"\n{name}进制整数的十进制值是：{result}\n{'':~^50}") return result得出了X进制整数解析十进制值的正确结果😁
但算法似乎“没有依仗”，我自己都不能自圆其说。🤣
且这算法仅可解析混合多进制数位的X进制整数，对常规单一进制整数无效。
但我理不清“算法思想”，这醒豁是个伪命题。😂且调用函数处理前面列举的“2 2 2”字符解析分别为3~11进制时，对应的十进制值，是不正确的。
这“算法”不真！！还待考究。
我这是根本就没有拨开迷雾，走出跌入的坑。🧐🧐
1.4 X进制转十进制的“黄金算法”——万能算法
经过对算法反复推敲，仔细示例验证，终究是得出了适用常规和刁钻的进制组合整数能吃的“黄金万能”算法。😎😎
先丢出转换函数代码，然后再 逐一剖析“注释”代码。
转换函数代码
def get_value(name: str, x: str, x_n: int, multiples: list) -> int: # 返回十进制整数。''' 求 X 进制整数的十进制值(“真算法”) '''result = 0print(f"\n {name} 进制整数：'{x}'\n{'':~^50}") x = list(map(int, x.split())) # 列表解析将字符串数字转换整型。x = [x.pop() for i in x[:]] # 列表解析倒置X进制整数序列。multiples = ['None'] + [multiples[i-1] for i in range(x_n, 0, -1)] # 切片倒置X进制列表，并前补一项 1 。result = 0 # 结果初值。for index,i in enumerate(zip(x, multiples)):if index == 0:result += i[0]multiple = 1else:multiple *= i[1]result += i[0]*multipleprint(f"进制：{i[1] if index else 'None'}，倍率：{multiple}，数位/值：{index+1}/{i[0]}，十进制值：{i[0]*multiple}")print(f"\n{'十进制值：':>18}{result}\n{'':~^50}") return result重算前面的例子：
本题目中的三个X进制整数：“3 2 1”、“10 4 0”、“1 2 0”
由截屏图片可鉴，不管是学“常规进制”还是刁钻的 X 进制整数，调用“万能黄金算法”函数，都可以得到正确的十进制值。😎😎
嚯！！还真没白瞎我对此题目的“日思夜想”😜😜(欲了解算法详情，请点按蓝色文字跳转翻阅)。
1.5 求得正解😎
调用函数求解代码
if __name__ == '__main__':print(f"\nV、X进制减法\n{'':~^50}")s = '''
11
3
10 4 0
3
1 2 0
'''print(f"\n输入：{s}")input_s =[int(i) if i.isdigit() else i for i in s.split('\n')[1:-1]]print(f"\n\n输出：\n{x_subtraction(input_s)}")运行效果截图(我已打印出运算过程，对算法就不再作讲解，欲了解算法解析，请点按蓝色文字跳转翻阅)
2、“黄金”万能算法解析
2.1 进制转换的基本“原理”(常规)
进制转换的基本“原理”：
- 依次求取每个数位的数值，取其总和，即是所要求取的最终结果。
- 为方便代码操作，一般从低位到高位遍历轮询。
- 为方便遍历轮询操作，一般先将高低数位倒置。
可以用负数步长切片或者 list.pop() 模拟栈弹出来实现整数数位“倒置”。
如对 X 进制整数 “3 2 1” 倒置：
负数步长切片
>>>
>>> s = '3 2 1'.split()
>>> n = len(s)
>>> s1 = [s[i] for i in range(-1, -n-1, -1)]
>>> s1
['1', '2', '3']
>>>
list.pop()
>>> s = '3 2 1'.split()
>>> s2 = [s.pop() for i in s[:]]
>>> s2
['1', '2', '3']
>>>
“倒置”原理：负数步长遍历轮询，即是从后往前取序列元素；list.pop() 默认返回删除的最后一个列表元素(给定下标参数则返回删除的指定下标元素)。
2.2 确定数位倍率
要求得各数位上十进制对应数值，只要求得数位倍率，与数位上的数字相乘之积，即为当前数位的对应的十进制值。
“纯”进制整数：
“ X ”进制整数：
- 最低位的倍率都是“ 1 ”。
如前面列举的单纯进制整数示例，最低位倍率为进制的0次幂，即 1 ( 0 以外的任何数的 0 次幂都是 1 )。最低位十进制值就等于数位数字。算法代码如下：
for index,i in enumerate(zip(x, multiples)):if index == 0:result += i[0]- 次低位的进制倍率为最低位进制。
for index,i in enumerate(zip(x, multiples)):if index == 0:result += i[0]multiple = i[1]- 其余数位进制倍率为比其低的数位不含本数位进制)所有进制之积。
如紧邻次低位的第三数位，其倍率为 最低位进制 × 次低位进制，如代码：
else:multiple *= i[1]result += i[0]*multiple2.3 数位数值与对应倍率配对
不难发现，我们要计算的数位数值与数位进制错开一个数位，这给代码实现造成了障碍。数位数值(数位数字)与对应的数位倍率配对，才可以方便计算。
这难不倒有准备的人，用 list.insert() 方法或者 + 运算符(列表连接运算符)，可以达成目的。
经“命令行模式”试炼， list.insert() 方法与“ + ” list 列表连接运算符效果相同，但后者语法更为简洁明了。
/sdcard/qpython $ python
Python 3.11.1 (main, Dec 7 2022, 05:56:18) [Clang 14.0.6 (https://android.googlesource.com/toolchain/llvm-project 4c603efb0 on linux
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>>
>>> s = '3 2 1'
>>> s = list(map(int, s.split()))
>>> s = [s.pop() for i in s[:]] # 数位倒置。
>>> multiples1 = ['None'] + [2, 10, 8] # 进制序列 已倒置。
>>>
>>> multiples2 = [2, 10, 8]
>>> multiples2.insert(0, 'None')
>>>
>>> multiples1, multiples2
(['None', 2, 10, 8], ['None', 2, 10, 8])
>>>
zip() 函数实施数位数值与计算“适用”进制配对
>>>
>>> temp = list(zip(s, multiples1))
>>> temp2 = list(zip(s, multiples2))
>>> temp, temp2
([(1, 'None'), (2, 2), (3, 10)], [(1, 'None'), (2, 2), (3, 10)])
>>>
3、我的感悟
“代码是程序的身躯，算法是程序的灵魂”，选择最适算法，才会让程序更具灵性。
比如本笔记前面的示例：纯进制整数，可以进制幂次方也可以选择乘积，但混合 X 进制整，却不可以选择那种“不可名状”的算法，虽然也可以结果正确。
4、我曾经记下的稚嫩进制转换笔记
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来源：老齐教室
◆ Python 入门指南【Python 3.6.3】
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